Shvedenko_Nachala_matematicheskogo_analiza_2011
.pdf301
Замечание 2. Утверждение “ lim xn =x” следует отличать от отрицания утверждения “ lim xn = x”. Первое подразумевает существование у последовательности {xn} предела (конечного или бесконечного), не
равного x:
z (z =x ε >0 n0 n (n > n0 |xn −z|< ε)
µ >0 n0 n (n > n0 |xn|> µ) ;
второе же, выражаемое более простой формулой (отрицание n◦ 18)
ε >0 n0 n (n > n0 |xn −x| ε),
предполагает как существование у последовательности {xn} какого-то
предела, отличного от x, так и отсутствие у нее предела.
32 |
. “ Число b есть предел функции y = f (x) в точке a” 1 |
|
lim f (x) = b : |
||
x→a |
ε > 0 δ > 0 x(0 < |x −a|< δ |f (x) −b|< ε). |
|
|
||
32 |
. “ Число b не является пределом функции y = f (x) в |
|
точке a” 1 |
“ lim f (x) = b” : |
|
|
¬ |
x→a |
ε > 0 δ > 0 x(0 < |x −a|< δ (|f (x) −b| ε ¬(!f (x)))2. |
||
33 |
. “ Функция y = f (x) имеет предел3 в точке a” 1 : |
|
|
b ε > 0 δ > 0 x(0 < |x −a|< δ |f (x) −b|< ε). |
|
33 |
. “ Функция y = f (x) не имеет предела3 в точке a” 1 : |
b ε > 0 δ > 0 x(0 < |x −a|< δ (|f (x) −b| ε ¬(!f (x)))2.
33 . “ Функция y = f (x) определена в окрестности точки4 a, но не имеет предела3 в этой точке” :
δ > 0 x 0 < |x −a|< δ !f (x)
b ε > 0 δ > 0 x(0 < |x −a|< δ |f (x) −b| ε) .
1Или, как еще говорят, “при стремлении x к a”.
2С учетом правила ¬(A B) = A (¬B) (см. с. 274), а также того, что отрицанием утверждения “ |f (x) −b| < ε” служит утверждение: “
либо |f (x)−b| ε, либо значение f (x) не определено” (см. с. 294).
3Под пределом (без сопровождения прилагательного бесконечный) всюду понимается конечное число.
4Исключая, возможно, саму эту точку.
302
Что касается эквивалентного определения предела функции в точ-
ке lim f (x) = b — “через последовательности” (см. с. 109–110), — то
x→a
его символическая запись выходит за рамки языка L1Real, так как требует действия квантора по переменной функции (натуральной пе-
ременной):
{xn} δ > 0 n0 n (n > n0 0< |xn −a|< δ)ε > 0 n0 n (n > n0 |f (xn)−b|< ε) 1.
34. “ Функция y = f (x) имеет в точке a предел слева, рав-
ный b1” lim f (x) = b1, или f (a−0) = b1 :
x→a−0
ε > 0 δ > 0 x(a −δ < x < a |f (x) −b1|< ε).
34 . “ Функция y = f (x) при стремлении x к точке a слева
стремится к значению b1 слева” lim f (x) = b1 −0 :
x→a−0
ε > 0 δ > 0 x(a −δ < x < a b1 −ε < f (x) < b1).
34 . “ Функция y = f (x) при стремлении x к точке a слева
стремится к значению b1 справа” lim f (x) = b1 +0 :
x→a−0
ε > 0 δ > 0 x(a −δ < x < a b1 < f (x) < b1 + ε).
35. “ Функция y = f (x) имеет в точке a предел справа,
равный b2” lim f (x) = b2, или f (a+0) = b2 :
x→a+0
ε > 0 δ > 0 x(a < x < a+δ |f (x) −b2|< ε).
35 . “ Функция y = f (x) при стремлении x к точке a
справа стремится к значению b2 слева” lim f (x) = b2 −0 :
x→a+0
ε > 0 δ > 0 x(a < x < a+δ b2 −ε < f (x) < b2).
35 . “ Функция y = f (x) при стремлении x к точке a
справа стремится к значению b2 справа” lim f (x) = b2+0 :
x→a+0
ε > 0 δ > 0 x(a < x < a+δ b2 < f (x) < b2 + ε).
1Для любой последовательности {xn} точек xn =a, сходящейся к
точке a, соответствующая ей последовательность {f (xn)} (значений функции в точках xn ) сходится к числу a.
304
44. “ Число b есть предел функции y = f (x) при a, стре-
мящемся к a по множеству X ” |
lim |
f (x) = b : |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
δ > 0 x 0 < |x −a|< δ x X) 1 X x→a |
|
f (x) |
|
b |
< ε) |
|||||||||||||||||||||||||
|
ε > 0 |
|
δ > 0 |
|
x((x |
|
X |
|
0 < |
x |
− |
a |
< δ) |
− |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
| |
|
|
| |
| |
|
||||||||
45. “ Функция y = f (x) непрерывна в точке a” : |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
ε > 0 δ > 0 x(|x −a|< δ |f (x) −f (a)|< ε). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
45 . “ Функция y = f (x) не является непрерывной в точ- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ке a” : |
|
ε > 0 |
|
δ > 0 |
|
x |
|
x |
− |
a |
< δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
ε |
|
(!f (x)) |
|
(!f (a)) . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (x) |
− |
f (a) |
| |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¬ |
|
|
¬ |
|
|
|
45 . “ Функция y = f (x), определенная как в точке a, так и в ее окрестности, не является непрерывной в точке a” :
ε > 0 δ > 0 x |x −a|< δ |f (x) −f (a)| ε .
45 . “ Функция y = f (x) определена в точке a и ее окрестности, но не является непрерывной в точке a” 2:
|
|
δ > 0 |
|
x x |
− |
a |
< δ |
|
!f (x) |
|
|
| |
| |
|
|
.
ε > 0 δ > 0 x |x −a|< δ |f (x) −f (a)| ε
46. “ Функция y = f (x) непрерывна слева в точке a” :
ε > 0 δ > 0 x(a −δ < x < a |f (x) −f (a)|< ε).
47. “ Функция y = f (x) непрерывна справа в точке a” :
ε > 0 δ > 0 x(a < x < a + δ |f (x) −f (a)|< ε).
1Эту часть формулы можно опустить, если заранее оговорено, что a есть предельная точка множества X : если вблизи точки a нет
(отличных от нее) точек множества X , то остальная часть формулы
имеет значение “истина” (поскольку (x X 0 < |x −a|< δ) при малых значениях δ есть “ложь”), однако говорить о пределе функции в точке a по множеству X в такой ситуации бессмысленно.
2 В утверждении n◦ 45 изначально дано, что функция определена в точке a и ее окрестности, а здесь это составляет часть утверждения.
305
48. “ Функция y = f (x) непрерывна во всех точках мно- жества X ” :
x ε > 0 δ > 0 x ((x X |x −x|< δ) |f (x) −f (x)|< ε).
49. “ Функция y = f (x) непрерывна на множестве X ” 1:
x ε > 0 δ > 0 x((x X x X |x −x|< δ)
|f (x) −f (x)|< ε).
49 . “ Функция y = f (x), определенная на множестве X ,
не является непрерывной на этом множестве” 2 :
x ε > 0 δ > 0 x(x X x X |x −x|< δ
|f (x) −f (x)| ε).
50. “ Функция y = f (x) равномерно непрерывна на мно- жестве X ” :
ε > 0 δ > 0 x x ((x X x X |x −x|< δ)
|f (x) −f (x)|< ε).
50 . “ Функция y = f (x), определенная на множестве X ,
не является равномерно непрерывной на этом множестве”:
ε > 0 δ > 0 x x (x X x X |x −x|< δ
|f (x) −f (x)| ε).
1 Если в предыдущем утверждении для произвольно взятой точки
x X значение f (x) сравнивается со значениями f (x) для всех точек x из δ -окрестности точки x, то в этом — только для тех из них, которые принадлежат множеству X . В соответствии с этим функция
y = f (x), определенная в одной лишь точке a действительной оси не является непрерывной в этой точке (утверждение n◦ 45 для нее ложно), однако она непрерывна на одноточечном множестве X ={a}.
2 Если изначально не оговорено, что функция определена на множестве X , то формула оказывается длиннее:
x ε>0 δ >0 x x X x X |x −x|< δ
|f (x)−f (x)| ε ¬(!f (x)) ¬(!f (x) .
307
ε > 0 δ > 0 x (0 < |x −a|< δ |f (x)| ε|g(x)|).1
53 . “ f (x) = o g(x) , x → a ” (“функция y = f (x) является бесконечно малой относительно функции y = g(x) при
бесконечно малых значениях x ”):
ε > 0 δ > 0 x (0 < |x|< δ |f (x)| ε|g(x)|).
53 . “ f (x) = o g(x) , x → ∞” (“функция y = f (x) является бесконечно малой относительно функции y = g(x) при
бесконечно больших значениях x ”):
ε > 0 µ > 0 x (|x| > µ |f (x)| ε|g(x)|).
53 . “ f (x) = o g(x) , x → ∞” (“функция y = f (x) является бесконечно малой относительно функции y = g(x) при
бесконечно больших значениях x из множества X ”):
ε > 0 µ > 0 x (|x| > µ x X |f (x)| ε|g(x)|). 54. “ f (x) = O(g(x)), x → a” 2 :
c > 0 δ > 0 x (0 < |x −a|< δ |f (x)| c |g(x)|).3
55. “ x0 — точка абсолютного (глобального) максимума
функции y = f (x) на множестве X ” :
x0 X x(x X f (x) f (x0)).
55 . “ x0 — точка локального максимума функции y = f (x)
на множестве X ” :
1 Если заранее известно, что функция y = g(x) не обращается в нуль в окрестности точки a, нестрогое неравенство |f (x)| ε|g(x)| в
формуле можно заменить строгим |
f (x) |
< ε. |
||
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
2 Так и говорят: “ f (x) есть “ О большое” от g(x) при стремлении x к точке a”.
3 В случае не обращения в нуль функции g(x) утверждение озна-
чает существование окрестности точки a, в которой отношение
ограничено.
308
x0 X δ > 0 x(x X |x −x0|< δ f (x) f (x0)).
55 . “ x0 есть точка строгого максимума (абсолютного)
функции y = f (x) на множестве X ” :
x0 X x(x X x =x0 f (x) < f (x0)).
55 . “ x0 есть точка строгого локального максимума
функции y = f (x) на множестве X ” :
x0 X δ > 0 x(x X 0 < |x −x0|< δ f (x) < f (x0)).
56. “ x0 является точкой устранимого разрыва для функции y = f (x)” 1 :
|
b |
|
ε > 0 |
|
ε > 0 |
|
x(0 < |
x |
− |
x0 |
| |
< δ |
| |
f (x) |
b |
< ε) |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
− | |
|
f (x0) =b ¬(!f (x0) .
57. “ x0 — точка разрыва 1-го рода функции y = f (x)” 2 :
|
b1 |
|
ε > 0 |
|
δ > 0 |
|
x(x0 |
− |
δ < x < x0 |
f (x) |
− |
b1 |
| |
< ε) |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 ε > 0 δ > 0 x(x0 < x < x0 + δ |f (x) −b2|< ε)
b1 =b2 .
58. “ x0 — точка разрыва 2-го рода функции y = f (x)” 3 :
δ > 0 x(0 < |x −x0|< δ !f (x) |
|
f (x) |
b |
< ε) |
||||||||
b |
|
ε > 0 |
|
δ > 0 |
|
x(x0 |
− |
δ < x < x0 |
| |
|||
¬ |
|
|
|
|
|
− | |
|
¬ b ε > 0 δ > 0 x(x0 < x < x0 + δ |f (x) −b|< ε) .
1Функция y = f (x) имеет предел в точке x0 , но он не совпадает со
значением функции в этой точке (либо значение f (x0) не определено); всюду под пределом (без прилагательного бесконечный) подразумевается конечное число.
2Функция y = f (x) имеет в точке x0 предел слева и предел справа, которые не совпадают между собой.
3Функция определена в некоторой окрестности точки x0 (исключая, возможно, саму эту точку) и не имеет в этой точке либо предела слева, либо предела справа.
310
Приложение III
Буквы древнегреческого письма
|
|
Написание |
Название |
Передаваемый звук |
|
|
|
|
|
|
A |
α |
альфа´ |
[а] |
|
B |
β |
б´ета |
[б] |
|
Γ γ |
г´амма |
[г] |
|
|
∆ δ |
д´ельта |
[д] |
|
|
E |
ε |
э псил´он1 |
[е] (краткое) |
|
Z |
ζ |
дз´ета |
[дз] |
|
H |
η |
´эта |
[е] (долгое) |
|
Θ θ |
т´ета |
[т] (с придыханием) |
|
|
I |
ι |
и´ота |
[и] |
|
K |
κ |
к´аппа |
[к] |
|
Λ λ |
л´амбда |
[л] |
|
|
M µ |
мю (ми) |
[м] |
|
|
N |
ν |
ню (ни) |
[н] |
|
Ξ ξ |
кси |
[кс] |
|
|
O |
o |
о микр´он2 |
[о] (краткое) |
|
Π π |
пи |
[п] |
|
|
P |
ρ |
ро |
[р] |
|
Σ σ, ς (в конце слова) |
с´игма |
[с] |
|
|
T |
τ |
т´ау |
[т] |
|
Υ υ |
и псил´он1 |
между [и] и [у] |
|
|
Φ ϕ |
фи |
[ф] |
|
|
X |
χ |
хи |
[х] |
|
Ψ ψ |
пси |
[пс] |
|
|
Ω ω |
о м´ега2 |
[о] (долгое) |
1Греч. ψιλoν´ — тонкое, голое, слабое.
2Греч. µικρoν´ — маленькое; µεγα´ — большое.