11. Случайная величина (определение). Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения. Основное свойство закона распределения. Примеры.

12.* Совместный закон распределения двух дискретных случайных величин. Зависимые и независимые случайные величины. Примеры. Основное свойство совместного закона распределения для независимых случайных величин.

Системы дискретных случайных величин

До сих пор мы рассматривали случайные величины изолированно друг от друга, не касаясь вопроса об их взаимоотношениях. Однако в практических задачах часто встречаются ситуации, когда те или иные случайные величины приходится изучать совместно. В таких случаях говорят осистеме нескольких случайных величин. Более точно: случайные величины образуют систему, если они определены на одном и том же пространстве элементарных событий .

Систему двух случайных величин (X,Y) можно истолковывать как случайную точку на плоскости, систему трех случайных величин (X,Y,Z) – как случайную точку в трехмерном пространстве. Мы ограничимся в основном двумерным случаем.

Интуитивный подход к понятию системы двух случайных величин связан с представлением об опыте, результатом которого является пара чисел X,Y. Поскольку исход опыта мыслится как случайное событие, то предсказать заранее значения чиселX иY невозможно (при повторении опыта они меняются непредвиденным образом). Приведем несколько примеров.

Пример 1. Дважды бросается игральная кость. Обозначим черезX число очков при первом бросании, через Y – число очков во втором. Пара (X, Y) будет системой двух случайных величин.

Пример 2. Из некоторой аудитории наугад выбирается один студент;X – его рост (скажем, в

сантиметрах), Y – вес (в килограммах).

Пример 3. В данном сельскохозяйственном районе выбирается произвольно участок посева пшеницы площадью 1 га;X – количество внесенных на этом участке удобрений,Y – урожай, полученный с участка.

Пример 4. Сравниваются письменные работы по математике и русскому языку; X – оценка за работу по математике,Y – за работу по русскому языку.

Список подобных примеров легко продолжить.

Определение независимости случайных величин.

Пусть задана система (X, Y). Мы скажем, что величины X и Y независимы, если независимы события X  А и Y  В, где А и В – любые два отрезка [a₁, a₂] и [b₁, b₂].

Иными словами выполняется равенство

PX  A, Y  B  PX  A PY  B.

13.* Математические операции над дискретными случайными величинами. Примеры.

Если случайная величина может принимать конечное или счетное множество значений, то она называется дискретной (дискретно распределенной).

1. «Сдвиг». Пусть имеется дискретная СВХ, принимающая в зависимости от результата тесты те либо другие случайные значения. Ежели к каждому из этих значений прибавить одно и то же число, к примеру,А, то в итоге получим новейшую СВ -Х+А, принимающую значения (, При всем этом:

, т.е. с теми же вероятностями, что и СВХ.

Х	х1	…	хn
Р	р1	…	рn

Х+А	х1+А	…	хn+А
Р	р1	…	pn

2.Определение.Произведениемдискретной СВ на числосименуется дискретная СВсХ, принимающая значенияс вероятностями.

3. «Возведение в степень».

Определение. Квадратом (соответственно – m-степенью) дискретной СВ Х именуется дискретная СВ, принимающая значения(соответственно -) с вероятностями. Обозначение –Х²(соответственно –X^m).

Построение таблицы значений СВ Х²несколько труднее. Разглядим определенный пример.

Задачка. СВХзадана таблицей распределения. Найти закон распределения СВХ².

Х	-1
Р	0,2	0,3	0,4	0,1

Решение. Действуем аналогичным методом для вычисленияХ², т.е. заменяем все значениях_iзначениями их квадратов -х_i², и получаем:

Х2
Р	0,2	0,3	0,4	0,1

В первой строке имеются совпадающие значения. Потому следует объединить их в одну варианту, сложив надлежащие вероятности.

Х2
Р	0,6	0,3	0,1

Таблицу распределения хоть какой СВ У=f(x) для хоть какой функцииfможно выстроить аналогично. Она строится в два шага. Поначалу рассчитываются элементы вспомогательной таблицы.

СВ	f(x1)	f(x2)	…	f(xn)
Р	p1	p2	…	pn

Потом совпадающие значения f(x_i) =f(x_j) для различных значенийx_iиx_j(ежели такие имеются) объединяются в одно, а надлежащие вероятности складываются.

4.Определение.Суммойдискретной СВХ, принимающей значенияс вероятностямии СВY, принимающей значенияс вероятностямиименуется дискретная СВZ=Х+Y, принимающая значенияс вероятностямидля всех указанных значенийiиj.

5.Определение.Разностьюдискретной СВХ, принимающей значенияс вероятностямии СВY, принимающей значенияс вероятностямиименуется дискретная СВZ=Х-Y, принимающая значенияс вероятностямидля всех указанных значенийiиj.

6.Определение.Произведениемдискретной СВХ, принимающей значенияс вероятностямии СВY, принимающей значенияс вероятностямиименуется дискретная СВZ=Х·Y, принимающая значенияс вероятностямидля всех указанных значенийiиj.