Циклический избыточный код

Циклический избыточный код

Циклический избыточный код (англ. Cyclic redundancy check, CRC) — алгоритм нахождения контрольной суммы, предназначенный для проверки целостности данных. CRC является практическим приложением помехоустойчивого кодирования, основанном на определённых математических свойствах циклического кода.

Понятие циклические коды достаточно широкое. В англоязычной литературе CRC расшифровывается двояко в зависимости от контекста: Cyclic Redundancy Code или Cyclic Redundancy Check. Под первой расшифровкой понимают математический феномен циклических кодов, под второй — конкретное применение этого феномена как хэш-функции.

Помехоустойчивое кодирование

Первые попытки создания кодов с избыточной информацией начались задолго до появления современных компьютеров. К примеру, ещё в 1960-х годахРидом и Соломоном была разработана эффективная методика кодирования — Код Рида-Соломона. Использование её в те времена не представлялось возможным, так как произвести операцию декодирования за разумное время первыми алгоритмами не удавалось. Точку в этом вопросе поставила фундаментальная работа Берлекампа, опубликованная в 1968 году. Эта методика, на практическое применение которой указал через год Мэсси, и по сей день используется в цифровых устройствах, обеспечивающих приём RS-кодированных данных. Более того: данная система позволяет не только определять позиции, но и исправлять неверные кодовые символы (чаще всего октеты).

Но далеко не всегда от кода требуется коррекция ошибок. Многие современные каналы связи обладают приемлемыми характеристиками, и зачастую достаточно лишь проверить, успешно ли прошла передача или возникли какие-нибудь сложности; структура же ошибок и конкретные позиции неверных символов совершенно не интересуют принимающую сторону. И в этих условиях очень удачным решением оказались алгоритмы, использующие контрольные суммы. CRC как нельзя лучше подходит для подобных задач: невысокие затраты ресурсов, простота реализации и уже сформированный математический аппарат из теории линейных циклических кодов обеспечили ей огромную популярность.

Контрольная сумма

В общем виде контрольная сумма представляет собой некоторое значение, вычисленное по определённой схеме на основе кодируемого сообщения. Проверочная информация при систематическом кодировании приписывается к передаваемым данным. На принимающей стороне абонент знает алгоритм вычисления контрольной суммы: соответственно, программа имеет возможность проверить корректность принятых данных.

При передаче пакетов по сетевому каналу могут возникнуть искажения исходной информации вследствие разных внешних воздействий: электрических наводок, плохих погодных условий и многих других. Сущность методики в том, что при хороших характеристиках контрольной суммы в подавляющем числе случаев ошибка в сообщении приведёт к изменению его контрольной суммы. Если исходная и вычисленная суммы не равны между собой, принимается решение о недостоверности принятых данных, и можно запросить повторную передачу пакета.

Математическое описание

Алгоритм CRC базируется на свойствах деления с остатком двоичных многочленов, то есть многочленов над конечным полем . Значение CRC является по сути остатком от деления многочлена, соответствующего входным данным, на некий фиксированный порождающий многочлен.

Каждой конечной последовательности битов  взаимно однозначно сопоставляется двоичный полином , последовательность коэффициентов которого представляет собой исходную последовательность. Например, последовательность битов 1011010 соответствует многочлену:

Количество различных многочленов степени меньшей  равно , что совпадает с числом всех двоичных последовательностей длины  .

Значение контрольной суммы в алгоритме с порождающим многочленом G(x) степени N определяется как битовая последовательность длины N, представляющая многочлен R(x), получившийся в остатке при делении многочлена P(x), представляющего входной поток бит, на многочлен G(x):

где

 — многочлен, представляющий значение CRC;

 — многочлен, коэффициенты которого представляют входные данные;

 — порождающий многочлен;

 — степень порождающего многочлена.

Умножение  осуществляется приписыванием  нулевых битов к входной последовательности, что улучшает качество хеширования для коротких входных последовательностей.

При делении с остатком исходного многочлена на порождающий полином G(x) степени N можно получить 2^N различных остатков от деления. G(x) зачастую является неприводимым многочленом. Обычно его подбирают в соответствии с требованиями к хэш-функции в контексте каждого конкретного применения. Тем не менее, существует множество стандартизированных образующих многочленов, обладающих хорошими математическими и корреляционными свойствами (минимальное число коллизий, простота вычисления), некоторые из которых перечислены ниже.

Вычисление CRC

Параметры алгоритма

Схема формирования контрольной суммы CRC-8. Порождающий многочлен g(x) = x8+x5+x4+1

Одним из основных параметров CRC является порождающий полином.

С порождающим полиномом связан другой параметр — его степень, которая определяет количество битов, используемых для вычисления значения CRC. На практике наиболее распространены 8-ми, 16-ти и 32-х битовые слова, что является следствием особенностей архитектуры современной вычислительной техники.

Ещё одним параметром является начальное (стартовое) значение слова. Указанные параметры полностью определяют «традиционный» алгоритм вычисления CRC. Существуют также модификации алгоритма, например, использующие обратный порядок обработки битов.