Информационные критерии
Для получения более определенных выводов, при сравнении альтернативных моделей можно использовать информационные критерии отбора моделей.
Если заранее ограничиваться рассмотрением только AR моделей, т.е. полагать, что процесс Xt следует модели AR(k) с неизвестным истинным порядком k , то для определения k в таких ситуациях долгое время использовался информационный критерий Акаике Согласно этому критерию, среди альтернативных значений k выбирается значение, которое минимизирует величину
где T –
количество наблюдений, а
– оценка дисперсии
инноваций
в AR модели
k-го
порядка. Для вычисления
производится подбор
модели k-го
порядка с использованием уравнений Юла
– Уокера, полученные оценки коэффициентов
подставляются в уравнение модели, μ
заменяется на
,
так что получаются оценки
для
,
после чего
определяется как
=
.
Впоследствии было выяснено, что оценка Акаике несостоятельна и асимптотически переоценивает (завышает) истинное значение k0 с ненулевой вероятностью.
Более предпочтительным является часто используемый в настоящее время информационный критерий Шварца
.
Несколько позднее был предложен критерий Хеннана – Куинна (Hannan – Quinn information criterion – HQC),
, c > 1,
обладающий более быстрой сходимостью к истинному значению k0 при T → ∞ . Однако при небольших значениях T этот критерий недооценивает порядок авторегрессии.
Если мы не ограничиваем себя моделями AR и допускаем, что модель, порождающая данные, имеет вид ARMA(p0, q0) (с неизвестными p0, q0),
a(L) Xt = b(L) εt ,
то оценками полиномов a(z), b(z) служат
.
С помощью оцененных полиномов получаем оценку для инноваций:
,
на основании которой строим оценку для дисперсии инноваций
.
При этом предполагается, что
сами инновации, зная точно коэффициенты
ARMA модели, можно найти по
формуле
,
что соответствует обратимости этой
модели.
В качестве оценок для p0,
q0 берется
пара значений
,
при которой минимизируется величина
.
Существенно, что
– возрастающая
функция от p
и q ,
когда p ≥ p0
, q
≥ q0
, что ведет к
состоятельности
оценок
.