курсовая_2часть

Рецензент, к.т.н., доцент Посконный Г.И.

Задание рассмотрено на заседании кафедры (протокол №_____.)

“____”_____________________200__ г.

2

1.1.Расчет начальных и установившихся реакций цепи. Формулировка начальных условий

1.1.1. Расчет тока и напряжения в схеме до коммутации

Учитывая, что для постоянного тока емкостной элемент представляет собой разрыв, а индуктивный - короткое замыкание ветви, получаем эквивалентную схему рис.1.2 для момента времени t = -0.

Ток iC(-0) = 0, так как в ветви с емкостью постоянный ток не проходит. Напряжение UL (-0) = 0, так как падения напряжения на индуктивности при постоянном токе нет. Тогда

1.1.2.Формулировка начальных условий

Вприведенных заданиях рассматриваются цепи без топологических вырождений (случаи некорректной коммутации), поэтому определение

независимых начальных условий базируется на законах коммутации, в

соответствии с которыми ток в катушке индуктивности и напряжение на конденсаторе скачком изменяться не могут. Таким образом, в момент коммутации t = +0 величины тока индуктивности и напряжения емкости равны соответственно их величинам в момент непосредственно предшествующий коммутации t = -0:

iL(+0) = iL(-0) UC(+0) = UC(-0)

3

Все остальные токи и напряжения, являясь зависимыми начальными условиями, в момент коммутации могут изменяться скачком. Они определяются из уравнений, составленных по законам Кирхгофа, для схемы после коммутации при t = +0 (рис.1.3) с учетом найденных ранее iL(+0) и UC(+0).

ЗТК для 1 узла: -i(+0) + iC(+0) + iL(+0) = 0 iC(+0) = i(+0) -iL(+0)

ЗНК для 2 контура: UL(+0) + iL(+0)·R1 - UC(+0) = 0 UL(+0) = UC(+0) - iL(+0)

·R1

1.1.3. Расчет установившихся реакций в цепи после коммутации

Этот расчет проводится аналогично п.1.1.1, схема в данном случае рассматривается после завершения переходного процесса рис.1.4.

1 ЗНК - закон напряжений Кирхгоффа или второй закон Кирхгоффа, аналогично ЗТК – закон токов или первый закон.

4

iC( ) = 0 UL( ) = 0

По результатам расчетов, проделанных в п.1.1 целесообразно построить таблицу, по которой легко можно проверить правильность вычислений, а именно, так как iC(t) и UL(t) переменные состояния, то в выделенных частях таблицы правые столбцы должны быть равны левым. Кроме того, так как t = 0 и t = соответствуют установившимся режимам до и после коммутации и на схему воздействует источник постоянного напряжения, то ток через конденсатор и напряжение на катушке в этих режимах всегда равны нулю и в нижних выделенных частях таблицы всегда должны быть нули.

1.2.Составление системы дифференциальных уравнений для цепи после

коммутации

На основании законов Кирхгофа составляем систему уравнений для цепи после коммутации рис.1.3. Затем, используя уравнения элементов, приведенные в табл.2.1, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно выбранных переменных - токов и напряжений. В состав этих переменных должны входить iL, UC и искомая величина, если она не является одной из выше перечисленных.

Для наглядности полученных уравнений и для упрощения дальнейшего перехода к матрице переменные в уравнениях системы целесообразно располагать в колонках друг под другом соответственно.

Таким образом, для рассматриваемого примера получим следующую систему уравнений по законам Кирхгофа:

5

Проведя замену по табл.2.1 получим систему дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемую цепь после коммутации.

1.3.Нахождение характеристического уравнения расчет его корней

При составлении характеристического уравнения можно пойти тремя путями:

1)привести систему уравнений, полученную в предыдущем пункте, к одному дифференциальному уравнению;

2)выделить главный характеристический определитель, который формулируется следующим образом. Каждый столбец определителя содержит

коэффициенты при соответствующей переменной (в нашем случае это iL(t), i(t) и UC(t)): один - при х1, другой - при х2, третий –

при х3 и так далее. При этом первая производная d/dt заменяется на

переменную характеристического уравнения , вторая - на 2 , и так далее. Например, если электрическая цепь, образующаяся после коммутации, описывается следующей системой дифференциальных уравнений

6

где х1, х2, х3 - переменные, которые выбираются согласно табл.2.1, таким образом, чтобы система уравнений не содержала интегралов;

q1, q2, ...,qn - возмущения (источники напряжения или тока);

a mk, d mk, b mn – коэффициенты при переменных и возмущениях. Тогда ее главный характеристический определитель имеет вид

Следует отметить, что главный определитель системы учитывает только коэффициенты при неизвестных, и в него никогда не входят параметры известной правой части.

Раскрывая этот определитель (Приложение 1) и приравнивая его к нулю, получаем характеристическое уравнение, которое можно записать в форме

2 2 02 0

где и 0 - коэффициенты, зависящие от параметров цепи и ее топологии. Система дифференциальных уравнений, взятая в пример для

демонстрации метода определения главного характеристического определителя, соответствует уравнениям цепи рис.1.3, составленным в п.1.2. Таким образом, главный характеристический определитель рассматриваемой цепи при подстановке в него коэффициентов будет иметь следующий вид:

3) определить характеристическое входное сопротивление цепи, в котором j заменяется на .

Найдем это выражение для рассматриваемого примера.

C

Приравняв к нулю характеристическое входное сопротивление можно получить характеристическое уравнение. Так как полученное выражение - дробь, то характеристическое уравнение будет представлять собой ее числитель, приравненный к нулю.

7

2 LCR2 R1R2C L R1 R2 02 R1R2C L R1 R2 0

LCR2 LCR2

В результате мы получили уравнение, полностью совпадающее с уравнением (1.2) полученным в предыдущем пункте другим способом.

вещественные, а при 0 , 1,2 j св - комплексно-сопряженные, где

С В 02 2 .

Произведем расчет корней характеристического уравнения для рассматриваемых примеров.

1.4.Решение системы уравнений (характеристического уравнения)

Из курса математики известно, что решение системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений имеет вид

x(t) xуст (t) xсв(t)

Здесь хуст(t) - установившаяся составляющая2 - ток или напряжение в цепи после завершения переходного процесса (i( ) или U( )). Их расчет проводится для схемы, образующейся после коммутации при t в п.1.1.3. Установившаяся составляющая определяется источниками и параметрами самой цепи. Если она не равна нулю, то это означает, что после коммутации в схеме начинают (или продолжают) действовать источники. Это и "принуждает" к существованию установившуюся составляющую в виде токов и напряжений, вызванных источниками. Так как в рассматриваемых заданиях используются источники постоянного напряжения, то величина хуст не зависит от времени и может записываться без аргумента в скобках.

2 В литературе установившаяся составляющая решения может упоминаться как вынужденная или принужденная, что не меняет ее физического смысла.

8