§3 Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1.

Дана электрическая цепь. Обозначим:

A_i={“i” элемент исправен}i=1, 2, 3, 4

р(А₁)=р(А₄)=0,7; р(А₂)=0,6; р(А₃)=0,8

1

2

*

3

4

Цепь включали 5 раз.

Найти вероятности событий:

1. B={хотя бы два раза был отказ}.

2. C={цепь работала ровно 3 раза}.

3. Найти наивероятнейшее число k_оработы цепи.

4. Сколько раз включить цепь, чтобы она работала хотя бы один раз с вероятностью не менее 0,9?

[ответ: 1)0,96; 2)0,3087; 3)k_о=4; 4)n≥2]

Задача 2.

Игральный кубик бросается 10 раз. Найти вероятности событий:

1. B={«6» выпало 7 раз}

2. C={нечетное число выпало не менее 2-х раз}

3. D={число кратное «3» выпало хотя бы 1 раз}

[ответ: 1)≈0,0003; 2)≈0,989; 3)1-(2/3)¹⁰≈0,9826.]

Задача 3.

Вероятность приема радиосигнала равна 0,9. Радиосигнал подавали 5 раз. Найти вероятности событий:

1. B={ровно два раза сигнал был принят}

2. C={не менее четырех раз принят сигнал}

3. D={хотя бы один раз принят сигнал}

4. Сколько раз нужно передавать сигнал, чтобы он был принят с вероятностью не менее 0,99?

[ответ: 1); 2)0,91854; 3)0,999; 4)n≥2].

Задача 4

Вероятность отказа при испытании каждого прибора равна 0.4.

Что вероятнее ожидать: отказ двух приборов при четырёх испытаниях

или отказ трёх приборов при шести испытаниях?

Задача 5

Две монеты бросили 5 раз. Найти вероятности событий:

1. В={два герба выпали ровно два раза}

2. С={орёл и решка выпали вместе хотя бы один раз}

Ответ:1)Р(В)=С₅²*0,25²*0.75³0,26; 2) Р(С)=1-(0.5)⁵=0,96875

Задача 6

Вероятность появления события А в четырёх независимых испытаниях хотя бы

один раз равна 0.9744.

Какова вероятность появления этого события при одном испытании, если в каждом

из них она одинакова?

Ответ: 0,6.

Задача 7

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,3.

Сколько надо произвести выстрелов, чтобы вероятность хотя бы одного попадания

была больше 0,9?

Ответ: n>7

Задача 8

Производится серия из 7 испытаний. Известно, что наивероятнейшее число

появления события А К₁ =3 или К₂=4.Найти Р(А).

Ответ: р(А)=0,5; Примечание:

Задача 9

Проводится серия из «n» испытаний Бернулли.

Р(А)=р=0,7; наивероятнейшее число К₀ =5.Найти «n»

Ответ: n=7 Примечание:

Задача 10

Вероятность поймать «зайца» в электричке равна 0,2.

Каково наивероятнейшее число для контролёра поймать «зайца» за 100 поездок?

Задача11

Вероятность достать билет на матч по футболу с любимой командой для каждого

болельщика составляет 0,4.

Сколько билетов нужно выпустить в продажу, чтобы хотя бы один из болельщиков

смог приобрести билет с вероятностью не менее 0,9.

Для найденного «n» найдите вероятность того, что не менее двух болельщиков

приобретут билеты на футбол.

Ответ: n=5 (n5) Р₅(2)+Р₅(3)+Р₅(4)+Р₅(5)=1-Р₅(0)-Р₅(1)=0,6634

Глава 7. Одномерная случайная величина дискретного типа

.

1 Основные понятия

Пусть множество элементарных исходов дискретное, т.е. число элементов конечное или счётное : Ω= {ῳ₁,ῳ_2, ..., ῳ_n, …}

Если каждому элементарному исходу ставится в соответствие число, т.е. имеем числовую функцию на множестве Ω,то говорят, что задана случайная величина.

Эту функцию будем обозначать X.

Значение функции X(ῳ )= x-число.

Множество значений дискретной случайной величины X- будет конечным или счётным.

Закон распределения дискретной случайной величины X- это ряд распределения

X	x1	X2	X3	…	Xn
P	P1	P2	P3	…	pn

x_1x_2… x_n …

p_i =p{ X =x_i } (p_i – вероятность случайного события: « Случайная величина X принимает

Заметим, что I = 1

Замечание

Полигон распределения- это ломаная с вершинами (х_i; p_i ).

Дискретную случайную величину можно задать с помощью функции распределения.

P_i