Polnaya_uynya_shpora_po_sopromatu
.pdf5.4 Деформация при кручении
Деформация при закручивание является угол закручивания φ. Для определения угла закручивания воспользуемся уравнением (а):
|
M z |
|
d |
из которого d |
M z |
После интегрирования получаем полный угол |
||||||||||
|
|
|
|
dz |
||||||||||||
|
G I |
dz |
G I |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
M z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
закручивания. e |
|
|
|
dz (5.5)Если по всей длине вала момент не меняется и вал имеет |
||||||||||||
G I |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
постоянный диаметр, то интегрируя (5.5): e |
M z |
e |
Произведение GIp называется |
|||||||||||||
G I |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жесткостью сечения при кручении. Она характеризует сопротивление вала закручивания. Для ступенчатых валов или же у валов, у которых Mz меняется по длине скачкообразно, угол закручевания между начальным и конечным сечением вала подсчитывается как сумма
|
M |
z |
N M |
zi |
l |
i |
|
|||
углов закручивания по участкам с постоянным отношением |
|
|
. |
|
|
|
(5.6)Полный |
|||
I |
|
|
G I |
|
|
|||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
угол закручивания не всегда характеризует жесткость вала при кручении. На протяжении длины вала крутящие моменты могут иметь разные знаки. Поэтому полный угол закручивания может быть небольшим, в то время как на отдельных участках он может оказаться значительным. Для оценки жесткости вала вводиться другая мера – интенсивность угла закручивания.
|
M z |
|
, 1/см Для случая, когда на отдельных участках вала эпюра Mz постоянна, |
G I |
|
||
|
|
величина θ численно равна углу закручивания вала на единицу длины
5.5 Практические расчеты при кручении
Практические расчеты при кручении ведут из условии прочности на
кручение: max |
|
M z |
, Rc |
и условия жесткости на кручении: Qmax |
M z |
|
Q , где |
|
|
G I |
|
||||||
|
|
W |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
[Q] – относительный угол закручивания в радианах на единицу длины вала.В большинстве случаев дополнительный угол закручивания задают в градусах на 1м длины. Тогда формула условия жесткости имеет
вид: |
Qmax |
M z |
|
|
180 |
Q Исследуя эти условия, как правило подбирают диаметр |
|
G I |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
вала под заданный крутящий момент, либо определяют максимальный крутящий момент под имеющийся диаметр вала. Подбор диаметра осуществляется следующим образом: из условия
прочности: max |
|
M z |
|
|
M z |
|
D |
|
M z |
из условия |
|
|
|
|
|
|||||||||||
W |
|
0,2D3 |
|
3 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
жесткости:Qmax |
|
|
M z |
|
M z |
|
|
Q D 4 |
M z |
; D 4 |
M z |
|
|
180 |
|
Из двух значений |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
G I |
G 0,1D4 |
|
G 0,1 Q |
G 0,1 Q |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
принимают большее. Для вала кольцевого сечения: а) из условия прочности:
M
D 3 z , где с=d/D
0,2 (1 c4 )
M
б) из условия жесткости: D 4 z
G 0,1 Q (1 c4 )
5.6 Потенциальная энергия при кручении круглого вала
Будем считать, что материал вала при кручении работает при напряжении не превышающем предел упругости. В этом случае работа внешних сил W, затрачиваемая на кручение вала будет равна количеству потенциальной энергии U накопленной в вале: W=U.
Работа W = площади диаграммы кручения.
Mz-крутящий момент, –
угол закручивания вала.Подставляя в
приведенную формулу получим
Приведенную формулу можно распространить и на вал с крутящим моментом и переменной жесткостью. В этом случае потенциальная энергия будет равна сумме потенциальной энергии, найденных по участкам с постоянным отношением
6.1.определение изгиба.
Внутреннее усилие при изгибе изгиб является самым распространённым видом деформации строй.конструкций. Изгиб
вызывает силы, перпендикулярные продольной оси бруса, или пары сил, лежащие в плоскостях, проходящих через эту ось. Сама ось из прямолинейной превращается в криволинейную.
при изгибе внешней нагрузкой в его поперечных сечениях возникают внутренние усилия, а именно:
Q-поперечная сила M-изгибающий момент
6.2.разновидности изгиба
изгиб бывает чистым и поперечным прямым и косым, плоским и пространственным. Чистым изгибом называется изгиб, когда в поперечных сечениях действует только 1 внутренние усилие, а именно: изгибающий момент. если к моменту добавляется поперечная сила, изгиб называется поперечным. если все внешние нагрузки приложены в одной плоскости, называемой силовой плоскостью, изгиб является плоским.
если внешние нагрузки не лежат в одной плоскости, изгиб является пространственным.
плоский изгиб называется прямым, когда линия пересечения силовой плоскости в плоскостью поперечного сечения
совпадает с одной из его главных центральных осей. Соответственно, если не совпадает, то изгиб называется косым.
6.3.понятие балка
брус, работающий на изгиб, называется балкой. Балка, лежащая на 2 опорах, называется простой балкой. Расстояние между опорами – пролёт.
Простая балка имеет одну неподвижную и 1 шарнирную опоры. Неподвижная шарнирная опора допускает свободный поворот опорного сечения балки. препятствуя смещению как продольно, так и поперечно, следовательно в такой опоре возникают 2
реакции: горизонтальная и вертикальная.
Подвижная шарнирная опора допускает не только поворот опорного сечения, но и продольное смещение балки, препятствуя лишь поперечному смещению. В этой опоре возникает только 1 реакция.
Балка, лежащая на 2 опорах и имеющая выступающие концы, называется консольной балкой.
балка. имеющая 1 конец жёсткозаделанный, а другой свободный, называется консолью. Длину такой балки называют вылетом.
6.4.Определение поперечной силы и изгибающего момента.
Определение поперечной силы и изгибающего момента начинают с определения опорных реакций.Для контроля найденных опорных реакций,составляют ур-ие равновесия на ось у.
После нахождения опорных реакций опред. внутр. силовые факторы во всех поперечных сечениях балки.Используя метод сечений,мысленно рассекают балку на произвольном расстоянии от z лев. опоры.Отбрасываем 1 из образ-хся частей и заменяем ее действия на оставшиюся неизвестными внутренними усилиями .Поскольку оставшаяся часть нах-ся в равновесии составляем ур-ие равновесия .Из которых определяем
.Поперечн. сила в произвольном сеч. балки численно =алг. сумме всех внешних сил,приложенных с одной стороны от этого сечения.А изгибающий момент алг. суммы моментов всех внешних сил относительно центра тяжести сечения.
Правило знаков для поперечной силы:Если внещняя сила стремится повернуть отсеченную часть балки по ходу часовой стрелки относительно рассматр. сечения,она записывается со знаком +,если против хода - Правило знаков для изгибающих
+ Q |
м-тов:внешний момент или внешняя сила,изгибающая балку выпуклостью вниз |
|
|
при мысленном защемлении сеч-ия,записывается со знак. +,а вып-ого вверх с - |
Тогда для нашего рис. ,.По найденным
значениям строят эпюры .Для построения эпюры знач. Q и M опред. в хар-
+
М ых точках,кот-ми явл. места приложения внешних нагрузок.Определенное в харых точках значение откладывают в масштабе,а затем соед. м. соб. прямыми и кривыми линиями.Положительное значение поперечной силы Q откладывают вверх от базисной линии,а отрицательн. вниз,для изгиб-х моментов наоборот:+ вниз,- вверх.Эпюра М всегда строится на растянутых волокнах.
6.5.Дифф-ые зависимости при изгибе.Правило построения эпюр.
Между изгибающим моментом М,поперечн. Q и распред. нагрузкой q сущ. дифф.
зависимости,к-е опред. построение эпюр в промежутках между хар-ми точками:1)
первая произв-я по длине от поперечной силы=интенсивности распред. нагрузки.2)
перечной силе..3) |
вторая произв. от изгиб. м-та по длине=интенсивности распредел. |
нагрузки q= |
.Используя полученное у-е,связ-ее 3 вел-ны q,Q,M,установлены |
правила построения эпюр в промежутках м. хар-ми точками.
Правила построения эпюр Q и M.1)Если отсутствует распред. нагр. эпюра Q-прямая паралел. оси балки,а эпюра М-наклонную прямую.2)На уч-х,имеющих распред-ю нагрузку, (q) эпюра поперечной силы Q-наклонная прямая,а изгиб. мом-т М-квадр. парабола,обрасченная выпуклостью в сторону действия нагрузки.3)в точке,где приложена сосредот. сила на эпюре Q имеется ступенька =по величине этой силе,а на эп. М-излом,с острием направ. силы.4)точки,где прил-на пара сил (сосред-й м-т) на эпюре М имеется ступенька ,= паре сил.Если пара сил направлена по ходу ч.с. эп. М вверх и наоборот.На очертании эп. Q сосред. м-т не отражается.5)Если эп. Q>0,то эп. М алг. возрастает и наоборот.Если Q
переходит через 0,меняя знак с + на -,то М= |
при изменении знака с – на + |
|
М= |
.Если Q=0,м-т –const.6)На концевой шарнирной опоре Q=реакции опоры,М=0,если |
на опоре отсутствует сосредоточенный м-т.7)На свободном конце балки (концом) поперечная сила Q=0,если отсутствует сосредоточенная сила.Изгиб. м-т так же =0,если нет сосред. м-та.8)В защемлен. конце балки сила Q=опорной реакции ,а М-опорному моменту.9).В промежут. шарнире поперечная сила= реакции шарнира,а изгиб-й м-т 0.10)Площадь эп.Q справа или слева от сечения дает вел-ну изгиб-его м-та в сеченгии.Если на уч.,предществ. сеч. действует сосред. момент,то его тоже нужно учесть.
6.6 Напряжения при изгибе
При расчете балки на прочность после определения внутренних усилий и , определяем напряжение. Определяем в сечениях балки, где и -максимальны. При изгибе имеет место два вида напряжения: нормальное, которое определяет изгиб момента и касательное, который определяет поперечная сила .
6.6.1 Нормальное напряжение
При определении нормального напряжения принимаем ряд допущений:
1)материал балки подчиняется закону Гука
2)поперечные сечения - плоские до и после деформации
3)продольные волокна не оказывают давление друг на друга
Принимая эти допущения получена формула для расчета нормального напряжения:
максимальный изгибающий момент (берется из эпюры для данного сечения)
момент инерции относительно X
координата точки для которой определяется сечение
6.6.2 Касательное напряжение
Касательное напряжение при изгибе балки возникает в сечении в котором . Считаются они по формуле Д.И.
Журавского: |
поперечная сила берется |
|
из эпюры |
статический момент сечения, выше |
|
волокна в котором определяется напряжение |
|
|
|
момент инерции относительно оси X |
|
|
ширина сечения Наибольшее |
|
касательное напряжение для балки |
|
|
прямоугольного сечения вычисляется |
, |
т.е. в 1,5 раза больше того напряжения, которое получилось бы в предположении равномерного распределения касательной напряжения по сечению. Для круглого сечения