ОиАС-3
.pdf1 |
|
Лекция 3 |
|
|
|
|
|
|
Задачи Майера и Больца
2
В более общем случае функционал (2.1.24)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
x, x,u,u,t dt |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J 1 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
и граничные условия (2.1.25), (2.1.26) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x(t ) = x(0); |
|
|
|
|
x(t ) = x(1) |
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
t |
|
x,u, x,u,t dt q2 0 x 1 ,t1 |
|||||||
|
|
|
|
J q1 1 0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 ,t |
|
0; |
|
x 1 ,t 0 |
j |
|
n; i |
|
n |
|
|
|
j 0 |
i1 |
1, s |
1, p |
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
υ |
(x(1),t ) – заданная функция; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q1 |
и q2 – известные числа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(2.1.38)
(2.1.39)
t |
x,u, x,u,t dt q2 0 |
x 1 ,t1 |
|
J q1 1 0 |
|||
t0 |
|
|
|
Задача о нахождении экстремалей этого функционала, удовлетворяющих уравнениям связи (2.1.23) и граничным условиям (2.1.39), называется:
Задача |
|
Задача |
|
Задача |
Больца |
|
Майера |
|
Лагранжа |
|
|
|
|
|
• q1≠0, |
|
• q1=0 |
|
• q2=0 |
q2≠0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
Покажем, что задачи Больца и Лагранжа сводятся к задаче Майера.
Действительно, если дополнить уравнения (2.1.23) x x,u,t
уравнением
x0 0
а граничные условия (2.1.39)
|
|
x 0 ,t |
0; |
|
x 1 ,t 0 |
j |
|
n; i |
|
n |
j 0 |
i1 |
1, s |
1, p |
|||||||
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
равенством x0(t0)=0, то функционал (2.1.38)
t |
x,u, x,u,t dt q2 0 |
x 1 ,t1 |
|
J q1 1 0 |
|||
t0 |
|
|
|
J=q1x0(t1) + q2υ0.
4
Верно и обратное. Действительно, рассмотрим вместо функционала
J = υ |
(x(1),t ) |
(2.1.40) |
0 |
1 |
|
в задаче Майера функционал
J |
= υ |
(x(1),t ) – υ |
(x(0),t ) |
(2.1.41) |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
Поскольку υ0(x(0),t0) – известная величина, то экстремали функционалов (2.1.40) и (2.1.41) совпадают.
С другой стороны, нетрудно видеть, что
J |
|
d x t ,t dt |
|
|
0 |
|
x,u,t |
0 dt |
|||
|
t1 |
|
|
t1 |
|
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dt |
0 |
|
|
i |
|
t |
|||||
|
t0 |
|
t0 |
i 1 xi |
|
|
|
||||
а задача об экстремуме этого функционала на связях (2.1.23) – это уже задача Лагранжа.
5
Покажем также, что задача Больца эквивалентна задаче Лагранжа.
В связи с этим запишем функционал (2.1.38)
|
t |
x,u, x,u,t dt q2 0 |
x 1 ,t1 |
|
как |
J q1 1 0 |
|||
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t1
J1 q1 0 q2 xn 1 dt
t0
дополним уравнения (2.1.23)
x x,u,t
уравнением
xn 1 0
а краевые условия (2.1.39)
|
|
x 0 ,t |
0; |
|
x 1 ,t 0 |
j |
|
n; i |
|
n |
j 0 |
i1 |
1, s |
1, p |
|||||||
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
равенством xn+1(t0) = υ0/(t1 – t0).
Тогда из уравнения связи следует xn+1 = const = υ0/(t1 – t0), и, следовательно, задачи
Больца и Лагранжа эквивалентны. Выбор той или иной формы вариационной
6
задачи определяется соображениями удобства ее формулировки.
Правило множителей Лагранжа для задач оптимального управления с подвижными концами
7
Задача оптимального управления классического типа с подвижными концами и фиксированным временем формулируется следующим образом:
|
|
|
|
x x,u,t |
|
|
|
|
|
|
(2.1.23) |
||
|
|
x 0 ,t |
0; |
|
x 1 ,t 0 |
j |
|
n; |
i |
|
n |
(2.1.39) |
|
j 0 |
i1 |
1, s |
1, p |
||||||||||
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
t |
0 x,u, x,u,t dt q2 0 x 1 ,t1 |
|
|
|||||||
|
|
J q1 1 |
(2.1.38) |
||||||||||
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Граничные условия (2.1.39) предполагаются независимыми, функции j 0 , i1 – непрерывными и дифференцируемыми по всем своим аргументам. На остальные функции накладываются такие же требования, как и в случае задачи с закрепленными концами.
Эта задача отличается от задачи с закрепленными концами тем, что изменяются краевые условия и критерий оптимальности может иметь любой из указанных при классификации видов, т.е. в этом случае задача оптимального управления может быть вариационной задачей Лагранжа, Больца и Майера. Когда концы закреплены и время фиксировано, задача оптимального управления может быть только задачей Лагранжа.
Используя прием Лагранжа, преобразуем систему (2.1.23), (2.1.38), (2.1.39) в простейшую задачу Больца
t
J1 V x t0 , x t1 , g 1 ~0 x, x,u,u, ,t dt
t0
|
~ |
|
|
x,u,t (2.1.42) |
|
0 |
|||
|
0 0 x, x,u,u,t t x |
|||
s |
s p |
|
|
|
V x t0 , x t1 ,g g0 0 g j j 0 |
gi i1 , |
g0 0 |
(2.1.43) |
|
j 1 |
i s 1 |
|
|
|
терминант
На основании полученных выше результатов можно показать, что уравнения
Эйлера-Лагранжа совпадает с уравнениями (2.1.29) и (2.1.30). |
|
||||||||||||||
Продифференцировав функцию Лагранжа по xi |
получим |
|
|||||||||||||
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поэтому условия трансверсальности можно записать в виде |
|
||||||||||||||
i t0 |
V |
|
|
|
i t1 |
|
V |
|
|
|
|
||||
|
|
, |
|
, i 1, n |
(2.1.44) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
xi |
t0 |
xi t1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8
Отдельные координаты граничных точек могут быть фиксированы. Соотношения, определяющие эти координаты, в выражение для терминанта V не включаются, и так как при определении необходимых условий они не варьируются, в условия трансверсальности не нужно включать соотношения, содержащие частные производные по этим координатам. В частности, если начальная точка закреплена, т.е. заданы все координаты точки x(t0), то в условии (2.1.44) все первые соотношения с частными производными по x(t0) должны быть исключены.
Правило множителей Лагранжа (с подвижными концами и фиксированным временем). Если допустимая пара (u(t),x(t)) является решением задачи оптимального управления (2.1.23), (2.1.38), (2.1.39) , то найдутся такие не равные одновременно нулю множители Лагранжа, что эта пара удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа (2.1.29), (2.1.30) и условиям трансверсальности
(2.1.44).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
i 1, n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j d |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x,u,t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
xi |
j |
xi |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
J q1 |
0 x,u, x,u,t dt q2 0 x 1 ,t1 |
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1, m |
|
|
|
||||||||
|
|
0 j t j d 0 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
uk |
|
|
uk |
|
dt uk |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
x 0 ,t |
0; |
|
x 1 ,t 0 |
j |
|
|
n; i |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
j 0 |
i1 |
1, s |
1, p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 2.1.7. Решить задачу поворота вала двигателя на угол 1 рад. за 10 с без последующей остановки при минимальном расходе энергии :
x1 |
x2 ; |
|
|
|
10 |
x (0)= x (0)= 0; |
x (10)=1 |
J u2 dt min |
|||
x2 |
u |
1 |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|||
Решение. Эта задача отличается от задачи, рассмотренной в примере 2.1.6, только краевым условием на правом конце траектории.
Решения уравнений Эйлера-Лагранжа были получены в следующем виде:
1 t C1 |
2 t C1t C2 |
u t |
C1t C2 |
|
2 |
||||
|
|
|
В данном случае V = 0 и нефиксированным является только координата x2(10). Поэтому условие трансверсальности принимает вид
2 |
10 |
V |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 10 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 10 |
C110 C2 |
0 |
C2 C110 |
u t |
C1 10 t |
||||
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10