16_17_konspekt

Мы проверили, что отношение конгруэнтности -отрезков и -углов удовлетворяет утверждениям аксиом третьей группы аксиоматики Гильберта. Как было показано в параграфе 4, отсюда следует, что на модели Кэли – Клейна выполняется принцип Дедекинда, что равносильно справедливость утверждений аксиом Архимеда и Кантора. Таким образом, на рассматриваемой модели выполняются аксиомы четвертой группы аксиом аксиоматики Гильберта.

На ‑плоскости имеет место аксиома параллельности Лобачевского: через ‑точку B, не лежащую на ‑прямой a проходят по крайней мере две ‑прямые b и c, не имеющие общих точек с ‑прямой a. На рисунке 94 приведена иллюстрация этого утверждения. Легко также понять, что из себя представляют параллельные направленные прямые -плоскости. Рассмотрим рисунок 95. -прямая b проходит через точку пересечения -прямой a с абсолютом. Поэтому направленная -прямая А₁А₂ параллельна направленной -прямой В₁А₂. Действительно, эти прямые не пересекаются, и, если выбрать произвольные -точки А и В, принадлежащие соответственно этим прямым, то любой внутренний луч h угла А₂ВА пересекает прямую а. Таким образом, две -прямые параллельны, если они имеют общую точку пересечения с абсолютом. Ясно, что выполняется свойство симметричности и транзитивности понятия параллельности -прямых. В параграфе 15 свойство симметричности нами было доказано, свойство же транзитивности иллюстрируется на рисунке 95. Прямая А₁А₂ параллельна прямой В₁А₂, они пересекают абсолют в точке А₂. Прямые В₁А₂ и С₁А₂ также параллельны, они также пересекают абсолют в той же точке А₂. Поэтому прямые А₁А₂ и С₁А₂ параллельны между собой.

Таким образом, определенные выше основные понятия удовлетворяют требованиям аксиом I₁-I₃, II, III, IV групп аксиоматики Гильберта и аксиоме параллельности Лобачевского, следовательно являются моделью плоскости Лобачевского. Нами доказана содержательная непротиворечивость планиметрии Лобачевского. Сформулируем это утверждение как следующую теорему.

Теорема 1. Геометрия Лобачевского содержательно непротиворечива.

Мы построили модель плоскости Лобачевского, с построением же пространственной модели, аналогичной рассмотренной на плоскости, можно познакомиться в пособии [4].

Из теоремы 1 следует важнейший вывод. Аксиома параллельности не является следствием аксиом I – IV аксиоматики Гильберта. Так как пятый постулат Евклида равносилен аксиоме параллельности евклидовой геометрии, то этот постулат также не зависит от остальных аксиом Гильберта.

1 Одна из двух дробей этого равенства теряет смысл для точек, лежащих на прямой, параллельной одной из осей координат. В этом случае соответствующая дробь не рассматривается

2 Точнее нужно говорить не о вращении плоскости, а об ограничении этого вращения на множество . В дальнейшем, если не будет возникать путаницы, мы не будем делать этих уточнений.

3 Определение флага см. в § 4. Под точкой, лучом и полуплоскостью в данном случае имеется в виду -точка, -луч и -полуплоскость.

4 В настоящем параграфе термины «конгруэнтные» и «равные» применим только к фигурам, принадлежащим -плоскости. Конгруэнтность фигур в евклидовом смысле в этом параграфе в дальнейшем не встречается.

5 Единственности точки B’ аксиома не требует, но ею удобно пользоваться при проверке последующих аксиом.