Вычисление момента инерции тонкого однородного стержня

Выполним расчет момента инерции тонкого стержня длины l относительно оси, проходящей через его середину и перпендикулярной стержню. Выберем систему координат таким образом, чтобы ее начало совпадало с серединой, а ось абсцисс проходила через стержень (рис. 6). Представим стержень как совокупность малых отрезков длины и массой. Будем считать их материальными точками. Сумма длин отрезков равна длине стержня, а сумма масс - его массе. Момент инерции твердого тела относительно осиOZ складывается из моментов материальных точек:

. (18)

Пусть- линейная плотность стержня, тогда масса отрезка стержня длиныΔx_i равна . Расстояние от элементаΔx_i до оси вращения совпадает с расстоянием до начала координат и равно , поэтому момент инерции будет вычисляться по формуле:

. (19)

Пусть , в формуле (19) перейдем к интегралу:

. (20)

Остается вычислить интеграл:

. (21)

Ход работы

1. Если это необходимо, разверните верхний кронштейн так, чтобы вкладыши для крепления физического маятника оказались над фотоэлектрическим датчиком. Опорную призму укрепите на конце стержня, насколько это позволяет длина колонки.

2. Установите диапазон амплитуд, в котором период колебаний маятника можно считать независимым от амплитуды. Для этого отклоните маятник на угол 15⁰ и измерьте электронным секундомером период его колебаний. Затем последовательно уменьшайте амплитуду колебаний на 1⁰ , пока периоды колебаний не перестанут различаться в пределах случайной погрешности. Результаты измерений занесите в таблицу:

Таблица 1

θ1	θ2	θ3	…	θ10
T(θ1)	T(θ2)	T(θ3)	…	T(θ10)

3. Определите добротность маятника для трех различных значений a. Для этого в каждом из выбранных вами положений сосчитайте число колебаний, за которое амплитуда изменится примерно в3раза. Для расчета добротностиQиспользуйте формулу (24) из работы №6.

4. Исследуйте зависимость периода колебаний от величины a. Расстояние от центра масс до точки подвесаaменяйте через каждый сантиметр. Для каждого значенияaизмеряйте период колебаний. В каждом положении маятника измеряйте время10 полных периодов колебаний и вычисляйте среднее значение одного периода. Результаты измерений занесите в таблицу.

Таблица 2

				…
				…
T1	T2	T3	T4			T25

5. Для трех значений aрассчитайте значениеи проверьте в эксперименте обратимость точки подвеса и центра качания. Для этого для каждого из выбранных значенийaиз таблицы рассчитайте приведенную (эффективную) длину по формуле (13). Первую опорную призму поместить на расстоянииaот центра масс. Измерьте период колебаний. Затем, на расстоянииот опорной призмы, поместите вторую опорную призму. Переверните маятник, закрепив его за вторую опорную призму, и измерьте снова период колебаний. Сравните периоды в двух положениях маятника.

Обработка результатов

6. Постройте график зависимости .

7. Постройте график экспериментальной зависимости на том же листе, что и теоретический график п. 6. Если графики имеют отличия, объясните их причины.

Контрольные вопросы

1. Выведите уравнение (3).

2. Выведите формулу для момента инерции (8).

3. Стержень имеет длину 0,5м. Как следует закрепить стержень, чтобы период колебаний был минимальным, а частота – максимальной?

4. Начертите график зависимости (a).

5. При помощи подстановки убедитесь, что функции иявляются решениями уравнения (6).

6. Убедитесь, выполнив подстановку, что функции, вида и, гдеω рассчитывается по формуле (17), являются решениями уравнения (15).

7. Получите уравнение колебаний для математического маятника, подвешенного в вагоне, движущемся с ускорением, равным 0,1g.

8. На самолете, летающем со скоростью v по кругу радиуса R, установлены маятниковые часы. Получите формулу для периода колебаний.

9. Начертите график зависимости затухающих колебаний от времени.

10. Рассчитайте логарифмический декремент затухания маятника.

11. Получите формулы для частоты и периода колебаний при наличии затухания.

12. Получите формулы зависимости добротности Q маятника от безразмерного параметра ε.

13. Проверьте на опыте, влияет ли вторая опорная призма на результаты измерений в пункте 5.

Литература: [1] - §21, 34, [2] - § 39-41, [3] - § 90, [11] – глава 7.