Глава 01 Системы линейн уравн

a11x1 a12 x2 a1n xn b1 ,

a21x1 a22 x2 a2n xn b2 ,

am1x1 am2x2 amn xn bm .

Таким образом, мы получили систему m уравнений с n неиз-

вестными, и поэтому равенство AX B есть матричная форма за-

писи такой системы.

1.2Определители и их свойства

Понятие определителя.

Миноры и алгебраические дополнения

Определение 1.7. Определителем (детерминантом) квадратной матрицы A второго порядка, или кратко, определителем второго

порядка называется число

18 Глава 1. Системы линейных уравнений

Определение 1.8. Определителем квадратной матрицы A третье-

го порядка, или просто, определителем третьего порядка называет-

ся число

a11a22a33 a13a21a32 a12a23a31 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.

Пример 1.7.

2 3 5

1 1 0 1 0 1

2 6 4 6 4 2

4 2 6

лученный из данного вычеркиванием строки и столбца, содержащих элемент aij .

С учетом приведенных выше определений для любого детерминанта третьего порядка справедливо следующее равенство:

A a11 A11 a12 A12 a13 A13 .

Определитель произвольного порядка можно задать аналогичным равенством. Предположим, что нам известно, как вычисляется де-

терминант (n 1)-го порядка.

Определение 1.11. Определителем (детерминантом) матрицы по-

рядка n называется число

Равенство (1.2) называют разложением определителя по элемен-

там первой строки. Последнее определение показывает, что факти-

чески вычисление определителя n-го порядка мы сводим к вычис-

лению нескольких детерминантов меньшего на единицу порядка.

Пример 1.9.

1 1 2 1

2 4 1 2

1 2 1 2

1 ( 10) 2 ( 11) 1 ( 6) 3 9 53.

Равенство, аналогичное равенству (1.2), имеет место для любой строки (столбца) определителя, о чем утверждает следующая теоре-

ма.

Теорема 1.1. Определитель произвольного порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраи-

ческие дополнения этих элементов.

Замечание. Соотношения (1.3) и (1.4) называют разложением оп-

ределителя по элементам i-ой строки и j -го столбца соответст-

венно. В дальнейшем для краткости мы будем говорить о разложе-

нии определителя по какой-либо строке (столбцу).

► Доказательство1 теоремы проведем для определителя третьего

порядка. В этом случае имеют место шесть разложений – по трем

1 Далее, на протяжении всего курса лекций, начало доказательства обозначается символом ► , а окончание — символом ◄ .

строкам и трем столбцам. Одно из них, например, разложение по элементам второго столбца, мы непосредственно проверим:

Последнее равенство следует из определения детерминанта третьего порядка. Точно так же можно проверить остальные пять равенств. ◄

В заключение этого раздела приведем без доказательства еще одну теорему.

Теорема 1.2. Сумма произведений элементов любой строки (столб-

ца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.

В соответствии с этой теоремой для определителя третьего порядка

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

будут, например, равны нулю следующие суммы (но не только эти суммы):

Свойства определителей

1) Определитель транспонированной матрицы равен опре-

делителю исходной, т.е.

AT A .

То же самое свойство можно сформулировать и по-другому:

Определитель не изменится, если все его строки поменять местами с соответствующими столбцами.

► Действительно, если разложить левый определитель по элемен-

там первой строки, а правый – по элементам первого столбца, то по-

лучится одинаковый результат. ◄

Замечание. В дальнейшем, при перечислении следующих свойств определителей, мы не будем каждый раз вспоминать о матрице, с которой связан данный определитель. Конечно, каждому определителю соответствует квадратная матрица, но определитель представляет интерес и в качестве самостоятельного объекта.

2) При перестановке местами любых двух строк (столб-

цов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меня-

ет знак на противоположный.

~

► Пусть определитель A получен из A перестановкой первой и

второй строк:

~

Разложим определитель A по второй строке:

Аналогично можно рассмотреть остальные случаи. ◄ 3) Определитель, у которого любые две строки (столбца)

одинаковы, равен нулю.

► Действительно, если формально поменять местами две одинако-

вые строки (столбца), то определитель изменит знак. Но фактически при такой операции матрица не изменилась, значит, ее детерминант

остался прежним. Тогда из равенства A A следует, что

k(a11 A11 a12 A12 a13 A13 ) k A .

Для остальных строк и столбцов доказательства аналогичны. ◄ 5) Если все элементы какой-либо строки (столбца) опреде-

лителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство следует из теоремы 1.1 либо из четвертого свойст-

ва при k 0.

6) Если элементы какой-либо строки (столбца) определи-

теля пропорциональны соответствующим элементам другой стро-

ки (столбца), то определитель равен нулю.

Это свойство является очевидным следствием третьего и четвертого свойств.

7) Если элементы какой-нибудь строки (столбца) опреде-

лителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определи-

тель может быть представлен в виде суммы двух соответствую-

щих определителей.

► Докажем это свойство для первого столбца (для других столбцов и строк рассуждения аналогичны):

8) Определитель не изменится, если к элементам какой-

либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы лю-

бой другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

► Рассмотрим определитель

В других случаях доказательство не имеет принципиальных отличий. ◄

9) Определитель треугольной матрицы равен произведе-

нию элементов, расположенных на главной диагонали.

► Разложим определитель треугольной матрицы по первому столб-

цу

Последнее десятое свойство приведем без доказательства. 10) Определитель произведения двух квадратных матриц

равен произведению их определителей:

AB AB BA .

Напомним, что результат перемножения матриц в разном порядке может быть различным, но определители полученных матриц будут одинаковыми.