Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

324

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

1.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Глава

Интеграл

Справочный материал и примеры решения задач

1. Основные свойства неопределенного интеграла

f ′(x) dx = f (x) +C

2. af (x) dx = a f (x) dx, a = 0

3. R

( f (x) +g(x)) dx = f (x) dxR

+ g(x) dx R

2. Таблица первообразных элементарных функций

xn dx =

xn+1

+C, n = 1

n +1

Rdxx = ln

6−

x +C

Rax dx =

|a|x

+C, a > 0, a = 1

ln a

Rex dx = ex +C

Rsin x dx = −cos x +C

Rcos x dx = sin x +C

= tg x +C

dx2

= ctg x +C

cos

=−1 arctg x +C, a = 0

sindxx

2 +

ln x −a a

6a = 0

dxa

+C,

x2 −a2

. R

x +a

= arcsin

+C,

a = 0

Rpx2 +a = ln x +px2 +a

+C, a 6= 0

dx−x

II. Математический анализ функций одной переменной

3. Метод замены переменной.

Данный метод имеет две основные модификации, которые мы проиллюстрируем на следующих примерах.

. Метод подведения подR знак дифференциала.

Вычислить интеграл

sin3 x cos x dx.

Решение.

sin3

cos

sin3

(sin

)′

sin3

sin x = {u = sin x} =

x dx

x d

sin4 x

. Метод подстановки.

1 +x

= Ru

du =

4 +C =

+C.

Вычислить интеграл

dx.

1 +p

Решение. ВыполнимRподстановку x =u2, dx =2u du, u =p

1 +x

dx =

(1 +u2)2u

du =

1 +u

u3 +u

−

du =2

u +

du =

2 (u

u 2) du

1 +u

2Ru3

−2

−

R+

3 −u

4u −4 ln |1

2(p

+ p

−x

x −

4 ln(1

4. Метод интегрирования по частям.

В основе данного метода лежит формула

f ′(x)g(x) dx = f (x)g(x) − f (x)g′(x) dx.

Вычислим следующий интеграл с помощью данного метода.

2x2 ln 3x dx =

2x3

′ ln(3x) dx =

2x3

ln 3x

2x3

1 dx =

−2xR3 ln

2x3 ln 3x

+C.

x dx =

Формулу интегрирования по частям−такжеR

используют и−в следую-

щем виде:

u(x) dv(x) = u(x)v(x) − v(x) du(x).

	Глава . Интеграл

	Рассмотрим ее применение при вычислении предыдущего инте-
грала:
R	2x3	2x	3	ln 3x −R	2x	3	d ln 3x =
R	2x2 ln 3x dx = Rln 3x d 3	= 3		ln 3x −R	3		d ln 3x =

=23x3 ln 3x −R 23x3 1x dx = 2x3 3ln 3x −23 Rx2 dx =

=2x3 3ln 3x −29x3 +C.

§ . Неопределенный интеграл

1.1. Вычислив производную (cos x5)′, найдите

x4 sin x5 dx.

1.2. Вычислив производную (ln(1

−

x4))′, найдитеR

dx.

−

Найдите неопределенные интегралы ( . –– . ).

4 +

1.4.

dx.

1.3.

3 px

x2 dx.

1.6.

14++x2 −2 +

4 −x2

1.5. R

1 dx.

p1 dx.

1.7. R

1.8. R

x2 +1

dx.

1 −x

2 dx.

1 +

Rp3

1.10.R

x −1

dx.

−7x dx.

1.9.

1.12. R

p1 3x

1.11.R

2x +3 dx.

1 −−3x dx.

1.13. R

2x +1

1.14. R

3 +2x

3 arctg2 x

dx.

3 tg2 x

dx.

x2 +1

cos2

1.15.

dx.

1 +ln x

Rx2p3ln

1.16.

5 x

dx.

1.17.

dx.

1.18.

8 dx.

1.19.

sinpx

dx.

1.20.

etgpx

dx−.

cos2 x

cos3 x

1.21. Rp

sin 5x dx.

1.22. R

x2 +1

dx.

3 +cos 5x

+3x +1)

1.23.

dx.

1.24.

dx.

x dx

xx dx

1.25. R

1.26. R

x2 +1

1 −x4

II. Математический анализ функций одной переменной

1.27. p dx .

R 7 −5x2
1.29.		2 arcsin x +x				dx.
				2
1.31.		p1 −xdx			.
1.31.	sin(ln x)				.
R			dx	x
1.33. R						.
		p
		p

R3 −2x −x2

1.35.x sin 3x dx.

1.37.(x2 +2x +3) cos x dx.

1.39.(x +1) cos 3x dx.

1.41.(2x +2)e2x dx.

1.43.x2 cos x dx.

1.45.(2x +3) cos 3x dx.

1.47.(2x +3) ln x dx.

1.49.(4x3 +6x −7) ln x dx.


		x dx
1.51.				.
		cos2
1.53.	Rln x		x .
	R	x3	dx

Rx dx

1.28.2x2 +3 .

1.30.e−(x2+1) x dx.

1.32.		dx
	x2 +4x +5		.
R				.
	p
1.34. R		dx

Rx2 +2x +8

1.36.x2 sin x dx.

1.38.(x +1)e−x dx.

1.40.(6x +3) cos 2x dx.

1.42.x2e−x dx.

1.44.(3x +1) sin 5x dx.

1.46.(2x +5)e3x dx.

1.48.(4x3 +x2) ln x dx.

1.50.x ln(3x +2) dx.

1.52.x arctg x dx.

1.54. Найдите первообразную функции

f (x), график которой

проходит через заданную точку M. Используйте указанную замену

переменной:

а) f (x) =

x−4

, M

; −1 ,

−1 =t2;

б) f (x) =

, M(1; 1),

−

1 =t3

;

p12

−x

в) f (x) =

x2 ·

, M(1; 0),

;

1 +x2

M(1; 0),

г) f (x) =

+1 =t .

(4 +x2)3

Глава . Интеграл

1.55. Известно, что

π3/2 cos x

дите g′(p

R x2 +π2

F(x)

C и g(x)

F(x

). Най-

1.56.

Известно, что

Rx2 +9 dx

F(x)

C и g(x)

F(x

). Найди-

те g′(2).

1.57. Известно, что

g(x)

dx =a

G(x, b)+c G(x, d)+C, где

x2 +3x +2

G(x, x0) –– первообразнаяRфункции

g(x)

·. Найдите

·a, b, c, d, если

x −x0

b >d.

1.58.

неопределенный интеграл

f (x)

Найдите

Rx2 +x −6 dx, если

f (x)

dx = F(x; a) +C,

x −a

где F(x; a) –– заданнаяRфункция переменных x и a, C =const.

1.59.

неопределенный интеграл

x · f (x)

Найдите

Rx2 +x −6 dx, если

f (x)

dx = F(x; a) +C,

x −a

где F(x; a) –– заданная функция переменных x и a, C =const.

§ . Определенный интеграл

Вычислите определенные интегралы ( . –– . ).

3		2
2.1. R1	x3 dx.	2.2. R1	x2 +	1	dx.
				x4

R1 p

2.3.1 +x dx.

	0
	R4
	2
		x dx
2.5.	1	1 +x2			.
	1
2.7. R01				dx
						.
		p
		p	2x +1
	−R1			dx
2.9.							.
		p
		p		5 −4x

2.4. pdx .

04 −x2

lnR3

2.6. pex dx . ex +1

R1 p

2.8. x2 1 −x3 dx.

−2

R5 p

2.10.x x2 −16 dx.

II. Математический анализ функций одной переменной

2.11. R0

x(2 −x2)5 dx.

x dx

25 −x2 .

2.12. R3

2.13. R0

x6 dx

(1 +p

2x +1)p

2.14.

2x +1

1 +(x7 −1)2

2.15. R0

x dx

2.16. R0

x dx

x4 +1

(x2 +1)2

1 +ln3 x

2.17. R0

x3 +1

dx.

2.18. R1

dx.

(x4 +4x +2)2

2.19.

R2/2 p

x dx

01 −x4

2.20.Сделайте рисунок и вычислите площадь фигуры, ограни-

ченной графиками функций:

а) y =3x −x2 и y =−x;

б) y =x2 −2x +2 и y =2 +4x −x2; в) y =2x2 −4x +3 и y =3 +4x;

г) y =x2 и y =2x −x2.

2.21. Выразите через определенный интеграл и найдите

lim 1

′

5n +1

′

5n +2

′

5n +3

…

′

n→∞ n

если функция f (x) имеет непрерывную первую производную и f (n)= =n! при n N.

2.22. Выразите через определенный интеграл и найдите предел:

→ k n

esin nk

sin k

sin k −1

а) lim

−

;

n ∞ =

P2n

(k −1)π

lim

tg kπ

−

;

б) n→∞ k=1 q

4n ·

lim

−

ln k

−n

в) n→∞ k=n+1 ln n

· ln n

2.23.Функция f (x) непрерывна на указанном отрезке и F′(x) =

=f (x). Чему равен определенный интеграл:

Глава . Интеграл

R3			R5
7			4
а)	f (2x +1) dx, [0; 15];		б)	f (3x −2) dx, [0; 11];
3			2
в) R1	f (4x +2) dx, [−1; 19];		г) R2	f (3x −4) dx, [−1; 19]?
		π/6		1
2.24. Известно, что		R0 sin 3x ·f (cos 3x) dx=−1. Найдите R0			f (x) dx.
2.25. Пусть Rf (x) dx =F(x) +C. Найдите

а) f (ln(2x +1)) (2x +1) dx;

	0
	1
	0,5R	1		dx
в)		f		x3	;
в)		f	x2	x3	;

б)	f (x3)x2 dx;

−2

π/R2

г) f (1 +sin 2x) cos 2x dx.

2.26. Найдите множество всех возможных значений f (180), ес-

ли:

а) f (0) =0 и 1 ¶ f ′(x) ¶2 при всех x [0; 180];

б) f (400) =500 и 1 ¶ f ′(x) ¶2 при всех x [180; 400];

в) f (0) =0, f (400) =500 и 1 ¶ f ′(x) ¶2 при всех x [0; 400].

2.27. Найдите множество всех возможных значений f (2), если f (0) =0, f ′(0) =1 и 1 ¶ f ′′(x) ¶6x2 +1 при всех x [0; 2].

2.28. Известно, что F′(x) = f (x) и G(x) –– первообразная функции

cos 2x

f (sin 2x). Найдите G

π4 , если F(0) =2, F(1) =3 и G(0) =2.

2.29. Известно, что G′(x)

sin 3x

f (cos 3x)

и F(x) –– первообраз-

если

(0) =2,

ная функции f (x). Найдите F(0), 3

G 6

1 и F(1)

2.30. Известно, что F′(x) = x

g′(x) и G′(x) = x g(x). Найдите

F(2), если F(0) =1, g(0) =1, G(0) =1, g(2) =2, G(2) =2.

2.31.Известно, что F′(x) =sin x ·g′(x) и G′(x) =cos x ·g(x). Найдите F(π), если F(0) =1, G(0) =1, G(π) =3.

2.32.Функция f (x) непрерывна и монотонна на отрезке [0; 6].

Найдите интервал (A; B) возможных значений I( f ) = f (x) dx при

указанных условиях и приведите графический пример функции f (x)

II. Математический анализ функций одной переменной

такой, чтобы:

1) I( f ) ≈ A; 2) I( f ) ≈ B; 3) I( f ) = A +2 B .

а) f (0) =1, f (2) =2, f (3) =3, f (4) =4, f (6) =5 и f возрастает; б) f (0) =5, f (1) =4, f (3) =3, f (4) =2, f (6) =0 и f убывает.

2.33. Найдите экстремумы функции

F(x) = Rx t4 −3t3 +2t2 dt g2(t) +1

(g(x) –– непрерывная функция).

2.34.Известно, что f (x) –– непрерывная функция. Кроме того,

2Rx+1

f (0) =2, f (1) =3, G(x) = f (t)dt и G′(x) =g(x). Найдите g( ).

2.35. Известно, что f (x) –– непрерывная функция. Кроме того,

Rx2

f (2) =2, f (4) =3, G(x) = f (t)dt и G′(x) =g(x). Найдите g( ).

Rπ

sin x ·g′(x) dx,

2.36. Известно, что G′(x) =cos(x) ·g(x). Найдите

если G(0) =1, G(π) =3.

2.37. Найдите R1

x2 f (x3) dx, если

f (x3) dx = 3,

f (x) dx = 6 и

f (x) dx = 9.

2.38. Найдите R0

x f (4 −x2) dx, если

f (4

−

x2) dx = 2,

(

) dx = 4 и

(

)

= 6.

) –– задан-

2.39. Найдите

, если

2R0

где

(

ная функция.

e−

F(x),

g(0) =1, G(0) =1, g(2) =2′, G(2) =2.

g′

(

)

, если

2.40.

Известно, что G (x)

= x g(x). Найдите

	Глава . Интеграл

если G(0) =1, G(π) =3.G′		x		x ·g		x		π	cos x ·g′(x) dx,
если G(0) =1, G(π) =3.G′	(	x	) =sin	x ·g	(	x	). Найдите	R0	cos x ·g′(x) dx,
2.41. Известно, что	(		) =sin		(		). Найдите

§ . Несобственный интеграл

Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость ( . –– . ).

R∞

∞

3.1.

x2 .

3.2.

x .

3.3.

dxp .

3.4.

3.5.

xe−x2 dx.

3.6.

dx.

x2 +4

∞

R+∞

3x2

−+R∞

3.7.

arctg x

dx.

3.8.

dx.

3.9.

x2 +1

x3 +1

x ln3 x

R0+∞

Re+∞

x dx

x4 dx

xe−x dx.

3.10.

. 3.11.

3.12.

(x2

+5)3

+1)

−+R

−

−R

∞ p

−

∞

3.13.

e−p

dx.

3.14.

3.15.

∞

x x2 1

x2 +6x

+11

∞

−R∞

. 3.18. R0

3.16.

3.17.

1 +x2

x2 +4x +9

	1
3.19. R0		dxx .
	1
3.22. R0		dxx p .
	0
					dx
	1		p
	1		p	(x +1)3 .
3.25.	−R1			(x +1)3 .
3.28.	Rp2x dx					.

1
3.20. −R1	dxx .
3
3.23. R0	dx
		.
	(x −1)2
2
3.26. R0	dx
	x		.
	(x2 −1)4/5

3.29.x ln x dx.

3.21. R1	dxx2 .
0
3.24. R1		dx	.
	p

0		1 −x2

0,5R

3.27. 0 x ln2 x .

0 1 −x4

II. Математический анализ функций одной переменной

Исследуйте сходимость несобственных интегралов ( . –– . ).

R∞
1
		dx
3.30.	p	x	+x2			.
0
3.33. R1			dx
							.
	x +p				+1
	x +p			x	+1

1								1
R∞ p		dx						R∞		dx
R∞ p			−		.			R∞	p	−		.
3.31.					.		3.32.		3			.
0		1		x3				0	3	1 x2
0								0
3.34. R1			dx			.	3.35.	R1			dx		.
	x4 +x3 +1								xp		+x +1
	x4 +x3 +1								xp	x	+x +1

∞		∞
sin dx		R0 xe−x			2
3.36. R1 x2 x+1 .	3.37.	R0 xe−x				dx.
3.38. Известно, что Φ(x) =R0				f (t, 0, 1) dt, где
	f (x, a, σ)	=		1				(x −a)2
			p				exp	2σ2	,
			p	2πσ			exp	2σ2	,
и
Φ(0,5) ≈ 0,1915,						Φ(1) ≈ 0,3413,
Φ(1,5) ≈ 0,4332,						Φ(2) ≈ 0,4772,
	lim Φ(x) = 0,5.
	x→+∞

Найдите параметры a или σ, если:

а) f (x, a, 4) dx ≈0,9332;

−∞

в) f (x; 6; σ) dx ≈0,1587;

−∞

R∞

б) f (x; a; 6) dx ≈0,9772;

R∞

г) f (x; −2; σ) dx ≈0,3085.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.201983.02 Кб3Сам.работа №2.docx
#
26.03.2016155.91 Кб6санди таймс.docx
#
01.09.201942.55 Кб4Сара Брайтман.docx
#
29.08.2019540.18 Кб4сборник 2.rtf
#
09.11.2019200.19 Кб26Сборник Essay.doc
#
26.03.20161.04 Mб324Сборник задач по высшей математике.pdf
#
10.11.20193.13 Mб10Сборник инд.зад. по электронике.doc
#
13.11.20191.09 Mб28Сборник тестов по СГМУ.doc
#
02.06.2015364.24 Кб26Сборник+задач.Часть+2.pdf
#
02.06.20154.04 Mб48сборник_конституционное_право_и_политика.pdf
#
25.11.2019847.87 Кб25Сборник_практ.doc