Shvedenko_Nachala_matematicheskogo_analiza_2011

21

задания (или областью определения) функции y =f(x). Подмножество же Yf Y , составленное из вторых элементов упорядоченных пар (x, y) f , т. е. из всех элементов y Y

вида y = f(x), x Xf , называется множеством значений

этой функции.

В образном представлении Xf и Yf являются “проекциями” графика f функции y = f(x) соответственно на множества X и Y . Существенно, что разные точки графика функции (т.е. разные упорядоченные пары (x, y) f ) имеют разные “проекции” на множество X .

Если функция y =f(x) обладает тем свойством, что разные точки ее графика f X ×Y имеют разные “проекции” на множество Y (иначе говоря, если разные упорядоченные пары в f непременно различаются вторыми элементами, или, что то же самое, разным значениям x соответствуют разные значения y), то функцию y =f(x) называют

взаимно-однозначной.

Достоинством взаимно-однозначной функции y = f(x) является существование обратной (по отношению к ней) функции x = f−1(y) (переменного элемента y). График f−1 обратной функции есть подмножество декартова произведения Y ×X , состоящее из взятых с обратным порядком следования элементов упорядоченных пар (x, y) f .

Если множество значений функции y = f(x) (переменного элемента x) является подмножеством множества задания другой функции z = g(y) (переменного элемента y), то сопоставление упорядоченных пар (x, y) f и (y, z) g (с одним и тем же y) определяет композицию функций (или сложную функцию) z =g(f(x)) (переменного элемента x).

Тот факт, что y =f(x) — взаимно-однозначная функция, а x=f−1(y) — обратная к ней, выражается соотношениями:

22

x=f−1(f(x)) для любого x Xf , y =f(f−1(y)) для любого y Yf ,

т. е. функции x = f−1(y) и y = f(x) на самом деле являются

обратными по отношению друг к другу , а их множества задания и множества значений при переходе от одной к другой меняются местами.

В случае, если в качестве множества X выступает декартово произведение X1×· · ·×Xn, функция y =f(x) принимает вид y = f(x1, . . . , xn), оказываясь функцией n переменных

x1 X1 , . . . , xn Xn.

Отходя от формального подхода к поняти функции, можно сказать, что задание функции y = f(x) переменного элемента x X со значениями в множестве Y есть установление правила соответствия, посредством которого каждому элементу x множества X или некоторого его подмножества Xf (множества задания функции) сопоставляется вполне определенный элемент y множества Y (второй

элемент той единственной упорядоченной пары (x, y) f , первым в которой является элемент x).

Термин “функция”1 ввел в конце XVII в. немецкий математик и философ Лейбниц (Leibniz Gottfried Wilhelm, 1646–1716), изначально

относя его к геометрическим параметрам кривой: “Я называю функциями (fonctions) всякие части прямых линий, которые получают, прово-

дя бесконечные прямые, соответствующие неподвижной точке и точкам кривой ...” (цитировано по статье А. П. Юшкевича в Успехах математических наук за 1948 г., т. III, вып. 1, с. 180).

В 1718 г. Иоганн Бернулли2 дал определение “функции”, не связанное с геометрическими представлениями: “Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно спосо-

1Происходит от лат. fungor, functus — исполнять.

2Bernoulli Johann (1667–1748) — второй из братьев старшего поколения знаменитой семьи швейцарских математиков.

24

Отношения

Задание в множестве X n-местного отношения R соответствует указанию подмножества R Xn, принадлежность которому упорядоченного набора (x1, . . . , xn) элементов x1, . . . , xn X соответствует выполнению для этих элементов данного отношения (или, как говорят, истинности значение предиката1 R(x1, . . . , xn):

(x1, . . . , xn) R R(x1, . . . , xn). В частности, любое одноместное отношение R в множестве X со-

ответствует заданию некоего подмножества R X , и его можно рассматривать как некое свойство, выполняющееся в точности для тех элементов x X , которые принадлежат подмножеству R X : x R R(x).2

Примерами двухместных отношений в множестве R действительных чисел служат отношения “равно” (x = y) и “меньше” (x < y); отвечающие им подмножества координатной плоскости R2 (переменных x, y) — это соответственно прямая, делящая пополам 1-й и 3-й координатные углы, и расположенная “над” ней полуплоскость.

Сложение и умножение в системе R действительных чисел можно рассматривать как выражаемые формулами x+y = z и x·y = z трехместные отношения в множестве

R ; подмножества координатного пространства R3, отвечающие этим отношениям, изучают в курсе аналитической геометрии.

Пример одноместного отношения в множестве R действительных чисел — свойство числа быть (или не быть)

положительным.

1Лат. praedicatum — высказанное, сказуемое. Подробнее о предикатах — в Приложении I .

2Или (в обозначениях на с. 17) R = {x X | R(x)}.

25

Перестановки, сочетания, бином Ньютона

Под перестановкой (или размещением) n элементов1 понимают любое распределение между ними n натуральных чисел (“номеров”) от 1 до n (позволяющее мыслить их размещенными “в линию” один за другим).

Подсчитывая общее число таких перестановок , следует заметить, что “номер” n может быть отдан любому из n предметов, т. е. n способами, и при каждом распределении “номера” n распределить “номер” n−1 (между не получившими “номер” n предметами) можно n−1 способами и т. д. В результате обозначаемое2 Pn общее число всевозможных перестановок n элементов оказывается равным произведению n·(n−1) · · ·1, для которого установилось (после прочих предложений) обозначение n! (читается: “n факториал”).

Поскольку P0 = 1 (разместить отсутствующие предметы можно одним способом — ничего не делать), равенство Pn = n! при n = 1, 2, . . . дает основание полагать 0! = 1 (как это и принято считать по определению).

Под числом сочетаний из n по k (где k = 0, 1, . . . , n) понимают обозначаемое3 Cnk (другое обозначение nk ) число способов выбора k предметов из имеющихся n; в частности, справедливы равенства: Cnk = Cnn−k и Cn0 = Cnn = 1.

Найти значение Cnk при k = 1, . . . , n−1 можно исходя из соотношения Pn = Cnk · Pk · Pn−k (получить все перестановки n предметов можно, выбрав произвольно k из них, взять все их перестановки, а затем все перестановки оставшихся

1Реальных или вымышленных, но различаемых .

2С использованием начальной буквы фр. permutation — перемещение, перестановка.

3От фр. combinaison — комбинация, сочетание.

26

Обобщением формулы “квадрата суммы” и “куба суммы” служит формула “бинома Ньютона”1

ся сумма произведений akxn−k (где k = 0, 1, . . . , n), каждое из которых входит с коэффициентом, равным числу образований (при раскрытии скобок) произведения akxn−k, а оно как раз равно Cnk — числу способов выбора k скобок из n: в

n

этих k скобках при перемножении (x+ a) · · ·(x+ a) берется второе слагаемое, а в остальных n−k скобках — первое, в результате чего и образуется произведение akxn−k.

1 Английский математик, физик и астроном Ньютон´ (Newton, Sir Isaac, 1643–1727) не был открывателем этой формулы, но стал первым, кто распространил ее (в письме от 13 июня 1676 г. к Секретарю Лондонского королевского общества, через которого шла официальная

переписка между Ньютоном и его немецким коллегой и соперником Лейбницем (Leibniz Gottfried Wilhelm, 1646–1716) на отрицательные и дробные показатели (когда правая часть формулы содержит бесконеч-

ное число слагаемых). При этом Ньютон не дал общей формулы для коэффициентов, а указал лишь правило для их последовательного вычисления. Подробности, включая краткую историю “бинома Ньютона”, желающие могут найти в изданном на русском языке и снабженном подробным комментарием сборнике математических работ Ньютона [19] (на с. 218–219, 233–236, 406–407).

28

oPREDELENIE SISTEMY DEJSTWITELXNYH ^ISEL sISTEMA DEJSTWITELXNYH (ILI WE]ESTWENNYH) ^ISEL |

\TO WOOBRAVAEMOE MNOVESTWO1 OBOZNA^AEMOE R W KOTOROM

, , :

A) ESTX DWA WYDELENNYH \LEMENTA: 0 (NULX) I 1 (EDINICA) B) WYDELENO PODMNOVESTWO \LEMENTOW a, NAZYWAEMYH

POLOVITELXNYMI ^ISLAMI (OBOZNA^ENIE a>0 ILI a2R+)

W) WWEDENY OPERACII SLOVENIQ I UMNOVENIQ2: KAKOWY BY

NI BYLI \LEMENT a 2R I \LEMENT b 2R (NE OBQZATELXNO OT- LI^NYJ OT a), OPREDELENY OBOZNA^AEMYE a+ b I a b (^A]E ab, INOGDA a b) \LEMENTY MNOVESTWA R, NAZYWAEMYE SOOT-

WETSTWENNO SUMMOJ I PROIZWEDENIEM ^ISLA a I ^ISLA b

G) PREDPOLAGA@TSQ WYPOLNENNYMI UTWERVDENIQ (AKSIO- MY3) A1 { A10, W KOTORYH a b : : : | L@BYE \LEMENTY MNO-

VESTWA R (T. E. DEJSTWITELXNYE ^ISLA).

A1. a+b = b+a I ab = ba | PEREMESTITELXNYE ZAKONY (KOMMUTATIWNOSTX4) SLOVENIQ I UMNOVENIQ.

A2. a+ (b+c) = (a+b)+c I a(bc) = (ab)c | SO^ETATELX-

NYE ZAKONY (ASSOCIATIWNOSTX4) SLOVENIQ I UMNOVENIQ.

A3. a(b+c) = ab + ac | RASPREDELITELXNYJ ZAKON (DIS- TRIBUTIWNOSTX4) SLOVENIQ I UMNOVENIQ.

A4. a+0 = a I a 1 = a | SWOJSTWA NULQ I EDINICY.

1 eGO \LEMENTY I ESTX DEJSTWITELXNYE ^ISLA. oBOZNA^ENIE R OT LAT. res WE]X, DEJSTWITELXNOSTX.

2 pO SUTI \TO OZNA^AET, ^TO OPREDELENY DWE FUNKCII, KOTORYE KAV- DOJ UPORQDO^ENNOJ PARE (a b) \LEMENTOW a b 2 R (SM. S. 18) SOPOSTAW- LQ@T \LEMENT, OBOZNA^AEMYJ a+b, I \LEMENT, OBOZNA^AEMYJ a b.

3 |TO ODIN IZ WOZMOVNYH NABOROW AKSIOM: W LITERATURE WSTRE^A@T- SQ I DRUGIE, EMU \KWIWALENTNYE, T.E. PRIWODQ]IE K TOJ VE SOWOKUP-

NOSTI ISTINNYH UTWERVDENIJ O DEJSTWITELXNYH ^ISLAH.

4 lAT. commutatio PEREMENA, associatio SOEDINENIE, distributio

RAZDELENIE.

29

A5. uRAWNENIE a+ x = b IMEET W MNOVESTWE R EDIN-

STWENNOE RE[ENIE, KOTOROE OBOZNA^A@T b ; a I NAZYWA@T

RAZNOSTX@ ^ISEL b I a (ILI REZULXTATOM WY^ITANIQ ^IS-

LA a IZ ^ISLA b) RAZNOSTX 0;a OBOZNA^A@T ;a I NAZYWA@T

^ISLOM, PROTIWOPOLOVNYM a.

ZNA^ENIE a<0) ESLI b;a >0, TO S^ITA@T, ^TO a MENX[E b, ILI b BOLX[E a, OBOZNA^AQ \TO a<b (ILI b>a).

kAK SLEDSTWIE, ESLI a 6=b, TO LIBO a < b, LIBO a > b. zAPISX a 6b (ILI b>a) OZNA^AET, ^TO LIBO a<b, LIBO a=b.

A8. eSLI a>0 I b>0 TO a+b>0 I ab>0.

A9 (AKSIOMA aRHIMEDA)1. kAKIM BY NI BYLO POLO-

VITELXNOE ^ISLO a, SREDI ^ISEL 1 1+1 1+1+1, . . . |

A IH NAZYWA@T NATURALXNYMI2 | ESTX BOLX[EE, ^EM a.

1 sAM aRHIMED (A &, OK. 287{212 DO N. \.) FORMULIROWAL EE W TOM SMYSLE, ^TO IZ DWUH NERAWNYH WELI^IN (OTREZKOW, FIGUR, TEL) BOLX[AQ PREWOSHODIT MENX[U@ NA TAKU@ WELI^INU, KOTORAQ BUDU^I PRIBAWLENA K SEBE DOSTATO^NOE ^ISLO RAZ, PREWZOJDET L@BU@ ZADANNU@ WELI^INU, DOPUSKA@]U@ S NEJ SRAWNENIE.

SOZDANNYJ PRIRODOJ. oBOZNA^ENIE NA^ALXNYH IZ NIH CIFRAMI 1 2 3 : : : 9 WKUPE SO ZNAKOM NULQ 0 I POZICIONNOJ ZA-

PISX@ OSTALXNYH (OB \TOM DALEE NA S. 37{38) WOZNIKLI W iNDII, BYLI PRINQTY ARABAMI I PRI[LI W eWROPU (POTESNIW \RIMSKU@" SISTEMU ZAPISI ^ISEL) BLAGODARQ lEONARDU pIZANSKOMU, ILI fIBONA^^I (T. E.

SYNU bONA^^O Leonardo Pisano, Fibonacci), I EGO \kNIGE ABAKA" (\Liber abaci" ABAK | S^ETNOE USTROJSTWO), WY[ED[EJ W 1202 I 1228 GG. oB \TOM OBSTOQTELXNO I INTERESNO NAPISANO W KNIGAH [33] I [41].

30

A10 (AKSIOMA NEPRERYWNOSTI1). eSLI WSE \LEMENTY MNOVESTWA R RAZDELENY NA DWA NEPUSTYH PODMNOVESTWA A I B TAK, ^TO L@BOJ \LEMENT MNOVESTWA A MENX[E L@BOGO \LEMENTA MNOVESTWA B, TO SU]ESTWUET \LEMENT c2R, QWLQ- @]IJSQ LIBO NAIBOLX[IM W MNOVESTWE A, LIBO NAIMENX[IM W MNOVESTWE B.2

aKSIOM A1{A10 DOSTATO^NO DLQ ARGUMENTIROWANNOGO WYWODA WSEH PRIWY^NYH SWOJSTW DEJSTWITELXNYH ^ISEL.

wOT NEKOTORYE IZ \TIH SWOJSTW, KOTORYE OKAZYWA@TSQ TEOREMAMI, WYWODIMYMI IZ SFORMULIROWANNYH AKSIOM.

A =fx2R j x<cg, A B =fx2R j x>cg | WO WTOROM.

dANNOE SWOJSTWO SISTEMY DEJSTWITELXNYH ^ISEL SFORMULIROWAL W RABOTE 1872 G. ([7], S. 20{21) NEMECKIJ MATEMATIK dEDEKIND (Dedekind Richard, 1831{1916), ODNAKO E]E DO NEGO (W 1817 G.) \TO SWOJSTWO WYRA- ZIL (^UTX W DRUGIH TERMINAH) ^E[SKIJ MATEMATIK, LOGIK I FILOSOF bOLXCANO (Bolzano Bernard, 1781{1848), O VIZNI I RABOTAH KOTOROGO MOVNO PRO^ITATX W KNIGE |. kOLXMANA [11].

gEOMETRI^ESKAQ FORMULIROWKA AKSIOMY (ESLI DEJSTWITELXNYE ^ISLA MYSLITX TO^KAMI PRQMOJ, A NERAWENSTWA a < x < b WYRAVATX SLOWAMI \x LEVIT MEVDU a I b"): \eSLI WSE TO^KI PRQMOJ RAZDELENY NA DWA MNOVESTWA A I B TAK, ^TO NIKAKAQ TO^KA NIKAKOGO IZ NIH NE LEVIT MEVDU TO^KAMI DRUGOGO, TO SU]ESTWUET TO^KA PRQMOJ, NE LE- VA]AQ NI MEVDU TO^KAMI MNOVESTWA A, NI MEVDU TO^KAMI MNOVESTWA

B." (Amer. J. of Math., 1911, v. 33, no. 3, p. 291).