Metod_MR_sam_rab_Teoret._mekhan._14.03.01_00.00.00

2.5.4 Сложное движение точки

Основные положения кинематики сложного движения точки

Движение точки называется сложным, если точка движется относительно некоторой системы координат оxyz, движущейся относительно другой системы координат о1x1y1z1, условно принимаемой за неподвижную и называемой основной системой отсчёта (рис. 39). Движение точки по отношению к основной системе

определения переносного движения необходимо мысленно скрепить данную точку с подвижной системой отсчёта (с движущимся твёрдым телом). Движение твёрдого тела с рассматриваемой точкой, как точкой тела, является переносным движением.

Приняты следующие обозначения:

Va , aa – абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки

(скорость и ускорение точки по отношению к основной системе отсчёта);

Vr , ar – относительная скорость и относительное ускорение

точки (скорость и ускорение точки по отношению к подвижной системе отсчёта);

Ve , ae – переносная скорость и переносное ускорение (скорость и ускорение точки подвижной системы отсчёта, с которой в данный

61

момент времени совпадает движущаяся точка).

В сложном движении абсолютная скорость точки равна векторной (геометрической) сумме её переносной и относительной скоростей, т.е.:

Вектор абсолютного ускорения точки равен векторной сумме переносного ускорения, относительного ускорения и ускорения

(переносная угловая скорость).

Из выражения (50) следует формула для вычисления модуля ускорения Кориолиса, а именно:

Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу векторного произведения в равенстве (50) или по правилу Н.Е. Жуковского.

Правило Н.Е. Жуковского.

1) Вектор относительной скорости Vr спроецировать на плоскость, перпендикулярную вектору ωe (оси переносного

вращения).

2) Полученную проекцию повернуть в указанной плоскости на

62

угол 90° в сторону переносного вращения – это и будет направление ускорения Кориолиса (рис. 40).

Ускорение Кориолиса равно нулю в следующих случаях:

а) ωe = 0, т.е. в случае переносного поступательного движения; б) ωe Vr – векторы угловой скорости переносного движения и

относительной скорости параллельны;

в) в моменты времени, когда ωe и (или) Vr равны нулю.

Рисунок 40 – Направление ускорения Кориолиса

Если переносным движением является вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси и относительное движение точки криволинейно, то формулу (49) необходимо записывать в следующем виде:

Величины этих ускорений определяются по формулам:

вращения;

he – расстояние движущейся точки до оси переносного

Если переносное движение является плоским или имеет место общий случай движения твёрдого тела, то для определения переносного ускорения следует воспользоваться формулой ускорения точки тела в соответствующем движении.

При определении абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки по векторным формулам (47) и (49) – (52) обычно применяется метод проекций. Согласно этому методу, необходимо спроецировать, например, равенство (52) на оси выбранной системы координат, т.е. вычислить проекции абсолютного ускорения на эти оси, а именно:

Далее определяется модуль абсолютного ускорения по формуле:

План решения задач

1)Разложить движение точки на составляющие, определив относительное, переносное и абсолютное движения.

2)Определить положение точки в подвижной системе отсчёта (на твёрдом теле) в расчётный момент времени.

3)Найти относительную скорость и относительное ускорение

точки.

4)Определить в переносном движении угловую скорость, угловое ускорение, скорость и ускорение точки.

5)По найденной угловой переносной скорости и относительной скорости точки определить ускорение Кориолиса.

6)Пользуясь методом проекций, определить модули и направления (в виде направляющих косинусов) абсолютной скорости

иабсолютного ускорения точки.

Пример 1. Пластина OABCD (OA = OD, рис. 41) вращается вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости

пластины, по закону ϕe = 0,5t 2 − t 3 , рад (положительное направление отсчёта угла ϕe показано на рисунке 41 дуговой стрелкой). По дуге окружности радиусом R=0,5м движется точка М по закону S r = AM = 2πR cos(π t / 3) , м (положительное направление отсчёта дуговой координаты Sr – от А к М). Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки в момент времени t1 = 2 с.

65

Рисунок 41 – К примеру 1

Решение:

1) Точка М совершает сложное движение. Относительным движением при этом является движение точки по дуге окружности

пластины OABCD вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины, по закону ϕe = 0,5t 2 − t 3 ,

рад. Движение точки по отношению к неподвижной плоскости, в которой расположена пластина, является абсолютным.

2) Определяем положение точки М на пластине, для чего вычисляем значение дуговой координаты Sr в заданный момент времени t1 = 2с; численно:

S r1 = AM 1 = 2πR cos(2π / 3) = 2πR(−0,5) = −πR м.

На рисунке 41 показано положение точки М1, соответствующее вычисленному значению дуговой координаты, т.к.:

AO1M 1 = S r1 / R = −π .

3) Находим относительную скорость точки, алгебраическое значение которой равно:

66

Знак "–" показывает, что вектор относительной скорости Vr направлен по касательной к окружности в сторону отрицательного

алгебраическую величину касательного относительного ускорения. Учитывая выражение (58), получаем:

Для момента времени t1 = 2 c имеем:

относительного касательного ускорения arτ направлен по касательной

4) Определяем в переносном движении угловую скорость и угловое ускорение, а также переносную скорость и переносное ускорение точки.

Алгебраические значения переносной угловой скорости и переносного углового ускорения равны:

Для момента времени t1 = 2 c получаем:

угловая скорость и угловое ускорение направлены противоположно положительному направлению отсчёта угла поворота пластины ϕe

(рис. 41). Вектор переносной угловой скорости ωe направлен по оси вращения пластины от нас (с конца вектора ωe вращение тела должно

наблюдаться происходящим против хода часовой стрелки).

Находим переносную скорость точки во вращательном движении пластины с угловой скоростью ωe . Имеем:

Ve = ωe he = 10 1,41 = 14,1м/с,

где he = ОМ1 = 2R2 = 2 0,5 1,41 = 1,41м – расстояние от точки М1 до оси вращения О (рис. 41).

Определяем переносное ускорение точки в рассматриваемом движении пластины. Учитывая формулы (53), получим:

ускорение;

68

вектор Vr находится в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то поворачиваем его на 90° в этой же плоскости в сторону угловой скорости ωe , т.е. по ходу часовой стрелки. Изображаем вектор aK на рисунке 41.

6) Определяем абсолютную скорость точки в соответствии с

Проецируем равенство (59) на координатные оси M1x и M1y (рис. 41). Получим для момента времени t1 = 2 с:

Спроецируем обе части (60) на оси M1x и M1y. Получим для t1 = 2 c:

Пример 2. Пластина ОАВ вращается вокруг неподвижной оси ОА по закону ϕe = 0,9t 2 − 9t 3 (положительное направление отсчёта угла поворота ϕe показано на рис. 42). По прямой ОВ движется точка

абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М для момента

Решение:

1) Точка М совершает сложное движение. Относительное движение – движение точки М по прямой ОВ по

закону S r = ОM = 16 − 8cos 3π t ,см. Переносное движение – вращение