- •Предисловие
- •Глава 1. Введение
- •Некоторые аспекты безопасности связи
- •Шифр Юлия Цезаря
- •Несколько основных определений
- •Коды и шифры
- •Оценка стойкости системы шифрования
- •Коды, обнаруживающие и исправляющие ошибки
- •Другие методы сокрытия содержания сообщений
- •Модульная арифметика
- •Модульное сложение и вычитание букв
- •Заключение
- •Глава 2. От Юлия Цезаря до простой замены
- •Шифры Юлия Цезаря и их вскрытие
- •Шифры простой замены
- •Вскрытие шифра простой замены
- •Частоты встречаемости букв в других языках, кроме английского
- •Сколько знаков необходимо для дешифрования простой замены?
- •Глава 3. Многоалфавитные системы
- •Усиление системы Юлия Цезаря: шифры Вижанэра
- •Вскрытие шифра Вижанэра
- •Индикаторы
- •Одноключевые сообщения
- •Распознавание одноключевых сообщений
- •Какой объем текста необходим для дешифрования шифра Вижанэра?
- •Цилиндр Джефферсона
- •Глава 4. Шифры-головоломки
- •Перестановки
- •Простая перестановка
- •Двойная перестановка
- •Другие виды перестановок
- •Регулярные перестановочные таблицы
- •Нерегулярные перестановочные таблицы
- •Оценка стойкости шифров перестановки
- •Общая концепция двойного шифрования
- •Глава 5. Двухбуквенные шифры
- •Замена "монограф-диграф"
- •МДПМ-шифры
- •Система "диграф-диграф"
- •Шифр Плейфера*)
- •Расшифрование в системе Плейфера
- •Криптоаналитические аспекты системы Плейфера
- •Двойной шифр Плейфера
- •Глава 6. Коды
- •Характеристики кодов
- •Одночастевые и двухчастевые коды
- •Код плюс аддитивное шифрование
- •Глава 7. Шифры для шпионов
- •Шифры-решетки
- •Книжные шифры
- •Использование книжного шифра
- •Частоты встречаемости букв в книжных шифрах
- •Вскрытие книжного шифра
- •Индикаторы
- •Катастрофические ошибки при использовании книжного шифра
- •Шифры "агента Гарбо"
- •Первый шифр "агента Гарбо"
- •Второй шифр "агента Гарбо"
- •Одноразовый блокнот
- •Глава 8. Получение случайных чисел и букв
- •Случайные последовательности
- •Получение случайных последовательностей
- •Бросание монеты
- •Бросание костей
- •Извлечение из урны (по типу лотереи)
- •Космические лучи
- •Шум от усилителей
- •Псевдослучайные последовательности
- •Линейные рекурренты
- •Использование последовательности двоичных знаков гаммы для шифрования
- •Двоичные линейные последовательности как генераторы гаммы
- •Криптоанализ линейной рекурренты
- •Повышение стойкости двоичной гаммы
- •Генераторы псевдослучайных чисел
- •Метод срединных квадратов
- •Линейные конгруэнтные генераторы
- •Глава 9. Шифрмашина "Энигма"
- •Историческая справка
- •Первая "Энигма"
- •Шифрование с использованием контактных колес
- •Шифрование в "Энигме"
- •Коммутатор "Энигмы"
- •Ахиллесова пята "Энигмы"
- •Цепочки индикаторов в "Энигме"
- •Выравнивание цепочек
- •Идентификация колеса R1 и его угловой установки
- •Двойное шифрование в "Энигме"
- •"Энигма" Абвера
- •Глава 10. Шифрмашина "Хагелин"
- •Историческая справка
- •Конструкция шифрмашины «Хагелин»
- •Шифрование при помощи шифрмашины "Хагелин"
- •Выбор установок барабана в шифрмашине "Хагелин"
- •Теоретический объем перебора для шифрмашины "Хагелин"
- •Вскрытие установок "Хагелина" по отрезку гаммы
- •Дополнительные возможности шифрмашины "Хагелин"
- •Смещение
- •Определение смещения по шифрованному тексту
- •Перекрытия
- •Вскрытие шифрмашины "Хагелин" только по шифрованному тексту
- •Глава 11. После "Энигмы"
- •SZ42 - предтеча электронных машин
- •Описание шифрмашины SZ42
- •Шифрование в машине SZ42
- •Вскрытие шифрмашины SZ42 и определение ее угловых установок
- •Модификации шифрмашины SZ42
- •Глава 12. Криптография с открытым ключом
- •Историческая справка
- •Вопросы безопасности
- •Защита программ и данных
- •Шифрование программ, данных и сообщений
- •Задача распределения ключей
- •Система ключевого обмена Диффи-Хеллмана
- •Стойкость системы Диффи-Хеллмана
- •Глава 13. Шифрование и Интернет
- •Обобщение шифра простой замены
- •Факторизация больших целых чисел
- •Стандартный метод факторизации
- •Малая теорема Ферма
- •Теорема Ферма-Эйлера (для случая системы RSA)
- •Ключи зашифрования и расшифрования в системе RSA
- •Процессы зашифрования и расшифрования в системе RSA
- •Каким образом хозяин ключей отвечает корреспондентам?
- •Американский Стандарт Шифрования Данных (DES)*)
- •Общие сведения
- •Процедура зашифрования
- •Процедура расшифрования
- •Стойкость DES-алгоритма
- •Зацепление
- •Реализации DES-алгоритма
- •Совместное использование алгоритмов RSA и DES
- •Полезное замечание
- •После DES-алгоритма
- •Проверка подлинности сообщения и удостоверение подлинности подписи
- •Криптография эллиптической кривой
- •Приложение. Математические вопросы
- •Глава 2
- •М1. Совпадения знаков в алфавитах замены
- •М2. Снижение стойкости при использовании взаимно-обратных алфавитов
- •M3. Парадокс дней рождения
- •Глава 3
- •М4. Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел
- •Глава 6
- •М5. Последовательность чисел Фибоначчи
- •Глава 7
- •М6. Частота встречаемости букв для книжного шифра
- •М7. Одноразовый блокнот дешифровать невозможно
- •Глава 8
- •М8. Частота появления случайных чисел на странице
- •М9. Комбинирование двух последовательностей двоичных знаков гаммы, имеющих отклонения
- •М10. Последовательность типа Фибоначчи
- •М11. Двоичные линейные рекурренты
- •M12. Восстановление двоичной линейной рекурренты по отрезку гаммы
- •М13. Получение псевдослучайных чисел
- •Глава 9
- •М14. Распайка колёс шифрмашины "Энигма"
- •М15. Число возможных отражателей шифрмашины "Энигма"
- •М16. Вероятность одноключевых сообщений для "Энигмы"
- •М17. Среднее число индикаторов, необходимое для построения полных цепочек
- •Глава 10
- •М18. Число возможных барабанов шифрмашины "Хагелин"
- •М19. Максимальная кратность значения зацепления, которая может встретиться при вычислении разности гаммы шифрмашины "Хагелин"
- •M20. Определение смещения шифрмашины "Хагелин" с помощью коэффициента корреляции
- •Глава 13
- •M21. (Порядок роста количества простых чисел)
- •M22. Вычисление остатка с использованием модульной арифметики
- •М23. Доказательство теоремы Ферма-Эйлера
- •М24. Нахождение чисел, "предположительно" являющихся простыми
- •M25. Алгоритм Евклида
- •М26. Эффективность возведения в степень методом последовательного возведения в квадрат
- •М27. Число ложных ответов при дешифровании DES-алгоритма методом "встречного поиска "
- •М28. Криптография эллиптической кривой
- •Решения задач
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10
- •Глава 11
- •Глава 13
- •Литература
235
Глава 13
M21. (Порядок роста количества простых чисел)
Теорема о законе распределения простых чисел (см. [12.1]) утверждает, что с ростом числа N количество простых чисел, меньших N (которое традиционно обозначается (N)), можно асимптотически аппроксимировать величиной
(N ) ~ N . log(N )
Здесь логарифм берется по основанию e.
Отсюда следует, что с ростом N постепенно уменьшается доля простых чисел среди всех натуральных чисел, меньших N. Гаусс сформулировал теорему о законе распределения простых чисел в 1793 году, в результате изучения таблиц простых чисел, меньших 1000, 10000 и 100000; однако он не смог доказать ее. Соответствующие цифры представлены в таблице А.2.
Таблица А.2
N |
Количество простых чисел, |
Доля простых чисел среди |
|
меньших N |
всех чисел, меньших N |
1000 |
168 |
1 из 5.95 |
10000 |
1229 |
1 из 8.14 |
100000 |
9592 |
1 из 10.43 |
1000000 |
78498 |
1 из 12.74 |
|
|
|
Если числа из правого столбца последовательно вычесть друг из друга, мы получим:
8.14- 5.95 = 2.19,
10.43 - 8.14 = 2.29,
12.74 -10.43 = 2.31.
Гаусс предположил, что данная разность должна с ростом N быть относительно постоянной и приблизительно равной 2.3. Поскольку log(10) приблизительно равен 2.3, то отсюда следует, что при увеличении N в десять раз соответствующая доля простых чисел среди всех натуральных чисел, меньших N, должна вырасти в log(10) раз. Это утверждение эквивалентно формулировке теоремы о законе распределения простых чисел. Предположение Гаусса оказалось верным, однако прошло более ста лет, прежде чем теорема о законе распределения простых чисел была, наконец,
236
доказана. См. об этом также [12.1].
M22. Вычисление остатка с использованием модульной арифметики
(1) То, что запись числа (59)96 содержит 171 цифру, следует из того факта, что
96log10(59)=96 (1.77085...)=170.0018...
Отсюда вытекает, что число (59)96 заключено между величинами 10170 и 10171, и следовательно, его запись содержит 171 цифру.
(2) При использовании модульной арифметики бывает выгодно вычесть из показателя степени максимально возможную степень двойки, затем возвести число в степень (нечетного) остатка, и наконец, последовательно возводя его в квадрат, найти требуемое значение. Так, например, поскольку 96=3 32, то если мы вычислим (59)3(mod 97) и последовательно возведем это значение в квадрат пять раз, на каждом этапе приводя результат по модулю 97, то в результате получим нужное нам число. В деталях это выглядит так:
59 59=3481=35 97+86,
следовательно,
(59)3 86 59=5074=52 97+30 30(mod 97),
поэтому
(59)6 (30)2=900=9 97+27 27(mod 97),
поэтому
(59)12 (27)2=729=7 97+50 50(mod 97),
следовательно,
(59)24 (50)2=2500=25 97+75 75(mod 97),
следовательно,
(59)48 (75)2=5625=57 97+96 96(mod 97) -1(mod 97),
237
и наконец,
(59)96 (-1)2=1(mod 97),
то есть, как и утверждалось, (59)96 дает при делении на 97 остаток 1.
М23. Доказательство теоремы Ферма-Эйлера
Полезно будет начать с доказательства малой теоремы Ферма; в этом случае обобщение на случай теоремы Ферма-Эйлера остановится почти очевидным.
Малая теорема Ферма утверждает, что
Если p - простое число, то для любого целого числа M, которое не делится на p, справедливо
M(p-1) 1(mod p).
Доказательство
Полное множество вычетов ("остатков") по модулю p для чисел, которые не делятся на p, есть
1, 2, 3, ..., (p-1).
Умножим каждое из этих чисел на M:
M, 2M, 3M, ..., (p-1)M.
Никакая пара из этого множества чисел не дает по модулю p одного и того же вычета, так как если бы, например, выполнялось
aM bM(mod p),
то в этом случае число M(a-b) делилось бы на p. Однако M не делится на p, а числа a и b оба меньше p. Поэтому все (p-1) этих чисел будет различны по модулю p. Следовательно, это то же самое множество чисел
1, 2, 3, ..., (p-1),
только переставленное в некотором порядке. Поэтому
M 2M 3M ... ((p-1)M) 1 2 3 ... (p-1)(mod p)=(p-1)!(mod p).
238
Поскольку число (p-1)! не имеет общих делителей с p, то его можно исключить из обеих частей последнего сравнения, после чего получаем:
M(p-1) 1(mod p),
что и доказывает Малую теорему Ферма.
Доказательство теоремы Ферма-Эйлера
Теперь мы имеем дело с составным модулем N. Доказательство выполняется аналогично предыдущему, но теперь вместо использования всех вычетов по модулю p мы должны рассмотреть только те из них, которые не имеют с N общих делителей. Если обозначить их через
a1, a2,..., ak,
где k= (N), а (N) - это функция Эйлера, определенная в М11. Если каждый из этих вычетов умножить на M, то они, как и ранее, все останутся различными, так как если бы выполнялось
Mar Mas (mod N),
то M(ar-as) делилось бы на N. Но это невозможно, так как M не имеет с N общих делителей, а (ar-as) меньше N. Итак, мы доказали, что
если M не имеет с N общих делителей, то
M (N) 1(mod N),
итеорема Ферма-Эйлера доказана.
Всистеме шифрования RSA нам понадобится только частный случай,
когда N=pq, где p и q - два различных простых числа. В этом случае (N)=(p- 1)(q-1).
М24. Нахождение чисел, "предположительно" являющихся простыми
С помощью "решета Эратосфена" можно найти все простые числа, меньшие заданного числа N. Это - стандартный метод, если необходимо найти именно список всех простых чисел. Если же, однако, нам нужно только проверить,
является ли конкретное число простым, то составлять список всех простых чисел вовсе не обязательно. К тому же, если число очень велико, то это потребует солидных затрат времени. К сожалению, в общем случае не