Сборник+задач.Часть+2
.pdfЛогвенков С.А. Мышкис П.А. Самовол В.С.
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии.
Москва Издательство МЦНМО
2010
Логвенков С.А. Мышкис П.А. Самовол В.С. Сборник задач по математическому анализу. Функция одной переменной. Учебное пособие для факультетов менеджмента,
политологии и социологии. – М.: МЦНМО, 2010. ???? с.
ISBN ????????
Сборник задач составлен в соответствии с программой по математическому анализу для подготовки студентов, обучающихся по специальности менеджмент, социология, политология. Содержит задачи по следующим разделам: предел последовательности, предел функции, производная функции, формула Тейлора, исследование функций и построение их графиков, интегрирование, обыкновенные дифференциальные уравнения.
ISBN ???????? |
© Коллектив авторов |
|
© Издательство НЦНМО, 2010 |
2
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Предисловие |
4 |
|
1. |
Предел последовательности |
5 |
2. |
Предел функции |
9 |
3. |
Производная функции |
15 |
4. |
Формула Тейлора |
24 |
5. |
Исследование функций и построение их графиков |
30 |
6. |
Интеграл |
35 |
7. |
Обыкновенные дифференциальные уравнения. |
46 |
Ответы |
53 |
3
Предисловие
Настоящий сборник задач посвящен одному из основных разделов высшей математики: основам дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной. Он составлен в соответствии с программами курса «Алгебра и анализ», читаемого на различных факультетах Государственного университета - Высшей школы экономики (ГУ-ВШЭ). Изложение материала в предлагаемом сборнике ориентировано на углубленное изучение фундаментальных математических идей и методов, широко применяемых в исследовании социально-экономических процессов и явлений.
Для облегчения восприятия и удобства пользования весь материал разбит на части. При этом основное внимание сосредоточено на таких темах, как пределы последовательностей и функций, производные и их применение, исследование функций и построение их графиков, неопределенный и определенный интеграл, методы решения простейших дифференциальных уравнений.
Большая часть задач снабжена ответами.
При подборе примеров и задач привлекались разнообразные источники и, прежде всего, те книги, которые вошли в приведенный в конце сборника библиографический список.
4
1. Предел последовательности.
Вычислите пределы
1.1. lim |
(1+3n)3 −27n3 |
|
|
+ 4n)2 + 2n2 |
|
n→∞ (1 |
||
1.2. lim |
|
(3 −2n)2 |
|
−3)3 −(n +3)3 |
|
n→∞ (n |
5n2 −3n +1 2
1.3.nlim→∞ 3n2 + n −5
8n5 −3n2 +9 3
1.4.lim 5 3 n→∞ 2n + 2n +5
3 |
8n3 +3n2 +5n +1 |
|
1.5. lim |
|
|
|
n +7 |
|
n→∞ |
||
( |
4n2 +1 + n)2 |
|
1.6. lim |
3 n6 +3 |
|
n→∞ |
1.7. lim
n3 3n2 + 4 4n8 +1
n→∞ (n + n) 7 −n + n2
1.8. lim
n n − 3 27n6 + n4
n→∞ (n + 4 n) 4 + n2
5
1.9. lim |
5 2n −3 5n+1 |
|||||
|
|
|
|
|
||
n→∞100 2n + 2 5n |
||||||
1.10. lim |
(−1)n 6n −5n+1 |
|
||||
5n −(−1)n+16n+1 |
||||||
n→∞ |
||||||
1.11. lim |
(2n +1)50 |
|
||||
(2n −1)48 (n + 2)2 |
||||||
n→∞ |
||||||
1.12. lim |
(2n +3)98 (2n −1)2 |
|||||
(2n + 4)100 |
||||||
n→∞ |
||||||
1.13. lim |
(n + 2)6 (9n −4)4 |
|||||
(3n −3)10 |
||||||
n→∞ |
|
3n2 +2n+1 |
|
1.14. lim 2 n2 −n+2 |
||
n→∞ |
|
|
1.15. lim |
sin(3n2 + 2n +1) |
|
n2 +3 |
||
n→∞ |
||
1.16. lim |
1+3 +5 +K+(2n −1) |
|
n→∞ |
n2 |
|
1.17. lim |
1+ 2 +3 +K+ n |
|
n→∞ |
n2 +5 |
6
|
1+ |
1 |
+ |
1 |
|
+K+ |
1 |
|
|
|
||||||
1.18. lim |
2 |
22 |
|
2n |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
n→∞ 1+ |
+ |
|
+K+ |
1 |
|
|
|
|||||||||
3 |
32 |
|
3n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.19. lim n( |
5 + 4n2 −2n) |
|||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.20. lim n( |
1+ n +9n2 − |
|
2 + n +9n2 ) |
|||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.21. lim ( |
1+5n + n2 − |
3 + n + n2 ) |
||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.22. lim ( |
2 −3n + 2n2 − |
|
7 +5n + 2n2 ) |
|||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.23. lim |
|
|
9n2 + 2n −7 −n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
4n +3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.24. lim |
|
|
4n2 −7n +3 −n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
3n −4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.25. lim |
|
2n +1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n→∞ |
|
3n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.26. lim |
|
3n2 + n |
+1 |
n2 +1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n→∞ |
|
5n |
+ |
3n + 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.27. lim |
n +3 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n→∞ |
n − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7
1.28. lim 2n −1 n+2 n→∞ 2n +3
1.29. lim (n + 2)(ln(2n + 4) −ln(2n +3))
n→∞
1.30. lim (n +3)(ln(3n +7) −ln(3n +5)) |
|||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.31. lim |
|
n2 + n +3 |
3n+1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
n→∞ |
n |
|
+ 2n −1 |
|
|
||||
1.32. lim |
|
2n2 + 2n + |
5 |
n |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
2n |
+ n +1 |
|
|||||
|
|
|
8
2. Предел функции.
2.1. Вычислите пределы
x2 + 4
а) lim x2 + x −3
x→1
3x + 2 б) lim x2 −1
x→1
в) |
lim |
|
x2 −2x +1 |
|
|||||||
|
2x2 + x −3 |
||||||||||
|
x→1 |
||||||||||
г) |
lim |
|
|
x2 + 2x −3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→−3 x3 +5x2 +6x |
||||||||||
д) |
lim |
x3 +3x2 +7x +5 |
|||||||||
x2 − x −2 |
|||||||||||
|
x→−1 |
||||||||||
е) |
lim |
|
|
x3 + x2 − x −1 |
|||||||
|
|
x3 −3x −2 |
|
||||||||
|
x→−1 |
||||||||||
ж) |
lim |
|
9 − x2 |
|
|||||||
|
3x −3 |
||||||||||
|
x→3 |
||||||||||
з) lim |
|
|
1+ x − 1− x |
|
|||||||
|
|
x |
|||||||||
|
x→0 |
|
|
||||||||
и) |
lim |
|
|
x2 − x + 4 |
|
||||||
|
|
3x2 −2 |
|||||||||
|
x→∞ |
9
к) |
lim |
|
5x2 + x +3 |
||||||
|
|
|
|
x3 −1 |
|||||
|
x→∞ |
||||||||
л) |
lim |
|
x4 |
−2x +1 |
|||||
|
|
|
|
x2 −3 |
|
||||
|
x→∞ |
||||||||
м) |
lim |
|
x2 +1 |
|
|||||
|
x +1 |
||||||||
|
x→+∞ |
||||||||
н) |
lim |
|
|
x2 +1 |
|
||||
|
x +1 |
||||||||
|
x→−∞ |
||||||||
о) |
lim ( |
x2 + 4x − x) |
|||||||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
||||
п) |
lim ( |
x2 + 4x − x) |
|||||||
|
x→−∞ |
|
|
|
|
||||
р) |
lim ( |
x2 +3x +1 − x2 −3x −4) |
|||||||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
||||
с) |
lim ( |
x2 + 4 − x2 −3x +1) |
|||||||
|
x→−∞ |
|
|
|
|
||||
т) lim sin(3x) |
|||||||||
|
x→0 |
|
19x |
||||||
у) |
lim |
sin(5x2 ) |
|||||||
|
7x2 + x |
||||||||
|
x→0 |
|
10