Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2016

Размер:

2.76 Mб

Скачать

☆

1 / 321 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		7
Глава	I. Дифференциальные уравнения первого порядка . . . . . .	11
§ 1.	Основные понятия. Теорема существования и единственности ре-
	шения задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	11
§ 2.	Продолжение pешений. Непродолжимые pешения, явления взры-
	ва и прекращения pешения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
§ 3.	Линейное однородное дифференциальное уравнение, его фунда-
	ментальное pешение и общее pешение . . . . . . . . . . . . . . . . . .	16
§ 4.	Линейное неоднородное дифференциальное уравнение и нахож-
	дение его общего pешения методом Лагранжа . . . . . . . . . . . . .	19
§ 5.	Линейное ДУ с постоянным коэффициентом и со специальной
	правой частью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	23
§ 6.	Дифференциальные уравнения, линейные относительно незави-
	симой переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	25
§ 7.	Уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	29

§8. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными . 33

§9. Примеры нарушения единственности решения задачи Коши. Осо-

	бые решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	35
§ 10.	Дифференциальные уравнения и неявные функции . . . . . . . . .	37
§ 11.	Уравнения в дифференциалах и функции, заданные парамет-
	рически . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	40
Глава	II. Дифференциальные уравнения высших порядков . . . . .	43
§ 1.	Задача Коши для дифференциальных уравнений высших
	порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	43
§ 2.	Линейная независимость pешений и определитель Вронского . .	45
§ 3.	Общее pешение линейного однородного дифференциального
	уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	47
§ 4.	Линейное однородное дифференциальное уравнение второго по-
	рядка c постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . .	49
§ 5.	Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка
	с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	51
§ 6.	Основные свойства решений линейных неоднородных дифферен-
	циальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	55
§ 7.	Линейное ДУ с постоянными коэффициентами и со специальной
	правой частью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	60
§ 8.	Понятие о краевых (граничных) задачах . . . . . . . . . . . . . . . .	62
§ 9.	Общая краевая задача для линейного ДУ и ее функция Грина .	65
§ 10.	Периодические решения неоднородного ДУ второго порядка с
	постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	68
§ 11.	Методы понижения порядка дифференциального уравнения . . .	69

4	Оглавление
Глава III. Системы дифференциальных уравнений первого по-		74
рядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		74
§ 1.	Задача Коши для системы дифференциальных уравнений . . . . .	74
§ 2.	Системы однородных линейных дифференциальных уравнений .	77
§ 3.	Системы дифференциальных уравнений с постоянной диагонали-
	зуемой матрицей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	78
§ 4.	Системы дифференциальных уравнений с постоянной комплексно
	диагонализуемой матрицей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	81
§ 5.	Построение базиса из собственных и присоединенных векторов
	матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	84
§ 6.	Построение фундаментальной системы решений для системы ДУ
	с постоянной матрицей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	88
§ 7.	Фундаментальная матрица и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . .	91
§ 8.	Системы неоднородных линейных ДУ. Метод Лагранжа вариации
	произвольных постоянных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	94
§ 9.	Примеp задачи о периодических решениях системы дифференци-
	альных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	96
Глава IV. Динамические системы и элементы теории устойчи-		99
вости по Ляпунову . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		99
§ 1.	Динамическая система ДУ, фазовое пространство, траектории .	99
§ 2.	Первый интеграл динамической системы . . . . . . . . . . . . . . . .	102
§ 3.	Устойчивость положений равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	106
§ 4.	Теорема об устойчивости по линейному приближению . . . . . . .	109
§ 5.	Положения равновесия двумерной линейной системы. Основные
	положения равновесия и их фазовые портреты . . . . . . . . . . . . .	112
§ 6.	Движение материальной точки на прямой. Консервативные и дис-
	сипативные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	118
§ 7.	Метод функций Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	121
§ 8.	Положения равновесия консервативных динамических систем . .	124
§ 9.	Доказательства теорем Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	127
§ 10.	Теорема Четаева о неустойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	128
§ 11.	Исследование устойчивости колебаний нелинейного математиче-
	ского маятника при наличии трения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	129
§ 12.	Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений . .	131
Глава V. Приближенные методы решения дифференциальных		135
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		135
§ 1.	Качественное исследование решений дифференциальных уравне-
	ний и метод изоклин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	136
§ 2.	Метод последовательных приближений . . . . . . . . . . . . . . . . .	138
§ 3.	Отыскание решений дифференциальных уравнений в виде сте-
	пенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	140
§ 4.	Метод малого параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	143
§ 5.	Метод малого параметра в задаче с сингулярным возмущением .	144
§ 6.	Разностные схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	147
§ 7.	Метод пристрелки для pешения краевых задач . . . . . . . . . . . .	152
§ 8.	Метод прогонки и pазностный метод в pешении краевых задач .	154

	Оглавление	5
Глава	VI. Основы теории обыкновенных дифференциальных	158
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		158
§ 1.	Банаховы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	158
§ 2.	Принцип сжимающих отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	162
§ 3.	Некоторые свойства отображений конечномерных пространств .	163
§ 4.	Доказательство теоремы Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	165
§ 5.	Продолжение локального решения задачи Коши до ее глобально-
	го решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	167
§ 6.	Существование и единственность решения задачи Коши в линей-
	ном случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	168
§ 7.	Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных
	значений и от параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	169
§ 8.	Степенные pяды в банаховых пространствах и теорема о неявном
	операторе в аналитическом случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	171
§ 9.	Теорема Ляпунова об устойчивости положения равновесия по
	линейному приближению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	175
Глава	VII. Дифференциальные уравнения с частными производ-	178
ными первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		178
§ 1.	Линейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми
	переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	178
§ 2.	Общее pешение линейного дифференциального уравнения . . . .	181
§ 3.	Квазилинейные дифференциальные уравнения и их характе-
	ристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	184
§ 4.	Задача Коши для дифференциального уравнения с частными
	производными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	186
§ 5.	Дифференциальные уравнения с несколькими независимыми
	переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	189
Дополнение I. Некоторые приложения обыкновенных диффе-		191
ренциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		191
§ 1.	Закон всемирного тяготения, первый закон Кеплера и вторая
	космическая скорость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	194
§ 2.	Pезонанс, pезонирующая частота в pадиотехнике, биения и почти
	периодические pешения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	198
§ 3.	Периодические решения в экологии и в химической кинетике . .	203
§ 4.	Примеры бифуркационных явлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	206
§ 5.	Метод фазовой плоскости в исследовании периодических и соли-
	тонных решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	215
§ 6.	Метод малого параметра Линштедта–Пуанкаре для консерватив-
	ных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	222
§ 7.	Свободные колебания нелинейного математического маятника в
	отсутствие трения и при наличии трения . . . . . . . . . . . . . . . .	226
§ 8.	Эллиптические функции Якоби и дифференциальные уравнения	231
§ 9.	Метод Линштедта–Пуанкаре отыскания предельных циклов. Ор-
	битальная устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	235
§ 10.	Релаксационные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	240
§ 11.	Теоремы Пуанкаре–Андронова и Пуанкаре–Бендиксона . . . . . .	242

6				Оглавление
§ 12.	Устойчивые предельные циклы в химической кинетике и в
	биологии . .		. . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	245
§ 13.	Элементарная модель теплового взрыва . . . . . . . . . . . . . . . . .				247
§ 14.	Операторы сдвига по траекториям ДС. Аттракторы, абстрактные
	ДС . . . . . .		. . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	251
§ 15.	Корректные и некоppектные математические модели и задачи.
	Структурная устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .				254
Д о п о л н е н и е II.			Приложения MATHCAD к задачам для обыкно-
венных ДУ (		В. И. Ракитин		. . . . . . . . . . . . . . ., В. А. Треногин)	260
§ 1.	Окно и инструменты MATHCAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .				260
§ 2.	Простейшие вычисления. Операторы присваивания . . . . . . . . .				262
§ 3.	Построение графиков функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .				263
§ 4.	Использование блока решений обыкновенных ДУ и систем ДУ .				265
§ 5.	Примеры решения задач Коши для нелинейных ДУ . . . . . . . . .				266
§ 6.	Решение нелинейной задачи Коши с малым параметром при
	производной		. . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	268
§ 7.	Пример решения краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .				269
§ 8.	Пример задачи с периодическим биением . . . . . . . . . . . . . . . .				270
§ 9.	Одно из периодических решений задачи «хищник–жертва» . . . .				271
§ 10.	Пример задачи с релаксационным колебанием . . . . . . . . . . . .				272
§ 11.	Численное моделирование задачи о тепловом взрыве . . . . . . . .				274
Дополнение III. Решение задач для обыкновенных ДУ с ис-
пользованием			системы компьютерной алгебры Mathematica
(Н. И. Земцова, В. А. Треногин) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .					277
§ 1.	Структура системы Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .				277
§ 2.	Простейшие численные и символьные вычисления в системе
	Mathematica		. . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	279

2.1.Численные расчеты (279). 2.2. Символьные вычисления (280).

§3. Запись дифференциальных уравнений в системе Mathematica и

	их решение на примере простейших задач . . . . . . . . . . . . . . . .	280
	3.1. Решение дифференциальных уравнений в символьном ви-
	де (280). 3.2. Решение дифференциальных уравнений в числен-
	ном виде (281).
§ 4.	Метод изоклин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	289
§ 5.	Нахождение решения в виде степенного ряда . . . . . . . . . . . . .	290
§ 6.	Метод малого параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	291
§ 7.	Уравнение Эйри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	292
§ 8.	Задача о релаксационных колебаниях . . . . . . . . . . . . . . . . . .	293
§ 9.	Устойчивый и неустойчивый предельные циклы . . . . . . . . . . .	295
§ 10.	Нахождение положений равновесия ДС . . . . . . . . . . . . . . . . .	296
§ 11.	Система Лотки–Вольтерры с насыщением . . . . . . . . . . . . . . .	297
§ 12.	Брюсселятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	300
§ 13.	Странный аттрактор Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	303
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		306
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		308

ПРЕДИСЛОВИЕ

Обыкновенные дифференциальные уравнения (далее кратко ДУ) являются одним из традиционных и ведущих разделов высшей математики. Они находят важнейшие применения в самых разнообразных областях современной науки и техники. Кроме приложений в механике, физике, технике и астрономии, все большее место ДУ занимают в химии, биологии, экологии, метеорологии, медицине, экономике и социологии. В прекрасном обзоре [10] читатель найдет много полезной информации о современном состоянии теории ДУ и ее приложений. Имеется огромное количество научных публикаций, монографий, учебников и учебных пособий по ДУ.

Данная книга направлена на чисто учебные цели, в основном — на обучение студентов высших учебных заведений. В ней нашли отражение многолетний опыт автора по преподаванию математики в Московском физико-техническом институте и в Московском институте стали

исплавов, а также его участие во множестве российских и международных научных и методических конференций.

Нашей целью является обновление традиционного и основательно устаревшего курса ДУ. Выскажем сначала ряд критических замечаний (см. [15]). Самым пагубным образом на качество преподавания математики в вузах влияют снижение из года в год уровня школьной математической подготовки, волюнтаристское сокращение учебных часов на преподавание математики, засорение преподавательского состава лицами, не имеющими математического образования.

Вотличие от вузовского курса математического анализа, получившего в последние десятилетия достаточно аккуратное и строгое описание в учебниках Л. Д. Кудрявцева, С. М. Никольского, В. А. Ильина

инекоторых других авторов, ДУ довольно часто излагаются в учебных пособиях и преподаются в технических вузах достаточно небрежно. Распространилась тенденция учить рецептам, а не исследованию, учить действовать по шаблону, а не изучать основные понятия, факты и методы теории ДУ, на которых основаны последующие использования ДУ в преподавании математизированных дисциплин и, что особенно важно, — приложения ДУ. Наша критика относится, главным образом, к базовым начальным разделам курса ДУ, когда неаккуратно вводятся основные понятия, а так называемые простейшие методы отыскания решений ДУ обильно насыщены математическими небрежностями. Прекрасная книга выдающегося советского математика академика Л. С. Понтрягина написана на очень высоком научном уровне и, возможно, поэтому практически не оказала заметного влияния на преподавание ДУ в вузах, причем не только технических.

8	Предисловие

Под маской обучения методам решения задач изучение ДУ часто подменяется еще одной (излишней!) возможностью попрактиковаться в вычислении неопределенных интегралов. В качестве результата решения ДУ обычно предлагается неявное громоздкое выражение с якобы произвольными постоянными, хотя получить из такого решения полезную информацию обычно бывает очень и очень непросто, а то и невозможно. Полностью запутывается вопрос о том, что же такое pешение ДУ: однозначная это функция или многозначная, явная, неявная или заданная параметрически? Не уделяется внимание тому, где конкретное pешение определено, локальноe оно или глобальноe, единственно ли это pешение (локально и глобально). Методическим недостатком является злоупотребление словами «общее pешение», «общий интеграл», «произвольная постоянная». Приводимое обычно понятие общего решения ДУ, использующее «произвольные постоянные», эффективно для линейных ДУ. Но оно не конструктивно в нелинейных случаях, некорректно с точки зрения и русского языка и элементарной логики. Заметим, в этой связи, что для нелинейного ДУ его общее pешение аккуратно (но не конструктивно) можно определить разве лишь как совокупность всех его решений. Заметим также, что в наиболее методически продуманных учебниках (см. [12, 17]) понятие общего решения вводится только для линейных ДУ.

Какой же выход из создавшегося положения мы видим? Мы рекомендуем опираться с самого начала изучения ДУ на теорему Коши о локальном существовании единственного решения ДУ с заданными начальными значениями. Если начальные значения менять, то возникает локальное или даже глобальное семейство решений ДУ, зависящее от параметров, которыми и являются начальные значения решения

иего производных. На первых порах лучше ограничиться, в основном, задачами с конкретными начальными или граничными условиями. Можно также проследить общий ход интегральных кривых, если задать начальные условия общего вида. Здесь исследование должно быть проведено достаточно аккуратно и полно. Сказанное особенно относится к построению глобальных фазовых портретов поведения траекторий динамической (автономной) системы ДУ.

Неформальное изучение ДУ широко использует технику, идеи, понятия и теоремы математического анализа, аналитической геометрии

илинейной алгебры. К сожалению, в преподавательской практике этим обычно пренебрегают. Но без вдумчивого строгого исследования, без сохранения логики рассуждений нельзя серьезно освоить ДУ и, тем более, использовать их в практической деятельности. Поэтому мы уделяем и этим аспектам достаточное внимание.

Значительным недостатком преподавания ДУ в технических вузах обычно является излишнее увлечение частными типами ДУ, такими, напримеp, как нелинейное однородное ДУ и сводящиеся к нему ДУ; ДУ, не разрешенные относительно старшей производной, уравнение Клеро и др. Вследствие этого и из-за недостатка учебных часов в тех-

Предисловие

нических вузах часто так и не удается перейти к важнейшим для приложений вопросам, таким, напримеp, как краевые задачи и теория устойчивости по Ляпунову. Предлагаемая книга, как нам представляется, эти недостатки частично устраняет. Значительно меньше места отводится некоторым не имеющим важных приложений частным случаям ДУ. Вместо этого больше внимания уделено приближенным методам вычисления решений задач для ДУ, а также тем понятиям

иметодам теории ДУ, которые имеют важную прикладную направленность. В Дополнениях II и III освещены вопросы применения современных эффективных компьютерных систем для решения задач по ДУ и системам ДУ. Использование компьютерных методов в учебном процессе делает современное преподавание математических дисциплин значительно более полноценным.

Более сложные теоретические вопросы и значительная часть доказательств вынесены в отдельную главу VI. Учащийся может обращаться сюда по мере необходимости. Применяемый эдесь функционально-ана- литический аппарат ныне употребляется во всем мире. Он находится на более высоком уровне абстракции, но позволяет более ясно выделить суть дела и избавиться от мешающих пониманию технических деталей.

Вусловиях широкого использования вычислительной техники давно пора сместить акценты в преподавании ДУ. Возможность проинтегрировать некоторые ДУ в явном виде следует, в основном, рассматривать не как самоцель, а скорее как иллюстрацию к теории ДУ. В то же время линейные ДУ, их системы и некоторые важнейшие в приложениях нелинейные ситуации должны быть рассмотрены достаточно тщательно.

С помощью ДУ часто описываются математические модели различных реальных процессов. В этих случаях явные формулы для решений позволяют лучше понять суть изучаемого физического явления

иосмыслить полученные численные результаты.

Нельзя объять необъятное. Мир обыкновенных дифференциальных уравнений практически необозрим. Многие важные аспекты теории ДУ не вошли в книгу. Сюда включено довольно мало примеров стандартных приложений ДУ к задачам других наук. Такие примеры полезно подбирать для каждой конкретной учебной специальности. Все же в Дополнении I освещены некоторые актуальные приложения ДУ к физическим, физико-химическим, экологическим и техническим проблемам. Тем самым мы пытаемся несколько сократить pазрыв между учебным курсом обыкновенных ДУ и современным состоянием науки.

Отметим, что вывод ДУ, описывающего то или иное явление, не является предметом изучения математики. Задачей математики является изучение свойств математических моделей и указание возможностей их теоретической и численной реализации. Вывод таких моделей должен проводиться соответствующей кафедрой в рамках изучаемой специальности. К сожалению, решение этого вопроса традиционно упирается в математическую малограмотность преподавателей специальных ка-

10	Предисловие

федр и в их нежелание повышать свою математическую квалификацию. Симметричную критику можно высказать и в адрес преподавателей математических кафедр. Промежуточным выходом из этой ситуации является выделение математическим кафедрам дополнительных учебных часов на изучение, а иногда и разработку, совместно со специальными кафедрами, математических моделей для основных задач по специальностям.

Не вошли в книгу тесно примыкающие к теории ДУ такие важные для приложений математические дисциплины как теория оптимального управления, функционально-дифференциальные и разностные уравнения, групповые методы в ДУ. И все же мы стремились к тому чтобы педагог и учащийся получили более широкое представление о современной теории ДУ, о возможностях ее применений и смогли найти для себя достаточно много не только полезного, но и интересного.

Изложение иногда прерывается предложением к читателю выполнить то или иное упражнение. Это делается как для того, чтобы чтение

иизучение материала было более осознанным так и для того, чтобы читатель был подготовлен к пониманию дальнейшего текста и особенно — к пониманию приложений ДУ.

Мы выступаем за основательное обучение учащегося на базе математически достаточно строгих теоретических знаний (в частности лекций) и сравнительно небольшого количества тщательно подобранных иллюстрационных задач. Мы выступаем против формального натаскивания учащегося на большом числе ненужных задач, но мы также против подмены глубокого изучения теории пусть даже приятным, но поверхностным и ни к чему не обязывающим ознакомлением с изучаемым предметом.

Итак, ниже предлагается обновленный элементарный начальный курс ДУ, очень постепенно ведущий учащегося от простейших ДУ к началам изучения глубоких и важных проблем современных приложений методов и теории ДУ.

Мы надеемся, что данная книга поможет читателю перейти после работы с ней, в случае необходимости или с развитием интереса, к изучению специальной литературы по теории ДУ и их приложениям, затем

ик практическим их применениям. Мы надеемся, что книга будет полезна также лицам, использующим ДУ в различных областях знания.

Автор выражает глубокую признательность выдающемуся ученому

ипедагогу, члену-корреспонденту Российской академии наук профессору Л. Д. Кудрявцеву, а также профессору В. М. Савчину за доброжелательное рецензирование данной книги и сделанные им полезные замечания.

1 / 321 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.02.2015233.56 Кб28Zadanie_Excel.pdf
#
11.02.2015105.98 Кб8Zanyatie_1-novoeГРАММ"+" КОККИ.doc
#
11.02.2015507.09 Кб16Zanyatie_tsitotoxichesky_tetrad.pdf
#
12.11.2019224.6 Кб2Zaochnyy_etap.docx
#
11.02.2015246.27 Кб7zarubezhka_ekzamen_33.doc
#
25.03.20162.76 Mб41[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org).pdf
#
11.02.2015157.7 Кб32_doc_protokol_rod.doc
#
29.09.2019550.4 Кб14Абдуллова В. Крахмал.doc
#
11.02.201548.22 Кб5Абстракция.docx
#
11.02.201559.42 Кб237Авиценна - энциклопедист Х века нашей эры.docx
#
14.09.20191.07 Mб3АВт системы Шишов.doc