2.8 Исследование сау с помощью критерия Найквиста

Выполнение этой части работы следует начать с формулировки условия устойчивости по критерию Найквиста. Далее строится аналитическим методом график частотной передаточной функции разомкнутой системы на комплексной плоскости – амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).

Для построения АФЧХ необходимо воспользоваться передаточной функцией разомкнутой системы, найденной при построении ЛЧХ, и рассчитать коэффициенты характеристического уравнения (полинома знаменателя выражения для этой передаточной функции). Расчет коэффициентов следует вести с точностью до четырех значащих цифр.

После этого следует найти частотную передаточную функцию разомкнутой системы, для чего заменой оператора на частотный оператор , представить частотную передаточную функцию разомкнутой цепи системы в виде комплексного выражения с выделением действительной и мнимой части:

. (2.23)

В выражениях для действительной и мнимой части следует максимально понизить порядок выражений в числителе и знаменателе, проведя необходимые сокращения на общие множители.

Рекомендуется строить годограф методом опорных точек /12/. Для этого, анализируя выражения для действительной и мнимой частей, необходимо найти пределы и координаты точек пересечения АФЧХ с координатными осями комплексной плоскости и построить АФЧХ, соединив плавной кривой полученные точки в порядке возрастания частот.

Построение необходимо выполнять строго в масштабе с использованием миллиметровой бумаги. При построении годографа системы необходимо показать общий вид годографа (это построение можно выполнить в меньшем масштабе), а также его прохождение в окрестностях точки Найквиста и вблизи начала координат. Эти построения рекомендуется выполнить в более крупном масштабе.

Далее нужно оценить устойчивость САУ по критерию Найквиста, рассчитать критический передаточный коэффициент и запасы устойчивости с помощью АФЧХ.

Исследование устойчивости замкнутой системы с использованием частотного критерия Найквиста выполняется по виду АФЧХ разомкнутой системы. При этом используются результаты аналитического расчета точки пересечения годографа системы с отрицательной полуосью вещественной оси.

Критический передаточный коэффициент – это передаточный коэффициент системы, находящейся на границе устойчивости. Нахождение критических передаточных коэффициентов с помощью критериев устойчивости следует начинать с математической формулировки условия нахождения системы на границе устойчивости в соответствии с применяемым критерием.

Для того, чтобы определить критический передаточный коэффициент с помощью частотной передаточной функции (по критерию Найквиста),. необходимо записать выражение для модуля частотной передаточной функции разомкнутой системы

. (2.24)

Критическому передаточному коэффициенту соответствует прохождение годографа разомкнутой системы через точку Найквиста . Этому случаю соответствует выполнение условий:

(2.25)

и критический передаточный коэффициент находится из решения этой системы.

Запасы устойчивости по амплитуде и фазе, определенные по амплитудно-фазовой частотной характеристике, следует показать на графиках, построенных в соответствующих пунктах задания.

В случае, если исследуемая система неустойчива, необходимо принять произвольный передаточный коэффициент, меньший критического значения, привести для этого случая АФЧХ и по ней определить запасы устойчивости по фазе и амплитуде, показав их на соответствующем графике.

Рекомендуемая литература: /3, 4, 7, 9, 12 /.