Интегральное исчисление

и существует конечный или бесконечный предел

lim f (x) k.

x (x)

Тогда а) если интеграл

(x)dx

a

сходится и 0 k , то сходится и интеграл

f (x)dx;

a

б) если интеграл

(x)dx

a

расходится и 0 k , то интеграл

f (x)dx

a

тоже расходится.

В частности, если k = 1, то есть функции f(x) и (х) эквивалентны при x , то интегралы

сходятся и расходятся одновременно.

При применении признака сравнения удобно сравнивать подынтегральную функцию с функцией

x1 , 0,

для которой сходимость или расходимость соответствующего несобственного интеграла легко установить непосредственно. Пусть 1, тогда

Следовательно,

91

2 > 1, и данный интеграл сходится.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов 1-го рода

Несобственный интеграл

f (x)dx

a

называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл

| f (x)|dx.

a

Функция f(x) называется при этом абсолютно интегрируемой на [a, ).

Признак абсолютной сходимости несобственного интеграла (критерий Коши) – без доказательства.

Для того чтобы

f (x)dx

a

абсолютно сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 существовало такое , что при ’ > , ’’ >

| f (x)|dx .

Теорема 2. Если интеграл

f (x)dx

a

абсолютно сходится, то он сходится и в обычном смысле. Доказательство.

Согласно критерию Коши

92

Следовательно, существует конечный предел

то есть рассматриваемый интеграл сходится.

Несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами (несобственные интегралы 2-го рода)

Пусть функция f(x) определена и непрерывна при a < x < b и имеет разрыв

b

при x = b. Тогда f (x)dx определяется следующим образом:

a

b b

и называется несобственным интегралом 2-го рода. Если предел, стоящий справа, существует и конечен, интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы от функции, имеющей разрыв при х = а:

Рис. 2

и от функции, разрывной в точке с (a<c< b):

93

f (x)dx f (x)dx f (x)dx,

если существуют оба интеграла, стоящие в правой части равенства.

Для несобственных интегралов 2-го рода справедливы те же утверждения, что и для несобственных интегралов 1-го рода:

Теорема 3(признак сравнения). Пусть функции f(x) и (х) непрерывны при a x b и имеют разрыв при x = b. Пусть, кроме того,

Тогда:

1)если интеграл

b

f (x)dx

a

сходится, то сходится и интеграл

b

(x)dx;

a

2) если интеграл

b

(x)dx

a

расходится, то расходится и интеграл

b

f (x)dx.

a

Теорема 4. Если f(x) – знакопеременная функция, непрерывная на [a,b) и имеющая разрыв при x =b, и если

b

| f (x)|dx

a

сходится, то сходится и интеграл

b

f (x)dx.

a

Замечание 1. Эти теоремы доказываются так же, как теоремы 1 и 2. Замечание 2. При выполнении условий теоремы 4 несобственный интеграл

b

f (x)dx

a

называется абсолютно сходящимся, а функция f(x) – абсолютно интегрируемой.

Следствие из теоремы 3. Если

94

сходится при < 1 и расходится при > 1.

Примеры решения задач

Задача 1.

Вычислить несобственный интеграл

или установить его расходимость.

Указание

Вычислите определенный интеграл

и найдите его предел при B .

Решение

95

Задача 2.

Вычислить несобственный интеграл

или установить его расходимость.

Указание

Представьте данный интеграл в виде суммы двух несобственных интегралов:

и вычислите каждый из них по отдельности.

Решение

96

Ответ: 3 .

Задача 3.

Указать, при каких значениях k сходится интеграл

Указание

Сделайте замену t = ln x и определите порядок малости подынтегральной функции относительно функции t1a , несобственный интеграл 1-го рода от которой сходится при a > 1 и расходится при a < 1.

Решение

сходится при k > 1.

Ответ: k > 1.

Задача 4.

Вычислить несобственный интеграл

или установить его расходимость.

Указание

Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв при х = 1. Рассмотрите определенный интеграл

и перейдите к пределу при 0.

Решение

97

интеграл расходится. Ответ: интеграл расходится.

Задача 5.

Вычислить несобственный интеграл

или установить его расходимость.

Указание

Представьте данный интеграл в виде суммы двух интегралов:

первый из которых является несобственным интегралом 2-го рода от функции с бесконечным разрывом при х = 0, а второй – несобственным интегралом 1-го рода.

Решение