Модель Хольта-Уинтерса

t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Y(t)	Абс. погр., E(t)
1	2	3	4	5	6	7
0	-	35,07	0,93	0,79	-
1	31	36,03	0,94	0,86	30,91	0,09
2	40	36,96	0,94	1,08	40,03	-0,03
3	47	37,63	0,86	1,26	48,14	-1,14
4	31	38,75	0,93	0,80	30,32	0,68
5	34	39,64	0,92	0,86	34,11	-0,11
6	44	40,59	0,93	1,08	43,91	0,09
7	54	41,95	1,06	1,28	52,21	1,79
8	33	42,56	0,92	0,78	34,20	-1,20
9	37	43,37	0,89	0,86	37,32	-0,32
10	48	44,27	0,89	1,08	47,94	0,06
11	57	45,02	0,85	1,27	57,60	-0,60
12	35	45,52	0,74	0,77	35,93	-0,93
13	42	47,11	1,00	0,88	39,57	2,43
14	52	48,07	0,99	1,08	52,15	-0,15
15	62	48,99	0,97	1,27	62,29	-0,29
16	39	50,07	1,00	0,78	38,70	0,30

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной, уровни остаточного ряда E(t) (разности между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 1.5.

Таблица 1.5

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t	E(t)	Точка поворота	E(t)2	[E(t)-E(t-1)]2	E(t)xE(t-1)
1	0,09	ххх	0,008	-	-
2	-0,03	0	0,001	0,02	-0,003
3	-1,14	1	1,289	1,22	0,036
4	0,68	1	0,464	3,30	-0,774
5	-0,11	1	0,013	0,63	-0,076
6	0,09	0	0,008	0,04	-0,010
7	1,79	1	3,209	2,89	0,163
8	-1,20	1	1,430	8,92	-2,142
9	-0,32	1	0,105	0,76	0,388
10	0,06	1	0,003	0,14	-0,018
11	-0,60	0	0,359	0,43	-0,034
12	-0,93	0	0,873	0,11	0,560
13	2,43	1	5,919	11,34	-2,274
14	-0,15	1	0,023	6,67	-0,367
15	-0,29	1	0,086	0,02	0,044
16	0,30	ххх	0,089	0,35	-0,088
Сумма	0,67	10	13,880	36,85	-4,593

Проверка точности модели.

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в среднем не превышает 5%. E_отн. = 1,53%, что не превышает 5%.

Следовательно, условие точности выполнено.

Проверка условия адекватности.

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (табл. 1.5) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и для этой строки ставится 1, в противном случае ставится 0. В первой и в последней строке ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=10.

Рассчитаем значение q:

_{Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16.}

Так как количество поворотных точек р=10 больше q=6, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d₁=1,10 и d₂=1,37):

_{Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:}

_{1,10 < 1,35 < 1,37 – критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда. В этом случае проверим независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции.}

_{2) по первому коэффициенту автокорреляции r(1):}

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения <r_табл., то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень r_табл. = 0,32. Имеем: =0,33 > r_табл. = 0,32 – значит уровни зависимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию.Рассчитаем значение RS:

,

где - максимальное значение уровней ряда остатков;

- минимальное значение уровней ряда остатков ;

S – среднее квадратическое отклонение.

;

Так как 3,00 < 3,77 < 4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Расчет прогнозных значений экономического показателя.

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты иопределяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значенияи(см. табл. 1.4) по формуле:

,

где k – период упреждения;

- расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

- коэффициенты модели;

- значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

- период сезонности.

Определим прогнозные значения экономического показателя Y_p(t) для: t = 17, 18, 19 и 20.

На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Рис. 1 Сопоставление расчетных (ряд 1) и

фактических (ряд 2) данных