Задача распределения средств между инвестиционными проектами

Рассмотрим задачу распределения средств между предприятиями (проектами) в общем виде:

Имеется определенное количество ресурсов s₀, которое необходимо распределить между n хозяйствующими субъектами на текущую деятельность в течение рассматриваемого периода (месяц, квартал, полугодие, год и т.д.) с целью получения совокупной максимальной прибыли. Размеры вложений ресурсов x_i (;) в деятельность каждого хозяйствующего субъекта кратны некоторой величинеh. Известно, что каждый хозяйствующий субъект в зависимости от объема используемых средств x_i за рассматриваемый период приносит прибыль в размере f_i(x_i) (не зависит от вложения ресурсов в другие хозяйствующие субъекты).

Необходимо определить, какой объем ресурсов нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.

Представим процесс распределения ресурсов между хозяйствующими субъектами как n-шаговый процесс управления (номер шага совпадает с условным номером хозяйствующего субъекта). Пусть s_k () – параметр состояния, т.е. количество свободных средств послеk-го шага для распределения между оставшимися (n–k) хозяйствующими субъектами. Тогда уравнения состояний можно записать в следующем виде:

(3.12)

Введем в рассмотрение функцию – условно оптимальная совокупная прибыль, полученная отk-го, (k+1)-го, …, n-го хозяйствующих субъектов, если между ними оптимальным образом распределялись ресурсы в объеме s_k-1 (). Множество возможных управленческих решений относительно размера распределяемых ресурсов наk-ом шаге можно представить следующим образом: .

Тогда рекуррентные уравнения Р.Э. Беллмана (обратная схема) будут иметь вид:

(3.13)

Далее по полученным результатам условной оптимизации можно определить оптимальное распределение ресурсов по следующей схеме:

Решение типового примера

Задание 3

Руководство финансовой компании рассматривает 4 инвестиционных проекта, между которыми собирается распределить 100 млн. руб. В зависимости от объема выделенных денежных средств , каждый инвестиционный проект приносит финансовой компании дополнительный доход, () у.е.:

Объем выделенных денежных средств, x (млн. руб.)	Дополнительный доход инвестиционного проекта в зависимости от объема выделенных денежных средств, fi(x) (у.е.)
	f1(x)	f2(x)	f3(x)	f4(x)
0	0	0	0	0
20	9	12	6	7
40	20	20	11	19
60	42	31	20	29
80	45	39	40	35
100	59	47	62	51

Необходимо:

1. Определить размер максимального дополнительного дохода от вложения денежных средств в рассматриваемые инвестиционные проекты.

2. Определить оптимальное распределение средств финансовой компании, обеспечивающее ей максимальный дополнительный доход от инвестиций во все проекты.

3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

Решение.

1. Определим размер максимального дополнительного дохода от вложения денежных средств в рассматриваемые инвестиционные проекты.

Согласно обратной схеме Беллмана показатель эффективности 4-ого шага:

;

показатель эффективности 1-го инвестиционного проекта.

объединённый показатель эффективности 2-х инвестиционных проектов.

Произведем вычисления значений функции и представим их в таблице 1:

Таблица 1

Объем выделенных денежных средств, x (млн. руб.)	Дополнительный доход инвестиционного проекта в зависимости от объема выделенных денежных средств, fi(x) (у.е.)				Показатели эффективности предприятий в зависимости от объема выделенных средств, E i(x) (у.е.)
	f1(x)	f2(x)	f3(x)	f4(x)	E4(x)	E 3(x)	E 2(x)	E 1(x)
0	0	0	0	0	0	0	0	0
20	9	12	6	7	7	7	12	12
40	20	20	11	19	19	19	20	21
60	42	31	20	29	29	29	31	42
80	45	39	40	35	35	40	41	54
100	59	47	62	51	51	62	62	62

Объединённый показатель эффективности 3-х инвестиционных проектов  . Произведем вычисления значений функциии представим их в таблице 1.

Объединённый показатель эффективности 4-х инвестиционных проектов – . Произведем вычисления значений функциии представим их в таблице 1.

В результате вычислений получили, что максимальное значение функции цели составляет .

Таким образом, размер максимального дополнительного дохода от вложения денежных средств в рассматриваемые инвестиционные проекты составляет 62 у.е.

2. Определим оптимальное распределение средств финансовой компании, обеспечивающее ей максимальный дополнительный доход от инвестиций во все проекты.

Из таблицы 1 находим оптимальные планы распределения выделенных средств.

Оптимальный план №1:

Оптимальный план №2:

3. Дадим экономическую интерпретацию полученного решения.

Согласно первому оптимальному распределению средств финансовой компании, обеспечивающему ей максимальный дополнительный доход от инвестиций во все проекты, равной 62 у.е., на реализацию третьего инвестиционного проекта необходимо выделить 100 млн. руб., а на реализацию первого, второго и четвертого – денежные средства выделять не следует.

Согласно второму оптимальному распределению средств финансовой компании, на реализацию первого инвестиционного проекта необходимо выделить 60 млн. руб., на реализацию второго – 40 млн. руб., а на реализацию третьего и четвертого инвестиционных проектов денежные средства выделять не следует.