Lab1
.docЛабораторные работы
1. Изучение функции распределения
случайных величин
Лабораторная работа 1
Экспериментальное определение функции распределения
плотности вероятности результатов измерений
Цель работы: Построение гистограммы результатов измерения и функции распределения плотности вероятности; определение параметров функции распределения.
Приборы и принадлежности: Физический или математический маятник, электрический секундомер.
Методика и техника эксперимента
Величины называются случайными, если в результате опыта вследствие влияния различных случайных причин они могут принимать неодинаковые, но близкие числовые значения. Вероятность случайного события, состоящего, например, в появлении определенной величины а в серии наблюдений, может быть определена как
, (1)
где n - число наблюдений, при которых появилось событие а;
N - полное число наблюдений;
P(a) - вероятность события а.
Из (1) следует, что вероятность P(a) есть число, значение которого лежит в пределах
. (2)
Событие считается достоверным при P(a) = 1; при P(a) = 0 событие невозможно.
Допустим, что произведено большое число N наблюдений величины а. Получен ряд значений а1, а2, ..., аi, ..., аN, которые представляют совокупность случайных величин. Результат измерения можно представить графически в виде диаграммы, которая показывает, как часто получаются те или иные значения. Такая диаграмма называется гистограммой.
Для построения гистограммы по оси абсцисс откладывают все значения аi в порядке возрастания. Далее весь диапазон значений разбивается на одинаковые интервалы а и подсчитывается число значений величины а, попавших в каждый интервал. Величина интервала определяется из выражения
, (3)
где - наибольшее значение измеренной величины,
- наименьшее значение измеренной величины,
k - число интервалов.
Число интервалов берется произвольным, но таким, чтобы в каждом интервале находилось несколько значений аi.
Пусть в первом интервале оказалось n1 значений измеренной величины, во втором – n2 и т.д. Возьмем отношения
которые приближенно равны вероятности того, что величина a принимает значения, соответствующие первому, второму, ..., . к-му интервалу. Разделив эти величины на ширину интервала а, получим
, , ..., , ..., .
Величина
(4)
представляет вероятность, приходящуюся на единичный интервал или плотность вероятности, . Плотность вероятности не одинакова для разных интервалов, т.е. изменяется с изменением значения a.
Площадь каждого прямоугольника гистограммы с учетом (4) равна
и представляет вероятность того, что величина а лежит в пределах от до .
При увеличении числа интервалов k до бесконечности величина a стремится к нулю, что возможно только при , т.е. при бесконечном числе измерений. В этом случае ступенчатая фигура перейдет в плавную кривую f(а), изображенную на рисунке пунктирной линией. Эта функция называется функцией распределения плотности вероятности величины а.
Практика измерений показывает, что результаты измерений и их погрешности часто имеют вид так называемого нормального распределения или распределения Гаусса. Это связано с тем, что экспериментальные данные, полученные при измерении одной и той же величины при воспроизводимых условиях, подчиняются следующим закономерностям:
-
при большом числе наблюдений погрешности равной величины, но разного знака встречаются одинаково часто, т.е. равновероятны;
-
вероятность появления погрешностей уменьшается с ростом величины погрешности, т.е. большие по абсолютной величине погрешности встречаются реже, чем малые.
Аналитическое выражение функции распределения Гаусса имеет вид
, (5)
где а0 - абсцисса, соответствующая максимуму функции распределения, истинное значение случайной величины;
2 - дисперсия - параметр распределения, характеризующий ширину кривой.
В теории вероятности показывается, что параметры функции распределения рассчитываются по формулам:
, (6)
.
Площадь, заштрихованная на графике, численно равна вероятности того, что величина а лежит в интервале от а до .
Общая площадь по кривыми равна 1:
, (7)
что соответствует достоверному событию, т.к. означает, что величина а принимает любое возможное значение. Иначе последнее выражение называется условием нормировки функции распределения.
Поскольку дисперсия характеризует разброс результатов относительно истинного значения, то кривая 2 соответствует большей дисперсии, чем кривая 1.
Результаты любого эксперимента являются случайной величиной, которая описывается какой-либо функцией распределения f(а). Если вид f(а) известен, то по формуле (6) можно найти истинное значение и меру разброса результатов - дисперсию.
В реальных условиях f(а) не известна, а число измерений N конечно. Поэтому находят приближенные параметры функции распределения: вместо истинного значения находят среднее арифметическое результатов измерения
, (8)
а вместо дисперсии - ее оценку
. (9)
также называют среднеквадратичным отклонением наблюдений относительно среднего значения.
При проведении серии измерений получается, что сами средние значения, полученные в результате обработки результатов каждого измерения, являются случайными величинами, разброс которых характеризуется дисперсией для распределения среднего 2. В математической статистике показано, что
. (10)
Следовательно среднеквадратичная погрешность среднего значения рассчитывается по формуле:
. (11)
Среднее значение отличается от истинного a0 , причем, величину этой погрешности определить невозможно, т.к. не известно истинное значение a0. В этом случае задается значение погрешности а такое, чтобы с вероятностью Р абсолютная величина разности между истинным и средним значениями не превышала а. Вероятность Р называется доверительной вероятностью, а интервал от до - доверительным интервалом.
В качестве результата измерения принимается доверительный интервал, рассчитанный по среднеквадратичному отклонению для распределения среднего и коэффициенту Стьюдента, учитывающему доверительную вероятность и число измерений:
. (12)
На лабораторных установках (математический маятник, физический маятник и т.п.) измеряется время 3-5 колебаний. По указанию преподавателя производится 50 наблюдений. Задачей лабораторной работы является построение гистограммы, функции распределения, а также определение параметров функции распределения.
Порядок выполнения работы
-
Произвести 50 измерений времени 3-5 колебаний.
-
Определить наибольшее значение измеренной величины и наименьшее значение измеренной величины .
-
Разбив весь диапазон значений на 7-8 интервалов, определить ширину интервала а по формуле (3).
-
Записать в таблицу числовые значения границ интервалов.
-
Распределить результаты наблюдений по интервалам.
-
Подсчитать число значений ni из общей совокупности наблюдений аi, попавших в каждый интервал.
-
По формуле (4) рассчитать плотность вероятности в каждом интервале.
-
Построить гистограмму распределения плотности вероятности.
-
Провести пунктиром сглаженную кривую функции распределения f(а).
-
По формуле (8) вычислить среднеарифметическое значение .
-
По формуле (9) рассчитать среднеквадратичное отклонение наблюдений Н.
-
Построить функцию распределения Гаусса . Для этого отклонениям от среднего задать значения: , , , . Следует учесть, что при и соответствует высоте экспериментальной кривой. В этом случае функция распределения приводится к виду: .
-
Сравнить построенную функцию распределения с экспериментальной.
-
Сделать вывод о проделанной работе.
Таблица измерений
|
Интервалы |
||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Левая граница |
|
|
|
|
|
|
|
Правая граница |
|
|
|
|
|
|
|
Значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
|
|
|
|
|
|
|
Рi |
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы
-
Какие величины называются случайными?.
-
Что называют вероятностью случайной величины? Поясните практический смысл вероятности.
-
Дайте определение плотности вероятности, функции распределения.
-
Какие предположения лежат в основе распределения Гаусса?
-
Поясните смысл функции распределения и параметра . Как от этого параметра зависит форма кривой Гаусса?
-
Что называют доверительной вероятностью и доверительным интервалом?
-
Поясните смысл параметра . Как этот параметр связан с ?