Вектора, Геометрия
.doc1. Вектора
= (x2 –x1; y2–y1; z2–z1)
Длина вектора
или
Направляющие косинусы вектора
Единичный вектор
Орт вектора
Скалярное произведение |
Векторное произведение |
Смешанное произведение |
Число = cos
|
Вектор
= |
Число
|
Свойства: 1) = 2; 2) = 0, если ; 3) = ; |
Свойства: 1) ; 2) , если |
Свойства: 1) 2) 3) , если вектора компланарны |
Приложения: Угол между векторами
Проекция вектора на вектор
|
Приложения: Площадь параллелограмма |
Приложения: Объем параллелепипеда и пирамиды V = Vпир = |
2. Прямая на плоскости
Основные типы уравнений прямых на плоскости
Название |
Уравнение |
Что дано |
Иллюстрация |
Общее |
Ах + Ву + С = 0 |
|
Коэффициенты А и В – координаты нормального вектора |
С угловым коэффициентом |
|
угловой коэффициент k или угол наклона α |
– угловой коэффициент, b – ордината точки пересечения прямой с осью ОУ
|
В данном направлении |
|
, угловой коэффициент k или угол наклона α |
|
Через две точки |
|
|
|
В отрезках |
|
Прямая отсекает на координатных осях отрезки a и b |
|
Перпендикулярно вектору |
|
|
– нормальный вектор
|
Каноническое |
|
|
– направляющий вектор
|
Полярное |
|
р – расстояние от начала координат до прямой, – угол отклонения перпендикуляра р от координатной оси |
|
Нормальное |
|
р – расстояние от начала координат до прямой, – угол отклонения перпендикуляра р от оси ОХ |
Нормирующий множитель
(общее→нормальное)
|
Основные задачи на плоскости
1. Расстояние между точками и
2. Площадь треугольника с вершинами в точках , ,
3. Деление отрезка в данном отношении λ
4. Угол между прямыми и
5. Параллельность и перпендикулярность прямых
6. Расстояние от точки до прямой
: Ах + Ву + С = 0
3. Основные виды кривых второго порядка на плоскости
Название кривой |
Вид уравнения |
Основные сведения о кривой |
Вид кривой |
Окружность |
|
R – радиус Центр в точке |
|
Эллипс |
|
a – большая полуось, b – малая полуось
Вершины эллипса А(а; 0), А’(–a; 0), В(0; b), В’(0; –b) с – фокусное расстояние,
Фокусы F1(c; 0), F2(–c; 0) e – эксцентриситет, |
|
Гипербола |
|
a – действительная полуось, b – мнимая полуось
Вершины гиперболы А(а; 0), А’(–a; 0), с – фокусное расстояние,
Фокусы F1(c; 0), F2(–c; 0) e – эксцентриситет, Асимптоты |
|
Парабола |
|
р – параметр параболы ОХ – ось симметрии Фокус F(р/2; 0) Директриса y = –p / 2 |
|
|
р – параметр параболы ОУ – ось симметрии Фокус F(0; р/2), Директриса y = –p / 2 |
|
Уравнение всегда определяет:
– окружность, при А = С,
– эллипс, при АС>0,
– гиперболу, при АС<0,
– параболу, при АС = 0.
При этом возможны случаи вырождения:
– для эллипса (окружности) – в точку или мнимый эллипс (окружность);
– для гиперболы – в пару пересекающихся прямых;
– для параболы – в пару параллельных прямых.
4. Прямая и плоскость в пространстве
Основные типы уравнения плоскости в пространстве
Название уравнения |
Вид уравнения |
Что дано |
Примечание |
Общее уравнение плоскости |
|
|
– нормальный вектор плоскости или нормаль |
Уравнение плоскости, проходящее через заданную точку, перпендикулярно данному вектору |
|
, нормаль . |
– произвольная точка |
Уравнение плоскости, проходящей через три точки |
|
|
– произвольная точка |
Уравнение плоскости в отрезках |
|
а – по Ox, b – по Оу, с – по Оz. Отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат |
|
Нормальное уравнение плоскости |
|
р – расстояние от начала координат до плоскости – углы, образованные вектором с осями Ox, Oy, Oz. |
– единичный вектор, направленный по перпендикуляру ОК = р, опущенному на плоскость из начала координат |
Основные типы уравнения прямой в пространстве
Название уравнения |
Вид уравнения |
Что дано |
Примечание |
Общее уравнение прямой |
|
|
и – нормали пересекающихся плоскостей |
Векторное уравнение прямой |
|
, направляющий вектор , параллельный прямой |
произвольная точка на прямой, , . |
Параметрическое уравнение прямой |
|
, направляющий вектор , параллельный прямой |
– параметр
|
Канонические уравнения прямой |
|
, направляющий вектор , параллельный прямой |
|
Уравнение прямой, проходящей через две точки |
|
|
|
Основные задачи в пространстве
1. Угол между плоскостями
,
,
2. Параллельность и перпендикулярность плоскостей
Если
Если
3. Расстояние от точки до плоскости
,
.
4. Угол между двумя прямыми
5. Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве
Если .
Если
6. Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости
,
,
Тогда
7. Угол между прямой и плоскостью
Пусть = (^), , тогда
8. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости
Аm + Вn + Cp = 0
9. Пересечение прямой и плоскости
Приводим уравнение прямой к параметрическому виду:
.
Далее подставляем найденные значения x, y, z в уравнение плоскости
.
Находим параметр t.
Для полученного значения t находим координаты точки пересечения, подставляя t в параметрические уравнения прямой.
10. Взаимное положение прямой и плоскости
,
Если
Если
Если
5. Основные виды поверхностей второго порядка
Название поверхности |
Уравнение поверхности |
Вид поверхности |
Сфера |
|
|
Эллиптический цилиндр |
|
|
Параболический цилиндр |
|
|
Гиперболический цилиндр |
|
|
Эллипсоид |
|
|
Однополостный гиперболоид |
|
|
Двуполостный гиперболоид |
|
|
Конус |
|
|
Эллиптический параболоид |
|
|
Гиперболический параболоид |
|