Бусыгин

11

До некоторой степени подобный отбор материала уже осуществлен в нашем учебном пособии. Так, некоторые доказательства вынесены в приложения либо в отдельные параграфы, содержание которых не влияет на понимание остального материала. К примеру, вывод функции Неймана—Моргенштерна на основе аксиом может быть безболезненно пропущен, и его имеет смысл давать только в курсе, который специально посвящен этим вопросам.

Теперь о принципах, которых мы придерживались при написании учебника.

Материал учебника довольно типичен для преподавания микроэкономической теории в западных университетах. Мы ориентировались, прежде всего, на основную тенденцию развития экономической теории. Так, мы последовательно следуем неоклассической парадигме. Эта парадигма включает в себя методологический индивидуализм, принципиальную несравнимость предпочтений (с чем связана необходимость использования концепции оптимальности Парето), моделирование поведения экономических субъектов как целеполагающего и рационального, а также равновесный подход. Стараясь быть последовательными, мы оставили за кадром многие интересные альтернативные подходы (неравновесный анализ, кооперативные игры, модели частично рационального поведения, альтруизм, эволюционный подход и т.п.). Авторы основываются на том, что нет никаких других предпочтений, кроме индивидуальных. Соответственно нормативный аспект анализа ограничивается использованием концепции Парето (т.е. практически не рассматриваются вопросы справедливости, не рассматривается проблематика теории социального выбора, различные аксиоматические подходы к анализу благосостояния).

Далее, нашим приоритетом была логическая связность и последовательность изложения. Прежде, чем анализировать модель, следует ее по возможности четко изложить и оговорить все те предположения, которые используются в анализе. Предпочтение отдавалось тем моделям, которые опираются на общую логику. Основной концепцией в пособии является концепция общего равновесия. Другие модели должны конкретизировать и переинтерпретировать классическую модель общего равновесия, либо же являться ее естественными модификациями. Там, где этот основной принцип не может быть использован, следует применять формальную теорию некооперативных игр, т.е. представить модель в виде игры и анализировать равновесие этой игры (причем в качестве основной равновесной концепции выступает равновесие по Нэшу и его классические обобщения).

Базовый инструментарий дают первые четыре главы, посвященные поведению потребителя, поведению производителя, общему равновесию и квазилинейной экономике соответственно. Кроме того, в приложении к пособию излагаются сведения из теории игр, которые необходимы для понимания основного материала. (Это приложение целиком автономно и может быть использовано для обучения основным концепциям теории некооперативных игр).

Впервой и второй главах, «Теория потребительского выбора» и «Теория производителя», рассматриваются классические задачи потребителя и производителя. Свойства и методы анализа этих задач являются обязательным багажом экономиста-теоретика. В силу этого данные разделы изложены довольно детально и последовательно.

Втретьей главе, «Классические (совершенные) рынки. Общее равновесие», особый акцент сделан на связи между оптимумом Парето и равновесием (двух так называемых теоремах благосостояния). Это одна из наиболее методологически отточенных частей пособия.

Четвертая глава «Квазилинейная экономика и частное равновесие» представляет собой «ноу-хау» авторов. Она систематизирует все те несвязные представления о частном равновесии, источником которых является Альфред Маршал, а также отдельные результаты по теории общего равновесия при квазилинейности функций полезности, содержащиеся в литературе. Введение понятия квазилинейной экономики позволило внести единообразие

11

12

в изложение ряда классических микроэкономических моделей в других главах (моделей общественных благ с квазилинейными предпочтениями, модели оптимального налогообложения Рамсея, моделей рынков с несовершенной конкуренцией).

Пятая и шестая глава вводят риск в те модели, которые изложены в первой и третьей главах.

Перечисленные главы составляют первую часть пособия, «Классические рынки».

Вторая часть пособия, «Фиаско рынка», объединяет главы, основной тематикой которых являются несовершенства в работе рыночного механизма. Эта тематика обычно относится к разделу микроэкономической теории известному под названием Public Economics («Экономика общественного сектора»).

Седьмая глава, «Налоги», анализирует искажения, связанные с налогами, и проблему минимизации этих искажений (теорию оптимального налогообложения). В ней вводится ряд понятий, используемых в последующих главах второй части.

Восьмая и девятая глава посвящены экстерналиям и общественным благам. В них анализируются причины плохой работы некоординируемого рыночного механизма, а также различные механизмы координации.

Особенностью этих трех глав является то, что анализ практически нигде не выходит за рамки общего равновесия, что, как нам кажется, выгодно отличает наш подход от подходов других авторов учебников по микроэкономике. Благодаря этому, например, вопросы налогообложения излагаются существенно более аккуратно и логично, чем принято в кур-

сах Public Economics.

Десятая глава, «Рынки с асимметричной информацией», рассматривает как случай двусторонней монополии (торга), так и конкурентного рынка (модель Акерлова).

Третья часть посвящена методам анализа несовершенной конкуренции — ситуации, когда участники обмена обладают рыночной властью, то есть способностью влиять на условия сделок, в которых они участвуют. При этом в центре внимания оказывается стратегическое поведение экономических субъектов, обладающих рыночной властью, поэтому широко используются инструментарий теории некооперативных игр.

В одиннадцатой и двенадцатой главе приводятся собственно методы анализа рыночных структур с несовершенной конкуренцией — монополии и олигополии. Мы обращаем внимание, прежде всего, на методы анализа последствий той или иной организации рынка в терминах уровней благосостояния. Рассуждения целиком проводятся в рамках моделей квазилинейной экономики, что обеспечивает корректность использования понятия излишка и анализа отдельного рынка вне связи с остальной экономикой.

Тринадцатая глава посвящена моделям найма и затрагивает темы асимметричной информации и теории контрактов.

Практически в каждом параграфе пособия читателю предлагаются задачи для самостоятельного решения. В частности, это задачи на доказательство вариантов утверждений из основного текста, которые, как представляется, важны для успешного овладения методами микроэкономического анализа. В конце каждой главы приведены общие задачи к главе, опирающиеся на материал более чем одного параграфа.

Ссылки на литературу в пособии делятся на две категории. Внутри глав в сносках приведены исторические ссылки и ссылки на отдельные источники теоретических результатов. В конце пособия приводится список монографий и учебников, которыми мы пользовались при написании пособия.

12

13

Пособие также содержит «Математическое приложение» — сводку основных сведений из математики, которые используются нами в анализе, а также упоминавшееся выше приложение по теории некооперативных игр.

В заключение мы хотим поблагодарить всех тех, благодаря кому стало возможным появление этого учебного пособия.

Мы особо признательны Сергею Гелиевичу Коковину, вместе с которым мы работаем уже много лет, и которого вполне можно назвать одним из авторов. Так, он является соавтором учебного пособия «Методы микроэкономического анализа», легшего в основу нескольких глав данного пособия. Кроме того, ему принадлежит авторство большого количества использованных нами задач. Коковин оказывал нам активную поддержку на протяжении всего срока работы над пособием. В то же время, мы целиком берем на себя ответственность за возможные огрехи в изложении тех разделов, которые разрабатывали в сотрудничестве с С. Г. Коковиным, и отдаем себе отчет в том, что не со всеми изложенными взглядами он может согласиться. Также мы благодарны Сергею Юрьевичу Ковалеву, который вместе с нами преподавал и преподает те курсы, которые легли в основу пособия. Ему тоже принадлежит авторство ряда задач.

Благодарим также авторов тех учебников и научных работ по микроэкономике, которые оказали на нас большое влияние. Особо хотелось бы отметить «французскую школу», идущую от Мориса Аллэ (Жан Тироль, Жан-Жак Лаффон, Бернар Саланьи). В этом ряду особое место занимает Эдмон Маленво, учебник которого (Э. Маленво, «Лекции по микроэкономическому анализу», Наука, 1985) был одним из первых серьезных пособий по микроэкономике, переведенных на русский язык. В его переводе активно участвовал один из авторов, В. П. Бусыгин. Данный учебник особенно сильно повлиял на наше изложение теории экстерналий и общественных благ.

Кроме того, нам, конечно, не удалось избежать сильного влияния трех известных англоязычных учебников для магистратуры:

Hal Varian, Microeconomic Analysis;

Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston , Jerry R. Green, Microeconomic theory; David M. Kreps, A Course in Microeconomic Theory.

При работе над теорией монополии и олигополии большое впечатление на нас произвел учебник Элмара Вольфштеттера, который в то время еще не был издан и был доступен в виде отдельных электронных документов.

Всем им мы очень признательны.

Авторы будут благодарны читателям за любые замечания по структуре и содержанию курса.

13

14

1. Теория потребительского выбора

Микроэкономическая теория тесно связана с понятием выбора, его структурой и последствиями. Так потребители, основной объект изучения данного раздела, рассматриваются как агенты, выбирающие, что и в каких количествах потреблять и как распределять свое время. В основе модели потребителя лежит гипотеза о рациональном поведении, которая в общем случае сводится к выполнению двух основных принципов:

Потребитель упорядочивает альтернативы/потребительские наборы (среди которых он осуществляет выбор) на основе предпочтений.

Потребитель выбирает наилучший набор (в соответствие с этим упорядочением) среди доступных ему потребительских наборов.

Таким образом, чтобы можно было анализировать и предсказывать поведение потребителя, необходимо для каждой ситуации выбора описать способ упорядочивания потребительских наборов и ограничения, которым должны удовлетворять допустимые выборы.

Так специфицированная модель позволяет изучать вопросы о том: каким соотношениям удовлетворяет оптимальный выбор потребителя;

как изменяется выбор потребителя при изменении множества доступных ему потребительских наборов (так называемая сравнительная статика).

Блага, множество допустимых альтернатив

Одним из базовых понятий экономической теории является понятие блага1. Вслед за Жераром Дебре2 понятие блага в микроэкономике, в отличие от обыденного понимания, имеет достаточно широкое толкование. Предполагается, что блага различаются по

•физическим характеристикам/видам благ, (например хлеб и молоко, или бумага раз-

ного качества),

•времени, когда они становятся доступными (помидоры сегодня и завтра рассматриваются как разные блага),

•местам их расположения (сервелат, продаваемый в Москве и в Новосибирске, рассматриваются как разные блага),

•состояниям природы (зонтик завтра, в случае если завтра пойдет дождь отличается от зонтика завтра, если будет солнечная погода) и т.д.

Кроме того, при моделировании важно четко представлять информацию, которой обладают экономические агенты о свойствах благ. Классическая микроэкономика основывается на предположении, что потребители обладают полной информацией о свойствах благ еще до момента покупки3. Данное предположение значительно облегчает изучение процесса

1Может это и излишне, но, тем не менее, отметим, что понятие благо не несет оценочных суждений, типа хорошо-плохо, благо-вред и т.п., оно просто отсылает к способности удовлетворять некоторые потребности, или, наоборот, вызывать неудовлетворённость (как, скажем, наличие на полу сигаретных окурков и т.п.). Естественно, здесь и далее мы говорим только об экономических благах, т.е. о торгуемых на рынках.

2Debreu, Gerard, Theory of Value, NY:Wiley, 1959

3Иногда товары, о свойствах которых потребитель знает до момента выбора называют search goods. Подробное обсуждение данной классификации товаров смотри в работах: Nelson, P., Information and Consumer

14

15

выбора. В случае же когда информация о свойствах блага получается потребителем лишь

в процессе потребления, но не в момент покупки (например, покупка подержанной техни-

ки с рук), описание процесса рационального выбора должно включать стратегический момент, обусловленный неопределенностью свойств/качества блага в момент выбора4. Ситуация еще больше усложняется если свойства/качество блага ненаблюдаемы как в мо-

мент выбора, так и невыявляемы в процессе потребления (например, с некоторой долей условности примером блага с таким свойством, являются медицинские услуги)5.

Для того чтобы описать процесс выбора нам в первую очередь необходимо определиться с тем, что является непосредственным объектом предпочтения, выбора. Классический подход в качестве такового объекта рассматривает потребительские наборы (корзины). Этому подходу мы и будем следовать в дальнейшем6. Будем предполагать, что потребителю доступны K благ. Через xk обозначим количество блага с номером k. Сделаем упрощающее предположение, что все рассматриваемые нами блага бесконечно делимы. С учетом этого предположения, под потребительским набором будем подразумевать вектор

где k-ая компонента означает количество потребляемого блага с номером k. Отметим, что, вообще говоря, xk может принимать как положительные, так и отрицательные значения. В частности, если в качестве одного из товаров рассматривается количество часов труда предлагаемое индивидуумом на рынок, то предположение что xk<0, отражает тот факт, что в данном случае относительного этого товара индивидуум является продавцом, а не покупателем. Под множеством допустимых альтернатив X ÊK будем понимать множество всех физически и/или институционально возможных наборов благ. Обычно предполагается, что множество X замкнуто и ограниченно снизу, т.е. существует вектор x^ такой, что для каждого x принадлежащего X выполнено x>x^. Пусть, также, множество X таково, что вместе с любым вектором x~ содержит все вектора большие чем x~, т.е. те x для которых выполнено x>x~. Кроме того, будем предполагать, если не оговорено противное, что множество X – выпукло и 0 X. Замкнутость множества X требование скорее техническое, и, при этом, не вызывает особых содержательных нареканий. Ограниченность снизу можно понимать следующим образом. Помимо «обычных» благ, потребляемых в неотрицательных количествах, в экономике присутствуют блага, для которых потребление может быть отрицательной величиной, например, труд, но его потребление потребителем не может превосходить естественно определенной величины – 24 часа. Свойство «продолжаемости вверх» означает, что, потенциально, потребителю доступно неограниченное количество блага. Конечно, этого свойства хотелось бы избежать, и во многих современных работах, например, по общему равновесию, оно отсутствует, но ряд основных классических результатов теории потребителя значительно проще формулируется и получается в случае его выполнения. Действительно, например, при отсутствии этого свойства мы уже не можем говорить о том, что выбор потребителя принадлежит бюджетной линии и

Behavior, Journal of Political Economy, Vol. 78, 1970 и Darby, M., and E. Karni, Free Competition and the Optimal Amount of Fraud, Journal of Law and Economics, Vol. 16, 1973.

4Товары с такой структурой информированности называют experience goods.

5Товары с такой структурой информированности называют credence goods.

6Вообще говоря, это не единственный подход к определению объекта (области определения) предпочтений.

Так, например, Кельвин Джон Ланкастер («A New Approach to Consumer Theory», Journal of Political Economy, Apr. 1966) в качестве такой области определения предлагал рассматривать характеристики благ, а не сами блага.

15

16

др. Наконец, поясним значение свойства выпуклости. Выпуклость множества X не такое безобидное и естественное предположение, как может показаться на первый взгляд. Существует достаточное число содержательных экономических вопросов, при изучении которых данное предположение неприемлемо. Например, некоторые из рассматриваемых благ могут потребляться в дискретных количествах. Подобная ситуация значительно усложняет дело и требует более тонких рассмотрений, на которых мы не останавливаемся. Свойство 0 X имеет достаточно прозрачный смысл, оно фактически означает, что потребитель потенциально может бездействовать, ни чего не потребляя. Такая ситуация не означает что это будет его выбором, но мы признаем за ним такую возможность. Иногда бывает удобно предполагать, что множество допустимых альтернатив представляет собой неотрицательный ортант ÊK+ , т.е. X=ÊK+ . В дальнейшем, в каждом конкретном случае, будет либо указано, либо ясно из контекста какой из вышеприведенных случаев предполагается.7

Как мы уже говорили выше, в основе действий потребителя лежат его предпочтения, в соответствии с которыми он осуществляет выбор между доступными ему наборами из множества допустимых альтернатив. Удобным языком для обсуждения концепции предпочтений является язык бинарных отношений, краткое описание которого дается в следующем параграфе.

Бинарное отношение и его свойства

Чтобы мотивировать и пояснить понятие бинарного отношения рассмотрим известную детскую игру «камень-ножницы-бумага». Предполагается, что: камень побеждает ножницы (тупит), ножницы побеждают бумагу (режут), бумага побеждает камень (оборачивает), в остальных случаях, например, камень – камень боевая ничья. Будем говорить, что x находится в отношении к y и писать x y, в случае если x побеждает y, где x и y принадлежат множеству {камень, ножницы, бумага}. Естественно возникает мысль отождествить отношение с множеством, элементами которого являются упорядоченные пары8 – (камень, ножницы), (ножницы, бумага), (бумага, камень) и только они. Отметим, что так определенное отношение (множество) , очевидно, является подмножеством множества состоящего из всевозможных упорядоченных пар, где каждый элемент пробегает множество {камень, ножницы, бумага}.

Этот простой пример приводит нас к следующему определению бинарного отношения.

Определение 1.

Пусть X – произвольное непустое множество. Декартовым квадратом множества X назовем множество, обозначаемое X × X, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары (x, y), где x, y пробегают все множество X. Под бинарным отношением , заданным на множестве X, будем понимать, некоторое подмножество декартова квадрата X × X, т.е. формально X×X.

Другими словами — это некоторое множество упорядоченных пар (x, y), где x и y — элементы множества X. Понятие бинарного отношения имеет достаточно простую графическую иллюстрацию (см. Рисунок 1.)

7Более подробное обсуждение понятия блага и множества допустимых альтернатив смотри в Маленво, Э.,

Лекции по микроэкономическому анализу, Москва, Наука, 1985, Гл. 1., §3 и Гл. 2., §4.

8Выражение «упорядоченная пара» означает, что пары (a, b) и (b, a) считаются различными.

16

17

X

X

Рисунок 1. Бинарное отношение , заданное на множестве X

Довольно часто в случае, когда пара (x, y) принадлежит множеству вместо (x, y) , пишут x y и говорят, что x находится в отношении к y.

Определим теперь некоторые свойства бинарных отношений, которые мы в дальнейшем будем использовать при рассмотрении отношений предпочтения.

Определение 29.

Бинарное отношение называется

•рефлексивным, если x X x x

•иррефлексивным10, если x X !(x x)

•симметричным, если x, y X x y y x

•асимметричным, если x, y X x y !(y x)

•транзитивным, если x, y, z X

(x y) и (y z) (x z)

•отрицательно транзитивным, если x, y, z X

!(x y) и !(y z) !(x z)

•полным, если x, y X выполнено либо x y, либо y x, либо и то и другое.

Проиллюстрируем введенные свойства бинарного отношения на примерах.

Пример 1.

Пусть X– множество студентов учащихся в этом учебном году в Новосибирском Государственном Университете, – отношение «выше ростом, чем» заданное на X. Посмотрим, каким указанным выше свойствам удовлетворяет данное бинарное отношение. Очевидно, что какого бы мы студента не взяли, его рост не может быть больше его же роста, т.е., например, 175 не может быть больше 175. Таким образом, это отношение является иррефлексивным и не удовлетворяет свойству рефлексивности. Это отношение также является

9Здесь и далее, под !A мы подразумеваем отрицание A.

10Часто это свойство также называют нерефлексивностью, но при такой терминологии возникают довольно странные выражения типа – «бинарное отношение не является ни рефлексивным, ни нерефлексивным». Что бы избежать этой игры слов, мы и используем выбранный вариант.

17

18

асимметричным и не является симметричным. Действительно, пусть a рост некоторого студента x, а b рост некоторого студента y и x y, т.е. студент x имеет больший рост, чем y (a > b). Тогда вполне понятно, что не верно (b > a), что и означает, что не верно y x. Таким образом, с учетом произвольности выбора x и y получили желаемое. Проверим теперь, что данное отношение является транзитивным, из множества X возьмем трех произвольных студентов x, y, z, чей рост составляет a, b и c соответственно, причем выполнено следующее: a > b и b > c. Очевидно, что по свойству сравнения действительных чисел11 мы имеем, что a > c. Это в точности означает, что x z и мы, таким образом, показали транзитивность . Выполнение свойства отрицательной транзитивности мы проверим чуть позже, а сейчас перейдем к проверке свойства полноты. Как несложно понять, данное отношение не является полным, если среди студентов есть хотя бы два с одинаковым ростом. В этом случае ни один из этих двух студентов не будет выше другого и, таким образом, мы имеем нарушение полноты. Если же среди нашего множества X нет ни одной пары студентов с одинаковым ростом, то введенное на X отношение «выше ростом, чем» обладает свойством полноты.

Пример 2.

Пусть X=Ê2+, на этом множестве задано отношение по правилу (x1,x2) R(y1, y2) x1 + y2 > y1 + x2. Перед тем как отвечать на вопрос о том, каким свойствам удовлетворяет дан-

ное бинарное отношение, заметим, что x1 + y2 > y1 + x2 x1 – x2 > y1 – y2, т.е. (x1,x2) R(y1, y2) x1 – x2 > y1 – y2. Как не сложно догадаться, данное бинарное отношение удовлетво-

ряет тем же свойствам, что и отношение > на действительной прямой, т.е. полнота, транзитивность, рефлексивность. Проверьте самостоятельно выполнение/невыполнение условий симметричности/асимметричности и отрицательной транзитивности.

Замечание. При проверке указанных выше свойств предпочтений следует быть осторожным и не делать поспешных выводов. Так если Вы установили, что отношение не является рефлексивным, то из этого, вообще говоря, не следует, что отношение является иррефлексивным. Та же ситуация возникает при рассмотрении связки свойств симметричность и асимметричность.

Эти определения также легко проиллюстрировать графически в духе Рисунка 1. Так, например, рефлексивность означает, что вся диагональ декартового квадрата X×X принадлежит . Свойство симметричности означает, что множество симметрично относительно диагонали декартового квадрата. Полнота означает, что если мы «согнем» декартов квадрат по диагонали, то в итоге получим треугольник без выколотых точек.

Выше мы ввели и обсудили ряд часто используемых свойств бинарных отношение. Сейчас рассмотрим взаимосвязь между этими свойствами.

Теорема 1.

•Каждое асимметричное бинарное отношение является иррефлексивным.

•Каждое полное бинарное отношение является рефлексивным.

•Каждое иррефлексивное и транзитивное бинарное отношение является асимметричным.

11 Кстати, а каким свойствам удовлетворяет это бинарное отношение?

18

19

• Отношение является отрицательно транзитивным тогда и только тогда, когда x, y, z X x y (x z) или (z y).

Доказательство:

Доказательство свойств тривиально. С целью демонстрации техники доказательства мы докажем только третий пункт теоремы.

Предположим, противное, т.е. пусть отношение иррефлексивно, транзитивно, но не является асимметричным. Тогда найдется пара x, y X такая, что x y и y x. Так как отношение транзитивно, то из x y и y x следует x x. Противоречие с иррефлексивностью.

Пример 1. (Продолжение)

Нам осталось проверить свойство отрицательной транзитивности. Для его проверки воспользуемся представлением этого свойства из только что доказанного утверждения. Для этого из множества X возьмем трех произвольных студентов x, y, z, чей рост составляет a, b и c соответственно, причем выполнено a > b. В принципе, очевидно, что какой бы мы c ни взяли справедливо, что либо a > c, либо c > b. Таким образом, мы имеем, что для данного отношения выполнено свойство отрицательной транзитивности.

Теперь, вооружившись понятием бинарного отношения, мы можем перейти к обсуждению концепции отношения предпочтения.

Задачи

1.Предположим, условно, что существует всего два города, в каждом из которых продаются по три товара. Какова размерность пространства благ, исходя из определения блага по Дебре?

2.Пусть X — множество всех ныне живущих людей на планете Земля. Проверьте выполнение следующих свойств

—полнота,

—рефлексивность,

—симметричность,

—транзитивность,

—отрицательная транзитивность

для следующих бинарных отношений, заданных на X:

a)"является потомком";

b)"является внуком";

c)"является родителем такого же числа детей, что и";

d)"состоит в браке с" (допуская полигамию);

e)"состоит в браке с" (предполагая моногамные отношения);

f)"состоит в родстве с";

19

20

g) "хотя бы раз в жизни думал о".

Пусть X — множество населенных пунктов на планете Земля. Какими свойствами обладают следующие отношения:

a)"расположен восточнее" (в случае, если Земля круглая);

b)"расположен восточнее" (в случае если, Земля плоская и стоит на черепахах);

c)"имеет ту же численность, что и";

d)"имеет то же число безработных, что и".

3.Какими из свойств (полнота, рефлексивность, иррефлексивность, симметричность, асимметричность, транзитивность, отрицательная транзитивность) обладает отношения R, заданное на Ê2++ (в случае, если отношение обладает свойством, предоставьте формальное доказательство, если же не обладает, то приведите пример показывающий это):

c)(x1,x2) R(y1, y2) (x1 – x2)(y1 – y2) > 0;

d)(x1,x2) R(y1, y2) x1x2 > y1 y2;

e)(x1,x2) R(y1, y2) min{x1 + x2, y1 + y2} >0;

f)(x1,x2) R(y1, y2) min{x1, x2} > min{ y1, y2}.

4.Определим отношение лексикографического упорядочения заданного на Ê2++ следующим образом:

x, y Ê2++ (xRLy) ( (x1 > y1) или ( x1 = y1, x2 > y2) ).

Каким свойствам (полнота, рефлексивность, иррефлексивность, симметричность, асимметричность, транзитивность, отрицательная транзитивность) удовлетворяет данное отношение лексикографического упорядочения?

5.Приведите пример бинарного отношения, не удовлетворяющего ни свойству рефлексивности, ни свойству иррефлексивности.

6.Приведите пример бинарного отношения, не удовлетворяющего ни свойству симметричности, ни свойству асимметричности.

7.Покажите, что каждое асимметричное бинарное отношение является иррефлексивным.

8.Приведите пример симметричного, но не рефлексивного бинарного отношения.

9.Покажите, что каждое полное бинарное отношение является рефлексивным.

20