03 АЛГЕБРА_ovs_2-8

Пример применения ЯО алгоритма

образа, а строки (1; 2; 1; 0) и (2; 3; 0; 1) – координаты векторов базиса ядра.

Инъективность и сюръективность линейного отображения

По определению сюръективности линейное отображение A : U ! V является сюръективным тогда и только тогда, когда ImA = V .

Предложение

Линейное отображение A : U ! V является инъективным тогда и только тогда, когда KerA = f0U g.

Доказательство. Если отображение A инъективно, то по определению KerA = f0U g. Пусть KerA = f0U g. Если Ax = Ay для некоторых x; y 2 U, то Ax Ay = 0V , и A(x y) = 0V , т.е. x y 2 KerA. Значит, x y = 0V и x = y. Следовательно, отображение A инъективно.

Лемма

Пусть линейное отображение A : U ! V инъективно. Тогда для любой линейно независимой системы (u1; : : : ; uk ) векторов из U система

(Au1; : : : ; Auk ) векторов из V также линейно независима.

Доказательство. Пусть для некоторых скаляров 1; : : : ; k имеет место равенство 1Au1 + : : : + k Auk = 0V . Тогда A( 1u1 + : : : + k uk ) = 0V и1u1 + : : : + k uk = 0U , откуда 1 = 0,: : :, k = 0 и система (u1; : : : ; uk ) линейно независима.

Изоморфизм

Определение изоморфизма см. на сл.11 т.2-3. Из утверждения сл.12 получаем

Предложение

Линейное отображение A : U ! V является изоморфизмом тогда и только тогда, когда KerA = f0U g и ImA = V .

Критерий изоморфности конечномерных пространств дает следующая

Теорема

Конечномерные пространства U; V изоморфны тогда и только тогда, когда dimU = dimV .

Доказательство. Пусть U; V изоморфны и A изоморфизм U на V . Если U = f0U g, то и V = f0V g, так как A – биекция. Пусть U 6= f0U g и B = = (b1; : : : ; bn) – базис U. Поскольку ImA = V , в силу предложения сл.3 имеем V = hABi. По лемме сл.12 система AB линейно независима.

Значит, это система является базисом V и dimU = dimV .

Окончание доказательства теоремы

Пусть dimU = dimV . Если dimU = 0, то U = f0U g и V = f0V g, и 0U 7!0V

– изоморфизм U на V . Пусть dimU = n > 0. Выберем базисы (b1; : : : ; bn) в U и (c1; : : : ; cn) в V . Согласно теореме сл.7 т.2-7 существует единственное линейное отображение A : U ! V такое что Abj = cj

(j = 1; : : : ; n). Ясно, что ImA = V . Убедимся, что KerA = f0U g. Пусть

x = 1b1 + : : : + nbn 2 KerA. Тогда Ax = 0V , т.е. 1Ab1 + : : : + nAbn = = 0V и 1c1 + : : : + ncn = 0V . Так как (c1; : : : ; cn) – базис в V , заключаем, что j = 0 (j = 1; : : : ; n). Следовательно, x = 0U и KerA = f0U g. В силу предложения сл.13 отображение A является изоморфизмом.

Изоморфизмы и линейные операторы

Теорема

Следующие условия эквивалентны для линейного оператора A на линейном пространстве U:

(1)A является изоморфизмом линейного пространства U на себя;

(2)ImA = U (r(A) = dimU);

(3)KerA = f0U g (d(A) = 0).

Доказательство. Утверждения (2) и (3) эквивалентны в силу теоремы сл.6. Утверждение (1) эквивалентно одновременному выполнению условий (2) и

(3) согласно предложению сл.13.

Следствие

Пусть A – линейный оператор на линейном пространстве U, B – базис U и A $B A. A является изоморфизмом тогда и только тогда, когда матрица A является невырожденной.

Доказательство. В силу теоремы A является изоморфизмом тогда и только тогда, когда ImA = U. Последнее условие в силу предложения сл.4 равносильно тому что r(A) = dimU, т.е. что ранг матрицы A совпадает с ее порядком. Это возможно тогда и только тогда, когда A является невырожденной.

Прообраз подпространства при линейном отображении

Пусть A : U ! V – линейное отображение линейного пространства U на линейное пространство V над полем F.

Определение

Полным прообразом подпространства V1 V при линейном отображении A называется множество fx 2 UjAx 2 V1g. Обозначение: A 1(V1).

Предложение

Для любого подпространства V1 V множество A 1(V1) является подпространством в U и dimA 1(V1) = dimV1 + d(A).

Доказательство. Пусть V1 V – произвольное подпространство в V . Очевидно, что 0U 2 A 1(V1). Пусть x; y 2 A 1(V1), 2 F. Тогда, поскольку Ax; Ay 2 V1 и V1 – подпространство, имеем

A(x + y) = Ax + Ay 2 V1, т.е. x + y 2 A 1(V1), и A( x) = (Ax) 2 V1, т.е. x 2 A 1(V1). Таким образом, A 1(V1) – непустое подмножество в U, замкнутое относительно сложения векторов и умножения вектора на скаляр, т.е. подпространство.

Второе утверждение предложения доказывается аналогично основной теореме (сл.6).

Окончание доказательства предложения

Если V1 = f0V g, то A 1(V1) = KerA, и доказывать нечего. Пусть

V1 6= f0V g. Тогда A 1(V1) KerA. Если KerA =6 f0U g, то выберем в KerA базис (e1; : : : ; em). Дополним его до базиса подпространства A 1(V1) векторами f1; : : : ; fk . Положим Afj = gj (j = 1; : : : ; k). Покажем, что

(g1; : : : ; gk ) – базис V1. Так как A(A 1(V1)) = V1, очевидно, что

hg1; : : : ; gk i = V1. Покажем, что система (g1; : : : ; gk ) линейно независима. Пусть для некоторых скаляров 1; : : : ; k 2 F имеет место равенство

1g1 + : : : + k gk = 0V . Имеем A( 1f1 + : : : + k fk ) = 1g1 + : : : + k gk = = 0V . Поэтому 1f1 + : : : + k fk 2 KerA. Если KerA = f0U g, то

1 = 0; : : : ; k = 0. Иначе из того, что (e1; : : : ; em; f1; : : : ; fk ) – базис

A 1(V1), выводим 1 = 0; : : : ; k = 0. Следовательно, система (g1; : : : ; gk ) линейно независима. Мы доказали, что dimV1 = k. Предложение доказано.

Из доказанного утверждения в качестве следствия получается теорема

сл.6, если в качестве подпространства V1 взять ImA, поскольку тогда

U = A 1(V1).

Образ подпространства при линейном отображении

Пусть A : U ! V – линейное отображение линейного пространства U на линейное пространство V над полем F. Как обычно, для любого подмножества U1 U через AU1 обозначаем множество

fy 2 V jy = Ax для некоторого x 2 U1g (образ U1 при отображении A).

Упражнение 1

Проверить, что для любой системы (b1; : : : ; bn) векторов из U справедливо равенство Ahb1; : : : ; bni = hAb1; : : : ; Abni. Вывести отсюда, что образ подпространства при линейном отображении является подпространством.

Доказательство здесь аналогично доказательству предложения сл.3.

Упражнение 2

Доказать, что для любого подпространства L U справедливо равенство dim(AL) = dimL dim(L \ KerA).

Это утверждение может быть доказано аналогично теореме сл.6.