- •Теоретическая часть
- •1. Производная и дифференциал
- •2. Уравнения касательной и нормали
- •3. Правила дифференцирования
- •4. Производные основных элементарных функций
- •5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •6. Исследование функции на монотонность и экстремум
- •7. Исследование функции на выпуклость и перегиб
- •Варианты заданий
7. Исследование функции на выпуклость и перегиб
Пусть функция f(x) дифференцируема на <a;b>. Тогда существует касательная к графику функции f(x) в любой точке М(x;f(x)), x<a;b>, причем эти касательные не параллельны оси Оу.
Определение 1. Функция f(x) называется выпуклой вверх (вниз) на <a;b>, если график функции в пределах <a;b> лежит не выше (не ниже) любой из своих касательных.
Теорема 1 (достаточное условие выпуклости). Пусть функция f(x) дважды дифференцируема на <a;b>. Тогда если f (x)0 (f (x)0) на (a;b), то функция выпукла вниз (вверх) на <a;b>.
Определение 2. Пусть f(x) определена и непрерывна в V(x0). Точка x0 называется точкой перегиба функции f(x), если при переходе через эту точку меняется направление выпуклости функции f(x).
Теорема 2 (необходимое условие перегиба). Если в точке перегиба x0 функции f(x) вторая производная существует и непрерывна, то она в этой точке равна нулю.
Теорема 3 (достаточное условие перегиба). Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в , гдеx0 – точка возможного перегиба. Если
1) f (x) меняет знак при переходе через x0, то x0 - точка перегиба функции f(x);
2) f (x) не меняет знака при переходе через x0, то x0 не является точкой перегиба функции f(x).
Варианты заданий
Задание №1.
Пользуясь определением, найти производную функции:
1. 4.7.10.
2. 5.8.11.
3. 6.9.12.
Задание №2.
Найти дифференциалы функций:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
Задание №3.
Найти производную второго порядка функции:
1. 3.5.7.
2. 4.6.8..
Задание №4.
Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0:
1. ,x0=-1 4. ,x0=2 7. ,x0=1
2. x0=-1 5. ,x0=3 8. ,x0=5
3. x0=4 6. ,x0=0 9. ,x0=-2
Задание №5.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
1. , [0;4]
2. , [-2;1]
3. , [-2;2]
4. ,
5. ,
6. [2;4]
7. , [-1;7]
8. , [-1;2]
9. , [-1;6]
10. , [-4;-1]
11. , [2;4]
12. , [1;9]
13. , [-4;2]
14. , [0;4]
Задание №6.
Исследовать функцию на монотонность и выпуклость, найти экстремумы и точки перегиба:
1. 6.11.
2. 7.12.
3. 8.13.
4. 9. 14.
5. 10.
Образцы выполнения заданий
Задание №1
Пример 1.
Пользуясь определением, найти производную .
Решение.
Придадим значению аргумента х приращение х0. Функция y=f(x) получит при этом приращение у=f(x+x)-f(x):
.
Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:
.
Найдем предел этого отношения при х0:
.
Следовательно, по определению производной .
Пример 2.
Пользуясь определением, найти производную .
Решение.
Придадим значению аргумента х приращение х0. Найдем соответствующее приращение функции: .
Тогда . Вычислим предел этого отношения прих0:
.
Следовательно, .
Пример 3.
Пользуясь определением, найти производную .
Решение.
Придадим значению аргумента х приращение х0. Найдем приращение функции:
.
Используя формулу , получим
.
Тогда
.
И, следовательно,
.
Итак,..
Задание №2
Пример 1.
Найти дифференциал функции .
Решение.
Перепишем функцию в виде . Воспользуемся правилом дифференцирования произведения: (uv)=uv+uv.
.
Тогда .
Пример 2.
Найти дифференциал функции , |x|<1.
Решение.
Данная функция является сложной: y=arcsint, где . Применим правило дифференцирования сложной функции:.
.
Тогда .
Пример 3.
Найти дифференциал функции .
Решение.
Данная функция является показательно-степенной. Запишем ее в виде . По правилу дифференцирования сложной функции, гдеt=tgx ln(sinx). Тогда
.
Значит, .
Задание №3
Пример.
Найти производную второго порядка функции .
Решение.
Применяя правила дифференцирования, получим
.
Для нахождения второй производной надо продифференцировать первую производную:
.
Задание №4
Пример.
Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссойx0=1.
Решение.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0 имеет вид
.
Вычислим значение функции в данной точке: .
Найдем производную функции и ее значение в данной точке:
, .
Подставим найденные значения в уравнение касательной:
, - уравнение касательной.
Уравнение нормали к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0 имеет вид
.
Подставим найденные значения в это уравнение:
, - уравнение нормали.
Задание №5
Пример.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [2;5].
Решение.
1) Найдем критические точки функции.
,
f (x)=0 .
На отрезке [2;5] знаменатель не обращается в нуль. Следовательно, дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю:
(x-1)3-8=0 (x-1)3=8 x-1=2 x=3.
Значит, х=3 – критическая точка функции. Она принадлежит данному отрезку.
Найдем значение функции в критической точке: .
2) Найдем значения функции на концах отрезка:
, .
3) Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее:
, .
Задание №6
Пример 1.
Исследовать функцию на монотонность и выпуклость, найти экстремумы и точки перегиба.
Решение.
Найдем область определения функции.
D(f)=, т. к. данная функция – многочлен.
Исследуем функцию на монотонность, найдем точки экстремума.
Найдем вначале критические точки функции.
.
D(f )=, т. к. производная тоже является многочленом.
f (x)=0 x=1 или х=2 или х=3. Следовательно, x=1, х=2, х=3 – критические точки функции.
Нанесем критические точки функции на числовую прямую и определим знакипроизводной в каждом из получившихся промежутков.
На промежутках
(-;1], [2;3] функция убывает, на промежутках [1;2], [3;+) функция возрастает.
Точки х=1 и х=3 – точки минимума функции, min f(x)=f(1)=f(3)=0.
Точка х=2 – точка максимума функции, max f(x)=f(2)=1.
Исследуем функцию на выпуклость, найдем точки перегиба.
f (x)=4((x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2))=4(x2-5x+6+x2-4x+3+x2-3x+2)=4(3x2-12x+11).
f (x)=0 3x2-12x+11=0 .
Нанесем точки х1 и х2 на числовую прямую и определим знаки второй производной в каждом из получившихся промежутков.
На промежутках ифункция выпукла вниз, на промежуткефункция выпукла вверх. Точки и являются точками перегиба.
Пример 2.
Исследовать функцию на монотонность и выпуклость, найти экстремумы и точки перегиба.
Решение.
Найдем область определения функции.
D(f): D(f)=(0;1)(1;+).
2) Исследуем функцию на монотонность, найдем точки экстремума.
, D(f )=(0;1)(1;+).
f (x)=0 lnx=1 x=e. Следовательно, x=e – критическая точка функции.
Нанесем область определения функции и критическую точку на числовую прямую. Определим знаки производной на каждом из получившихся промежутков.
На промежутках (0;1), (1;e) функция убывает, на промежутке (e, +) функция возрастает. Точка x=e – точка максимума, maxf(x)=f(e)=e.
3) Исследуем функцию на выпуклость, найдем точки перегиба.
.
D(f )=(0;1)(1;+) f (x)=0 lnx=2 x=e2.
Точкаx=e2 - точка возможного перегиба. Определим знаки второй производной в промежутках (0;1), (1;e2), (e2;+).
На промежутках (0;1), (e2;+) функция выпукла вверх, на промежутке (1;e2) функция выпукла вниз. Точка x=e2 - точка перегиба.
Пример 3. Провести полное исследование функции и построить ее график.
1) .
2) Функция не является ни четной, ни нечетной, не является периодической.
3) Функция непрерывна на области определения, т.к. является элементарной, х=-3 – точка разрыва. Исследуем характер разрыва:
, .
Следовательно, х=-3 – точка разрыва второго рода, прямая х=-3 – вертикальная асимптота графика функции.
4) Исследуем поведение функции при х+ и при х-:
, .
Следовательно, прямая у=0 – горизонтальная асимптота графика функции при х-. Других наклонных асимптот при х- нет.
5) Выясним, есть ли наклонные асимптоты при х+:
.
Следовательно, при х+ наклонных асимптот нет.
6) Исследуем функцию на монотонность и экстремум.
,
х=-2 – точка минимума, у(-2)=е – минимум.
7) Исследуем функцию на направление выпуклости и перегиб.
=
.
на D(f), y не существует в точке х=-3.
Точек перегиба нет.
8) Найдем точки пересечения графика с осями координат и промежутки знакопостоянства.
Ось Ох график не пересекает.
Ось Оу: х=0, .
y>0 при x(-3;+), y<0 при x(-;-3).
.