Бусыгин

101

Указание: Используйте теорему отделимости (см. доказательство утверждения о восстановлении технологического множества по функции прибыли). Множество L++(x) = {y | y

} x} можно отделить от точки x. Поскольку предпочтения строго монотонны, то нормаль p к отделяющей гиперплоскости — вектор с положительными коэффициентами. Тогда p

— решение задачи ♥.

121. Пусть функция e(p, x) дифференцируема, однородна первой степени, не убывает и вогнута по p. Тогда e(p, x) = minx V(x-) px, где V(x-) = {x>0 | px>e(p, x-) p>0}.

122. Пусть u(x) — функция полезности. Вычислите для нее непрямую функцию полезно-

сти, решите задачу ♥ и вычислите "восстановленную" функцию полезности u*(x). Совпадает ли она с исходной функцией полезности? Решите задачу для следующих функций полезности:

123.Для функций полезности предыдущей задачи найдите денежную функцию полезности и непрямую денежную функцию полезности.

124.Для функций полезности предыдущей задачи найдите спрос, восстановите непрямую денежную функцию полезности, постройте "восстановленную" функцию полезности u*(x). Правильно ли восстановлены исходные предпочтения? Найдите спрос, соответст-

вующий функции полезности u*(x). Совпадает ли он с исходным спросом?

125.Найдите функцию полезности, которая рационализует спрос, полученный на основе лексикографического отношения предпочтения.

126.Докажите пропущенные части в теореме 34.

Оценка изменения благосостояния.

Перед экономистами часто стоит задача оценить изменения в благосостоянии потребителей при проведении мероприятий экономической политики. Рассмотрим две ситуации (до проведения мероприятий экономической политики и после). В первой их них потребитель сталкивается с ценами p0 и доходом R0, во второй — с ценами p1 и доходом R1. Пусть при ценах p0 и доходе R0 непрямая функция полезности потребителя равна ν(p0, R0), а при (p1, R1) — ν(p1, R1). Если ν(p0, R0) < ν(p1, R1), то вторая ситуация более благоприятна для потребителя, а если ν(p0, R0) > ν(p1, R1), то менее благоприятна.

Вообще говоря, мы можем говорить лишь о направлении изменения благосостояния, а не оценивать его величину. И, тем не менее, при расчетах издержек и выгод мероприятий экономической политики пытаются получить количественные оценки таких изменений.

101

102

При этом используются введенная выше непрямая денежная функция полезности. Опишем процедуры ее использования и возникающие здесь проблемы.

Непрямую денежную функцию полезности можно определить на основе любого «базового» вектора цен q>>0. Оценка изменения благосостояния при этом будет равна

∆µ(q) = µ(q, p1, R1) – µ(q, p0, R0).

Значение ∆µ(q), вообще говоря, может быть различным для разных векторов q и поэтому, соответствующие оценки изменения благосостояния содержат элемент субъективизма. Исключением являются квазилинейные предпочтения (предпочтения, которые описываются квазилинейной функцией полезности). В этом случае все меры благосостояния эквивалентны с точностью до постоянного множителя, а в случае, когда цена последнего блага равна единице (последнее благо является numeraire), они совпадают.

Покажем это, вычислив ∆µ(q) для квазилинейной функции полезности u(x1, ..., xl) =s(x1, ..., xl-1) + xl, со строго вогнутой дифференцируемой функцией s(.) в предположении, что pl = 1. Вспомним, что в этом случае непрямая функция полезности имеет вид

l–1

ν(p–l, 1, R) = s(x1(p–l), ..., xl–1(p–l)) + R – Ûpixi(p–l).

i=1

Пользуясь соотношениями двойственности, получаем, что функция расходов в случае

квазилинейных предпочтений имеет вид e(p, x) = u(x) – s(x–l(p–l)) + p–lx–l(p–l). По определению непрямой денежной функции полезности µ(q, p, R) = e(q, x(p, R)), поэтому µ(q,

p, R) = ν(p, R) – s(x–l(q–l)) + q–lx–l(q–l). По определению ∆µ(q) имеем, что

∆µ(q) = µ(q, p1, R1) – µ(q, p0, R0) = ν(p1, R1 ) – s(x–l(q–l)) +

+q–lx–l(q–l) – ν(p0, R0) + s(x–l(q–l)) – q–lx–l(q–l) =

=ν(p1, R1 ) – ν(p0, R0).

Вобщем случае, когда значение ∆µ(q) зависит от выбора q, естественными кандидатами на выбор вектора q представляются следующие системы цен — цены в первой ситуации (до изменений) — p0 и цены после изменений — p1. В первом случае получим меру изменения благосостояния, называемую эквивалентным изменением дохода (EV), а во втором

— меру изменения благосостояния, называемую компенсирующим изменением дохода

(CV).

Определение 22.

Эквивалентное изменение дохода (эквивалентная вариация) — это такое изменение дохода, которое позволяет в базовых ценах получить ту же полезность, что и после изменений:

ν(p0, R0 + EV(p0, R0, p1, R1)) = ν(p1, R1).

Заметим, что µ(p0, p1, R1) = e(p0, x(p1, R1)) — доход, достаточный для того, чтобы при ценах p0 обеспечить данному потребителю такой же уровень полезности, как и в ситуации после изменений (т.е. при ценах p1 и доходе R1). Поэтому, если воспользоваться тождеством e(p, x(p, R)) ≡R можно дать эквивалентному изменению дохода другое определение:

EV(p0, R0, p1, R1) = e(p0, x(p1, R1)) – R0.

Таким образом, можно определить эквивалентную вариацию в терминах непрямой денежной функции полезности, измеренной в деньгах при q = p0:

102

103

EV(p0, R0, p1, R1) = µ(p0, p1, R1) – R0 = µ(p0, p1, R1) – µ(p0, p0, R0).

Пример 17.

Пусть функция спроса и функция расходов для некоторого потребителя равны x(p,

вивалентную вариацию, отвечающую изменению цен от p0 = (2, 1) до p1 = (1, 2) при условии, что доход оставался неизменным и был равен R. Непрямая денежная функция полезности для данного потребителя будет равна

Найдем теперь значение непрямой денежной функции полезности при q = p0 и p = p1:

Определение 23.

Компенсирующее изменение дохода (компенсирующая вариация) — это такое измене-

ние дохода, которое позволяет в новых ценах достигнуть уровень полезности старой ситуации:

ν(p0, R0) = ν(p1, R1 – CV(p0, R0, p1, R1)).

По определению денежной непрямой функции полезности µ(p1, p0, R0) = e(p1, ν(p0, R0))

— доход, достаточный для того, чтобы при ценах p1 обеспечить данному потребителю такой же уровень полезности, как и в ситуации до изменений (т.е. при ценах p0 и доходе R0). Поэтому компенсирующую вариацию можно выразить в терминах денежной непрямой функции полезности при q = p1:

CV(p0, R0, p1, R1) = R1 – e(p1, x(p0, R0)) = R1 – µ(p1, p0, R0) =

= µ(p1, p1, R1) – µ(p1, p0, R0)

Отметим также, что введенное понятие компенсирующей вариации это то же самое изменение дохода, с которым мы сталкивались при рассмотрении закона спроса.

Пример 17. (Продолжение)

Найдем теперь значение непрямой денежной функции полезности при q = p1 и p = p0:

103

104

EV

Рисунок 14. Эквивалентная и компенсирующая вариация при R0=R1=R, p01>p11, p02=p12=1

Рассмотрим соотношение между этими мерами изменения благосостояния в простом случае, когда изменяется только цена одного блага (случай, который интересует нас при анализе последствий налогообложения): R0 = R1= R, p01 > p11, p02 = p12,... p0n = p1n. Очевидно, что

ν(p0, R0) <ν(p1, R1). Поскольку в данном случае меняется только цена первого блага, не будем в дальнейшем указывать остальные цены и доход в качестве аргументов соответст-

вующих функций, т.е. EV(p0, R0, p1, R1) = EV(p0, p1) = EV(p01, p11) и CV(p0, R0, p1, R1) = CV(p0, p1) = CV(p01, p11).

Следующий рисунок предлагает графическую иллюстрацию для эквивалентной и компенсирующей вариаций в случае двух благ, когда цена второго блага равна единице (p20 = p12 =

1).

∂e

Поскольку ∂pi(p, x(p1, R1)) = hi(p, x(p1, R)) (лемма Шепарда для теории потребления),

мы можем записать:

Как известно из курсов микроэкономики начального и промежуточного уровня, изменение потребительского излишка вычисляется по формуле

0 p1

∆CS(p0, p1) = ø x1(t, 1, R)dt.

1 p1

104

Рисунок 15 Соотношения между хисксианским и маршаллианским спросом используемое при доказательстве взаимосвязи эквивалентного, компенсирующего изменений дохода и потребительского излишка.

Из того, что p01 > p11 следует, что в данном случае все три величины неотрицательны (они будут положительны, если спрос строго положителен):

EV(p0, p1)>0, CV(p0, p1) >0, ∆CS(p0, p1) >0.

Если эффект дохода неотрицателен (рассматриваемое благо — нормальное), то

h1(t, 1, x(p0, R)) < x1(t, 1, R) < h1(t, 1, x(p1, R)) при p11 < t < p10.

Эти неравенства (в случае двух благ) иллюстрируется рисунком выше.

Докажем эти неравенства формально. Пусть спрос потребителя на первое благо при ценах (t, 1) (где p11 < t < p01) и доходе R равен x1(t, 1, R). Пусть теперь доход потребителя стал равен e(t, 1, x(p0, R)). Несложно заметить, что доход потребителя уменьшился на положительную величину CV(p0, t, 1) = R – e(t, 1, x(p0, R)). В силу нормальности блага име-

ем, что x1(t, 1, e(t, 1, x(p0, R)))< x1(t, 1, R).

Из соотношений взаимности имеем, что x1(t, 1, e(t, 1, x(p0, R))) = h1(t, 1, x(p0, R)). Таким образом, мы доказали левое из требуемых неравенств. Для того чтобы доказать правое неравенство предположим, что доход потребителя увеличился до величины e(t, 1, x(p1, R)). В этом случае доход потребителя увеличился на положительную величину ЕV(p0, t, 1) = e(t, 1, x(p1, R)) – R. Отсюда в силу соотношений двойственности имеем, что x1(t, 1, R) < h1(t, 1, x(p1, R)). Таким образом, доказано

h1(t, 1, x(p0, R)) < x1(t, 1, R) < h1(t, 1, x(p1, R)) при p11 < t < p10.

Интегрируя это неравенство от p11 до p10, получаем, что имеет место соотношение

EV(p0, p1) < ∆CS(p0, p1) < CV(p0, p1).

Следующий рисунок иллюстрирует это соотношение.

105

106

h1(p1, x(p1, R))

x1

Рисунок 16. Связь между потребительским излишком, эквивалентной и компенсирующей вариациями

Здесь CV = S(ACDF), ∆CS = S(ABDF) (заштрихованная область), EV = S(ABEF).

В случае квазилинейных предпочтений (при достаточно большом доходе) отсутствует эффект дохода для товара, который входит нелинейно. В этом случае записанные выше неравенства, связывающие маршаллианский и хиксианский спрос, выполняются как равенства и, следовательно,

EV(p0, p1) = ∆CS(p0, p1) = CV(p0, p1).

Геометрически эта ситуация означает что все три кривые спроса, изображенные на диаграмме, совпадают; следовательно, совпадают и три рассмотренные меры благосостояния.

Вообще говоря, полезности разных потребителей не сравнимы друг с другом, и их бессмысленно складывать. Однако на основе денежных мер изменения благосостояния можно получать некоторые оценки мероприятий экономической политики.

Предположим, что существуют n потребителей с функциями полезности ui(xi) и доходами Ri. Пусть цены изменились с p0 до p1. Пусть, кроме того, в результате этого изменения цен суммарная величина компенсирующей вариации положительна, т.е.

ÛCVi(p0, Ri, p1, Ri) > 0.

i

Покажем, что существует такое перераспределение доходов {Ri′}: ÛRi′< ÛRi), что νi(p1,

i i

Ri′) > νi(p0, Ri) i, то есть, возможно компенсировать изменение цен каждому потребителю.

По определению компенсирующей вариации имеем, что

CVA = ÛCVi(p0, Ri, p1, Ri) = Û(Ri – ei(p1, xi(p0, Ri))) > 0

Мы можем выбрать Ri′ так, что Ri′> ei(p1, xi(p0, Ri)) (достаточно взять Ri′ = ei(p1, xi(p0, Ri)) + CVA/n). Покажем, что в этом случае νi(p1, Ri′) > νi(p0, Ri) i.

Воспользовавшись возрастанием непрямой функции полезности по доходу и свойством двойственности между νi(.,.) и ei(.,.), получим

νi(p1, Ri′) > νi(p1, ei(p1, xi(p0, Ri))) = νi(p0, Ri).

Это можно интерпретировать следующим образом: мероприятие экономической политики, характеризующееся положительной суммарной компенсирующей вариацией, может привести к росту полезности всех затронутых потребителей, если дополнить его соответствующим перераспределением дохода. Однако следует отметить, что данная интерпрета-

106

107

ция предполагает, что такое перераспределение доходов не вызовет изменения цен. В рамках концепции общего равновесия, последнее предположение оказываются некорректными.

Задачи

127.Функция полезности Петрова u(x) = min{x1, x2}. Его доход – 250 д.е., цена первого и второго блага – 1 д.е. Его шефы предлагает ему работу без повышения заработной платы в филиале фирмы в другом городе, где цена первого блага такая же, а цены второго в два раза выше. Петров еще в университете познакомился с понятием компенсирующей и эквивалентной вариации. Оценив предложение, он ответил, что в принципе он не против, но переезд для него означал бы потерю в доходе в А рублей. Но, он готов принять предложение, если его зарплата возрастет на В рублей. Чему равно А и В?

128.Функция полезности Сидорова u(x) = x1x2. Его доход – 150 д.е., цена первого и второго блага – 1 д.е. Его шефы предлагает ему работу без повышения заработной платы в филиале фирмы в другом городе, где цена первого блага такая же, а цены второго в два раза выше. Петров еще в университете познакомился с понятием компенсирующей и эквивалентной вариации. Оценив предложение, он ответил, что в принципе он не против, но переезд для него означал бы потерю в доходе в А рублей. Но, он готов принять предложение, если его зарплата возрастет на В рублей. Чему равно А и В?

129.Покажите, что чистые потери от количественного налога на благо измеряется величиной – EV – T, где EV — эквивалентная вариация, связанная с соответствующим увели-

чением цены блага, а T — поступление от налога.

130. Предположим, что цена на все блага, кроме первого, постоянна. Покажите, что если эластичность маршаллианского спроса по доходу на первое благо постоянна, то компенсирующая вариация является функций этой эластичности, дохода и потребительного излишка следующего вида:

CV = R1[1 + 1–η ∆CS] 1η – R1

R1 1–

0 p1

где ∆CS(p0, p1) = ø x1(t, 1, R)dt — изменение потребительского излишка.

1 p1

131. Покажите, что если непрямая функция полезности имеет вид

ν(p,R) = a(p) + b(p)R,

то компенсирующая вариация вычисляется по формуле Сида:

Если к тому же эластичность по доходу η постоянна, то формула Сида имеет вид:

R1 e η1∆CS

CV = η [ R – 1].

107

108

С использованием этой формулы, докажите, что компенсирующая вариация и потребительский излишек равны в случае квазилинейных предпочтений.

132. Предположим, что первое благо доступно лишь в дискретных количествах, а второе благо — деньги (используемые на приобретение других благ), и функция полезности квазилинейна: u(x) = v(x1) + x2. Пусть, далее, ri – резервная цена приобретения i-ой единицы первого блага и определяется соотношением

u(i–1, x2 – (i–1)ri) = u(i, x2 – iri).

(а) Покажите, что если потребитель приобретает n единиц первого блага, то цена p1 на него удовлетворяет соотношению: rn> p1 > rn–1. При каких условиях верно и обратное утверждение?

(в) Покажите, что если v(0) = 0, то v(n) = Û ri, а потребительский излишек

i

CS = v(n) + R – p1n

совпадает с “чистой” выгодой от приобретения первого блага

(с) Покажите, что потребительский излишек совпадает с суммой компенсации, при которой потребитель готов полностью отказаться от потребления первого блага (увеличив тем самым потребление второго блага на величину компенсации).

133. Сформулируйте определение компенсирующей, эквивалентной вариаций и потребительского излишка непосредственно в терминах функции спроса и функции полезности и вычислите на этой основе их величины при K = 2, R0 = R1 = 100, p0 = (1,1), p1 = (2,1), когда...

(a)предпочтения представимы квазилинейной функцией полезности;

(b)блага абсолютно заменимы;

(c)блага комплементарны;

(c) предпочтения описываются функцией Кобба-Дугласа.

134.Проделайте аналогичные вычисления для случая, когда цена на первое благо падает (K = 2, R0 = R1 = 100, p0=(2,1), p1=(1,1)). Сравните результаты вычислений этого и предыдущего упражнения и объясните различия.

135.Проиллюстрируйте на графике при условиях K = 2, R0 = R1 =const, p2 = const поведение кривых спроса (на первое благо) Хикса и Маршалла, и укажите соответствующие фигуры, площади которых измеряют компенсирующую, эквивалентную вариацию и потребительский излишек когда

(а) предпочтения представимы функцией полезности Кобба-Дугласа; (а) предпочтения представимы квазилинейной функцией полезности; (а) блага вполне заменимы; (а) блага комплементарны

в случае (I) падения и (II) роста цены первого блага.

108

109

136. Пусть K = 2, p2 = const. Для заданной на плоскости (x, p) системы кривых спроса Хикса на первое благо изобразите

(а) возможное положение кривых спроса Маршалла на это благо;

(в) соответствующие компенсирующую, эквивалентную вариацию и потребительский излишек при (I) падении и (II) росте цены первого блага.

(с) Каковы соотношения между величинами компенсирующей, эквивалентной вариаций и потребительского излишка в разных ситуациях (различающихся типом благ (нормальноемалоценное благо) и характером изменения цен (падение-рост)).

137. Пусть в экономике присутствует два товара. В результате некоторого мероприятия экономической политики изменилась цена первого блага. При этом цена второго блага и доход потребителя остались неизменны. Как соотносятся компенсирующая, эквивалентная вариации и потребительский излишек в случае если:

а) цена первого блага выросла и первый товар нормальный; б) цена первого блага выросла и первый товар – товар Гиффена; в) цена первого блага упала и первый товар малоценный; г) цена первого блага упала и первый товар – товар Гиффена. Докажите соответствующие неравенства.

138. Покажите, что при изменении одной цены ∆CS обладает свойством аддитивности.

Элементы теории выбора и выявленные предпочтения

Обычно в микроэкономике описание предпочтений с помощью бинарных отношений используется в качестве отправной точки анализа рационального выбора потребителя. Но возможен и другой подход, отправной точкой которого непосредственно является выбор участника. Преимущество такого подхода состоит в следующем: мы можем наблюдать выбор участника, но не его предпочтения. Однако в некотором достаточно широком классе случаев подход, основанный на выборе, полностью эквивалентен подходу, основанному на предпочтениях, в том смысле, что возможно по известному выбору построить отношение предпочтения, которое порождает этот выбор. С другой стороны, подход, основанный на предпочтениях, позволяет построить более богатую теорию.

Для описания выбора участника в теории выбора вводятся понятия ситуации выбора и правила выбора, определенного на множестве ситуаций выбора. Ситуация выбора — это некоторое подмножество множества допустимых (физически) альтернатив X, с которым участник сталкивается и из которого он может выбирать.

Определение 24.

Пусть A — множество ситуаций выбора (A 2X). Правило выбора C(.) ставит в соответствие каждой ситуации выбора A из A непустое множество C(A) выбранных альтернатив, каждая из которых является элементом A, т.е. C(A) A.

Рациональность потребителя в терминах функции выбора выражается в «аксиоме выбора Хаутеккера».

109

110

Пусть A и A′ — две ситуации выбора и альтернативы x, y принадлежат как A, так и A′.

Если x C(A), а y C(A′), то x C(A′).

Смысл данного свойства прозрачен. Если подразумевать, что потребитель рационален в том смысле, что выбирает в любой ситуации выбора “лучшие” альтернативы, то данная аксиома устанавливает условие непротиворечивости его выбора.

Определение 26.

Будем говорить, что альтернатива x нестрого выявленно предпочитается альтернативе y, если существует ситуация выбора A, такая что x, y A и x C(A).

В дальнейшем нестрогое отношение выявленного предпочтения будем обозначать }R и гово-

рить, что x выявленно не хуже y, когда x }R y. Смысл этого определения состоит в том, что если была выбрана альтернатива x в ситуации выбора, когда была доступна также альтернатива y, значит, x не может быть хуже y.

Определение 27.

Будем говорить, что альтернатива x строго выявленнно предпочитается альтернативе y, если существует ситуация выбора A, такая что x, y A и x C(A), но y C(A).

Строгое отношение выявленного предпочтения будем обозначать }R и говорить, что x выяв-

ленно лучше y, когда x }R y. Смысл этого определения состоит в том, что если в какой-то ситуации выбора были доступны как x, так и y, но альтернатива x была выбрана, а альтернатива y — нет, значит, x лучше y.

Аксиому выбора Хаутеккера можно переформулировать в терминах выявленных предпочтений:

Если x выявленно не хуже y, то y не может быть выявленно лучше x, т.е. (x }R y) ! (y }R x).

Рациональность потребителя в терминах предпочтений тесно связана с рациональностью выбора потребителя, как она сформулирована в аксиоме выбора Хаутеккера.

Теорема 36.

Пусть правило выбора C(A) определено на множестве ситуаций выбора A и при этом

♦выполнена аксиома выбора Хаутеккера;

♦A содержит все одно-, двух- и трехэлементные подмножества X.

Тогда нестрогое отношение выявленного предпочтения }R, соответствующее правилу выбора C(A)

(1)полно,

(2)транзитивно.

Доказательство:

110