matem_342-2008
.pdfl = lim |
un1 |
= |
lim |
|
(n 1)2 |
(3n)! |
= |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
un |
|
|
|
n (3n 3)!n2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
(n 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
= 0 < 1. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n n2 (3n 3)(3n 2)(3n 1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
По признаку Даламбера данный ряд сходится. |
|||||||||||||||||||||
Пример 2. |
Исследовать сходимость числового ряда |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n(ln n)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
Введем функцию |
|
f (x) = |
1 |
, удовлетво- |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x ln 2 x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряющую условиям |
|
f (n) |
1 |
|
и |
|
|
|
исследуем сходи- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ln |
2 n |
|
|
|
|
|
|
мость, используя интегральный признак. Для этого вычислим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
= |
|
lim |
|
|
dx |
|
= lim |
|
|
d (ln x) |
= |
|||||||||
|
x(ln x)2 |
|
x(ln x)2 |
|
(ln x)2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
b |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
- |
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
b |
|
|
ln x |
|
2 |
|
|
b |
ln 2 |
|
ln b |
|
ln 2 |
|
|
Несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд
Пример 3. Найти интервал сходимости степенного ряда
|
1 |
|
|
|
x n . |
||
|
|||
3n n2 |
|||
n 1 |
|
|
21
Решение. Составим ряд из модулей членов данного ряда
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
un1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
и вычислим |
|
l = |
|
lim |
= |
|||||||||||||||||||||||
|
3n n2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
un |
|||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
n1 |
n |
2 |
|
n |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n1(n 1)2 |
|
xn |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
По признаку Даламбера |
|
ряд |
|
|
сходится при l < 1, от- |
||||||||||||||||||||||||
сюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
< 1 или |x| < 3. |
Следовательно, ряд абсолютно сходится |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
при x (-3,3). Исследуем сходимость ряда |
в граничных точ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ках. При x =3 |
и x = -3 из данного ряда получаем соответствен- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
( 1)n |
|
||||||||
но числовые ряды |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
. |
Из интегрального |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n2 |
|
|
n2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
признака сходимости следует, что эти ряды сходятся абсолютно, поэтому интервалом сходимости данного ряда является промежуток [-3,3].
Пример 4. Определить пределы интегрирования интегра-
ла f x, y dxdy , если область интегрирования S |
(рис. 1) |
|
S |
|
|
ограничена гиперболой y2 x2 |
1 и двумя прямыми |
x 2 и |
x 2 (имеется в виду область, содержащая начало координат).
Решение. Область интегрирования ABCD (рис. 1) ограничена прямыми x 2 и x 2 и двумя ветвями параболы:
y 1 x2 и y 1 x2 .
22
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f x, y dxdy dx |
|
|
|
|
f x, y dy |
|
|
|
||||||||||||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 5. Вычислить двойной интеграл I ex y dxdy , |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
где D – прямоугольник: 0 x 1;0 y 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
ex dx ex 2 ex 1 |
|||||
I |
|
dx |
|
ex y dy |
|
ex y |
dx |
|
|
ex 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
e1 2 e1 e2 e0 e3 e2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Пример 6. Вычислить двойной интеграл: |
I |
xy2 dxdy, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
где D – треугольник y 0, x 2; y 2x
23
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
I xdx xy2 dy xdx y2 dy |
|||||||||||||||||||||||
у=х/2 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
dx x |
|
|
|
dx |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
0 |
|
3 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
24 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
у=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
х |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||
|
|
x4dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Рис. 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
24 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
24 5 |
|
0 |
|
15 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 7. Поменять порядок интегрирования: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
I f (x, y)dxdy , |
где D: x=1, x=2, y=x; y=2x. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=у/2 |
|||||||||
|
у=2х |
|
|
||||||||||||||||
|
у=2х |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у=х |
||||||||
|
|
|
|
|
|
у=х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
0 |
1 |
2 |
х |
0 |
1 |
2 |
х |
|
|||||||
|
|
|
|
Рис. 3. |
|
|
|
24
2 |
2 x |
|
|
|
I dx |
f (x, y)dy |
|
|
|
1 |
x |
D1 |
D2 |
|
2 |
y |
4 2 |
|
|
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
1 1 2 y
2
Пример 8. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
|
1 |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|||
I dx |
|
|
|
|
f x, y dy |
|
|
|
|
||
|
0 |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|||
Решение. Зная пределы интегрирования, найдем границы |
|||||||||||
|
интегрирования D: x 0 , |
x 1, |
|
|
|
||||||
области |
y 2 x , |
||||||||||
y 2 |
|
|
|||||||||
x и построим их (рис. 4). Область D располагается в |
полосе 0 x 1 и ограничена сверху и снизу соответствующими ветвями параболы y2 4x
y
4
|
|
у 2 х |
|
2 |
B |
|
|
|
D |
x |
|
0 |
1 |
||
|
-2 A
у 2х
Рис. 4
Найдем новые пределы внешнего (по у) и внутреннего (по х) интегрирования. Так как область D проецируется на ось Оу в отрезок АВ, то пределами внешнего интегрирования являются ординаты точек А и В, т. е.
25
y 2 и y 2 соответственно. Левой границей области
является кривая x |
y 2 |
(уравнение параболы y2 4x |
|
||
4 |
|
разрешено относительно х), а правой – прямая
ким образом, двойной интеграл I с измененным порядком интегрирования запишется в виде
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
I dy f x, y dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Пример 9. Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I dx x y dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
I x y dy dx |
|
xdy ydy dx x |
dy |
ydy |
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
x2 |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
xy |
|
|
|
|
dx |
x x |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
dx |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
3 |
|
|
x3 |
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2dx xdx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
2 3 2 |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
2 2 2 2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 , |
y 0 , |
z 0 , |
x y z 1 с помощью тройного инте- |
|
|
|
грала.
Решение. Данное тело изображено на рис. 5. На рис. 6 изображена проекция этого тела на плоскость Оху.
26
z |
у |
1
x+y+z=1 |
|
1 |
x+y=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
1 |
y |
0 |
1 |
х |
|
|
1 |
|
x |
|
Рис. 5 |
Рис. 6 |
V= dxdydz , где (V) – область, ограниченная поверхностя-
V
ми x 0 , y 0 , z 0 (координатные плоскости), x y z 1
(плоскость, отсекающая на координатных осях отрезки, равные 1), т. е. область (V) есть пирамида. Из чертежа видно, что по любой из переменных можно с одинаковым успехом брать постоянные пределы, и они равны 0 и 1. Возьмем, например, постоянные пределы по х ( 0 õ 1). Проекцией пирамиды на плоскость Оху является треугольник, ограниченный прямыми x 0 , y 0 и x y 1 (рис. 6). Отсюда определяем пределы интегрирования по у ( 0 ó 1 õ ). Для переменой z нижним пределом будет, очевидно, z 0 (плоскость Оху), а верхним – значение z, полученное из уравнения плоскости
x y z 1, т. е. z 1 x y .
Определив пределы интегрирования по каждой переменной, можем представить данный тройной интеграл через повторный и вычислить объем тела:
27
|
|
1 |
|
1 x |
|
|
|
1 y x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 x |
|
1 y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
V dx |
|
dy |
|
|
dz dx z |
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
dx |
|
1 y x dy y |
|
|
|
xy |
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
1 x |
|
1 x |
|
|
|
x 1 x dx 1 x |
|
|
x |
|
|
x x2 dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dx xdx |
|
x2dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
êóá. åä |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
6 |
|
2 |
|
2 |
6 |
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример 11. В первой урне 2 белых и 3 черных шара, во |
второй - 7 белых и 1 черный. Из первой урны в первую переложили 2 шара, затем наудачу извлекли шар из второй урны. Найти вероятность того, что выбранный из второй урны шар - белый.
Решение. Если событие А может произойти только совместно с одним из событий Н1 , Н2 , ..., Н k , образующих пол-
ную группу несовместных событий (гипотез), то вероятность Р(А)появления события определяется по формуле полной веро-
k |
|
ятности: Р (А) = Р(H i ) |
Р(А/H i ), где Р(H i ) - вероят- |
i 1 |
|
ность гипотезы H i , Р(А/H i ) |
- условная вероятность события |
А при этой гипотезе. |
|
Вероятность извлечения белого шара из второй урны после добавления двух шаров из первой урны зависит от состава шаров (по цвету) в этой урне. При этом возможны следующие гипотезы:
Н1 - из первой урны во вторую переложены два белых
шара,
28
Н2- из первой урны во вторую переложен один белый и один черный шар,
Н3 - из первой урны во вторую переложены два черных
шара.
Найдем вероятности этих гипотез . Вероятность каждой гипотезы связана с вероятностью извлечения соответствующих шаров из первой урны. Тогда получим
|
|
|
|
C2 |
|
|
1 2! 3! |
|
|
|
|
|
|
|||||
Р (Н1 ) |
= |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= 0,1, |
|||||||
|
C 2 |
5! |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
C1C1 |
|
|
|
|
2! 3! 2! 3! |
|
||||||||||
Р (Н2) = |
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0,6, |
||||
|
C 2 |
|
1! 1! 1! |
2! 5! |
||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
3! 2! 3! |
|
|
|
|
|
||||
Р (Н3) |
= |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0,3. |
|||||
|
|
C 2 |
|
|
2! 1! 5! |
|
|
|||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть А - событие, состоящее в извлечении белого шара из второй урны, если предварительно имела место одна из гипотез Нi. Условные вероятности события А будут :
Р(А/H1) = 9/10, Р(A/Н2) = 8/10, Р(A/Н3) = 7/10.
По формуле полной вероятности найдем вероятность извлечения белого шара из второй урны
Р(А) = Р(H1) Р(А/H1) + Р(H2) Р(А/H2) + Р(H3) Р(А/H3) =
= 0,1 0,9 + 0,6 0,8 + 0,3 0,7 = 0,78.
Пример 12. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5, для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность, что выстрелы произведены первым стрелком.
Решение. Если вероятности гипотез до опыта были Р (Н1), Р (Н2) , ..., Р(Н n ), а в результате опыта появилось со-
29
бытие А , то условная вероятность Р(Н k /A) с учетом появления события А вычисляется по формуле Бейеса:
Р(Н k /A) = |
P(Hk )P( A / Hk ) |
n |
|
|
P(Hi )P( A / Hi ) |
|
i1 |
Возможны три гипотезы: H1 - на линию огня вызван первый стрелок; H2 - на линию огня вызван второй стрелок; H3 - на линию огня вызван третий стрелок. Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то вероятности этих
гипотез до опыта Р(H1) = Р(H2) = Р(H3) = 1/3.
В результате опыта наблюдалось событие А - после произведенных двух выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события
Р(А/H1) = 0,7 0,7 = 0,49; Р(А/H2) = 0,5 0,5 = 0,25; Р(А/H3) = 0,2 0,2 = 0,04.
По формуле Бейеса для частного случая, когда вероятности гипотезы опыта равны между собой, находим вероятность гипотезы Н1 после опыта:
Р(H1/A) = |
|
0,49 |
|
|
0,49 |
= 0,628 |
|
0,25 |
0,04 |
0,78 |
|||
0,49 |
|
|
Пример 13. Вероятность попадания в цель у стрелка р = 0,8. Производится три выстрела. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий в цель. Найти математическое ожидание М [X] и дисперсию D [X].
Решение. Случайная величина Х может принимать значения : 0, 1, 2, 3. Вероятность того, что попаданий не будет
р (х=0) найдем по формуле Бернулли |
P |
n |
(k) = |
Ck pk q n k |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
здесь p = 0,8, q = 1- p= 0,2, n = 3, k = 0. |
|
|
|
|
|||||
p (x=0) = |
C0 0,80 (1 0,8)3 |
= |
3! |
|
0,800, 23 |
= 0,008. |
|
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
3!0! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30