telnov-mechanika-and-TO

§ 27. Импульс

Величина p = mv называется в ньютоновской механике импульсом

материальной точки. Покажем, что для замкнутой системы суммарный импульс сохраняется.

Закон сохранения импульса

Изменение суммарного импульса системы P = ∑Pi

При получении последнего равенства был использован третий закон Ньютона. Отсюда следует закон сохранения импульса

т.е. скорость изменения импульса равна сумме внешних сил.

Центр масс

В нерелятивистской ньютоновской механике можно ввести понятие центра масс. Преобразуем выражение для импульса системы частиц

определяет точку в системе, которая называется центром масс (ц.м.) системы. Тогда импульс системы записывается в виде

где V – скорость центра масс. Ускорение центра масс

Таким образом, центр масс тела движется с таким же ускорение как и материальная точка с массой, равной суммарной массе тела. Это означает также, что в нерелятивистской механике справедлив закон аддитивности масс – масса тела равна сумме масс его частей.

61

Пример. К карандашу массы m приложили силу F, перпендикулярную карандашу. Один раз сила приложена к центру карандаша, другой раз к его концу. В каком случае ускорение центра карандаша будет больше? Ответ: из формулы (27.7) следует, что ускорение центра масс не зависит от того к какой точке тела приложена сила, так что в обоих случаях ускорение ц.м. будет a = F / m , несмотря на то, что во вто-

ром случае наряду с поступательным движением карандаш будет еще вращаться.

Сила как мера скорости изменения импульса

Рассмотрим альтернативный подход к определению массы и сил. Здесь первичным считается закон сохранения импульса, следующий из опытных фактов. Постулируется, что каждой частице можно припи-

сать определенную массу mi , такую, что для замкнутой системы

(в релятивистской механике также работает закон сохранения импульса, но выражение для импульса другое).

Приняв некоторую массу m0 за эталонную, можно найти массы

всех остальных частиц, исследуя их взаимодействие с эталонной частицей

В этом подходе сила определяется как производная по времени от импульса частицы

Соотношения (27.8), (27.10), эквивалентны второму закону Ньютона. Из опыта следует, что силы зависят от координат и скоростей. Если сила определена (известна), то (27.10) может рассматриваться как уравнение движения

Третий закон Ньютона следует из (27.8) только частично

62

Вывода о направленности сил вдоль линии соединяющей тела отсюда не следует. В рассматриваемом подходе, когда исходными являются не законы Ньютона, к первичным законам следует отнести, кроме закона сохранения импульса, еще закон сохранения: момента импульса (о нем будет речь позже). Как было уже упомянуто, он связан с изотропностью пространства и справедлив даже в релятивистском случае.

Аддитивность масс

Обсудим еще раз одно на первый взгляд очевидное утверждение, об аддитивности масс, т.е. о том, что масса составного тела

В физике даже такие "очевидные" основополагающие утверждения нужно доказывать. Оказывается, это правило сложения масс справедливо только при малых скоростях. Посмотрим, откуда берется вывод об аддитивности масс в классической механике. Выше, при выводе уравнения движения центра масс, мы уже сделали такой вывод. Получим его другим способом: на основании закона сохранения импульса и принципа относительности.

На основании закона сохранения импульса в системе с можно записать

Перейдем теперь в систему отсчёта S ′ , движущуюся прямолинейно и равномерно относительно S со скоростью V . Согласно принципу от-

Этот закон для химических реакций был открыт Ломоносовым и Лавуазье. В релятивистском случае это утверждение не верно.

63

§ 28. Задача двух тел, приведенная масса

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, сила взаимодействия которых зависит только от расстояния:

можно упростить, введя новые переменные - радиус-вектор центра масс

Внутренние силы не влияют на движение центра масс, поэтому центр масс движется с постоянной скоростью

называют приведенной массой. Таким образом, задача двух тел свелась к задаче движения одного тела с массой μ под действием силы F(r).

Предположим, что мы решили это уравнение и нашли r(t) . Для на-

хождения координаты каждой точки нужно сначала выразить расстояние каждой частицы относительно центра тяжести через r(t) . Расстоя-

ние частиц относительно центра масс r1′ и r2′ легко найти, перенеся начало отсчета в центр масс. Тогда

где первое уравнение следует из (28.3), отсюда

64

соединенных пружинкой с жесткостьюk .

В соответствие с изложенным выше задача сводится к колебаниям

конец прицеплен к бесконечно тяжелой стенке.

Другой пример – это движение двух тел, связанных гравитацией

(Солнце и Земля, например). Они будут оба двигаться вокруг общего центра масс. Эту задачу можно свести к вращению приведенной массы

в силовом поле F = −G m1m2 r . r 3

§ 29. Реактивное движение

Любую задачу по механике можно решить, в принципе, используя законы Ньютона. Однако иногда задача решается проще, если использовать законы сохранения. Рассмотрим, в качестве примера, движение ракеты с реактивным двигателем.

Ускорение ракете сообщают выброшенные назад продукты горения. Пусть их скорость относительно ракеты равна u0 . Перейдем в

систему ракеты. Пусть ракета выбрасывает малую порцию газа. По закону сохранения импульса импульс

mг – масса порции выброшенного газа, равная убыли массы ракеты

− m . Мы нашли приращение скорости v в системе ракеты, но в соответствие с преобразованиями Галилея, изменение скорости будет

65

точно таким же и в лабораторной системе отсчета. Переходя бесконечно малым порциям газа получаем уравнение,

рость от 0 до v . Интегрируя обе части уравнения в указанных пределах, получаем

Это знаменитая формула Мещерского-Циолковского, дающая связь между оставшейся массой ракеты и набранной скоростью. В таблице

приведено отношение m0 m в зависимости от скорости истечения га-

зов при достижении ракетой первой космической скорости v = 8 км/сек

Скорость истечения газов u0 определяется жаропрочностью двига-

теля (u0 ~ T ), при T = 30000 молекулы H2O (кислородно-

водородный двигатель) имеют скорость ~2 км/сек. Видно, что для достижения высоких скоростей и уменьшения начальной массы ракеты нужно увеличивать скорость истечения газа. Метод сжигания газа достиг предела, дальнейшее продвижение связано с созданием ионных двигателей, где молекулы газа получают большую скорость за счет разгона в электрическом поле.

Из (29.3) легко найти зависимость скорости от времени. Если двигатель выбрасывает ежесекундно одинаковую массу газа

dmг = −dm = a dt , где a = const , то масса ракеты зависит от времени как m = m0 −at . Подставляя эту массу в (29.3), получаем

66

§ 30. Работа и кинетическая энергия

Рассмотрим перемещение материальной точки (частицы) из точки 1 в 2 вдоль некоторого пути l под действием силы F , которая в общем случае может зависеть от координаты, скорости и времени. На каждом участке силу можно разложить на продольную (тангенциальную) и перпендикулярную (нормальную) составляющую по отношению к линии движения. Нормальная составляющая силы вызывает ускорение перпендикулярное траектории, которое меняет только направление скорости, а продольная сила вызывает изменение модуля скорости.

Назовем работой величину

т.е. изменение кинетической энергии равно работе сил.

Пример. Если трактор тянет сани с достаточно большой силой, а они стоят на месте, то работа не совершается. Кинетическая энергия саней не меняется, никакой энергии (горючего) в этом случае не требуется. В этом случае трактор можно заменить натянутым канатом. Дру-

67

гое дело, если сани движутся, тогда совершается работа, тратится энергия.

Рассмотрим, как кинетическая энергия зависит от системы отсчета. Пусть в неподвижной системе имеются частицы с массами m i , дви-

жущиеся со скоростями vi . В этой системе отсчета их кинетическая энергия равна сумме их кинетических энергий

Найдем теперь кинетическую энергию этих частиц в системе отсчета, в которой исходная система движется со скоростьюV . В этой системе

скорость частицы равна vi + V , откуда энергия всех частиц

K= ∑m2i (vi + V)2 = ∑mi2v2i + V∑mi vi + ∑2mi V 2 . (30.8)

Сучетом (30.6),(30.7)

где m = ∑mi . Если в исходной системе суммарный импульс частиц

i

равен нулю (система ц.м.), то второй член в (30.9) равен нулю, потому

ц.м. 2

Таким образом, кинетическая энергия равна кинетической энергии в системе ц.м. плюс кинетической энергии системы как одного тела с суммарной массой.

Единицы измерений работы и энергии

Всистеме СИ единицей энергии является Джоуль (Дж) = Н·м.

Всистеме СГСЭ единицей энергии является эрг (эрг) = дин·см.

Название «Джоуль» с честь английского физика, «эрг» от греческого ἔργον — работа. Поскольку Н = 105 дин, а м = 102 см, то

1Дж=107 эрг.

68

§ 31. Консервативные (потенциальные) и неконсервативные силы.

2

Пусть в пространстве задана сила F(r) , такая, что работа ∫ Fdl не

1

зависит от траектории, а зависит только от конечных координат. Такие силы называют консервативными (или потенциальными). Как нетруд-

но сообразить, в этом случае работа по замкнутому контуру равна нулю: ∫ Fdl = 0 . Для таких сил удобно ввести понятие потенциальной энергии между точками 1 и 2

Потенциальная энергия является скаляром (не имеет направления) и является функцией координат.

Поскольку

который, действуя на скалярную функцию, превращает ее в вектор. Заметим, что поскольку потенциальная энергия является интегралом от силы, то она определена с точностью до константы. Иначе, для

задания потенциальной энергии во всем пространстве нужно задать

69

«руками» потенциальную энергию в какой-то точке пространства, выбрать начало отсчета.

Рассмотрим несколько примеров консервативных (потенциальных) и неконсервативных (непотенциальных) сил.

Однородное поле тяжести.

Выбираем направление X – вверх, g – вниз, тогда сила тяжести

работа и потенциальная энергия

dA = mgdl = −mg dx, dU = −dA = mg dx , (31.9)

U(x) −U(a) = mg(x −a) , (31.10)

где a – точка отсчета потенциальной энергии.

Поскольку явным образом найдено выражение для потенциальной энергии, то поле потенциально.

Кулоновское поле (частный случай центрального поля):

70