Сйыа сырты кш сер еткенде

Сұйыққа сыртқы күш әсер еткенде, ол ширайды, әрекеттілікке түседі. Тыныштық күйдегі сұйықта пайда болатын, сығатын әрекетті, гидростатикалық қысым деп атайды.

Гидростатикалық қысымды математикалық өрнекпен жазайық Ол үшін тепе-теңдік күйдегі сүйықтың кез-келген бір көлемін қарастырайық (2.1- сурет).

2.1-сурет

Оны АВ жазықтығы арқылы I және II бөліктерге бөлейік. Бірінші бөліктегі сүйық екінші бөліктегі сүйыққа АВ жазықтығы бойынша әсер етеді делік. Жазықтықтың ауданын ω деп белгілеп, бірінші бөікті ойша алып тастайық. Олай болса, қалған бөліктің тепе-теңдік күйін сақтау үшін, ойша алып тасталған бірінші бөліктің, екінші бөлікке әсерін Р күшімен алмастыру керек болар еді. Бұл күш ω ауданына түсіп тұр. Сондықтан Р күшін ауданның шамасына бөліп орташа гидростатикалық кысымды табуға болады

(2.1)

Егер аудан шексіз аз шама болса (Δω), онда оған әсер етуші күш те Δ аз болады. Осыған байланысты нүктедегі гидростатикалық қысым былай жазылады:

Гидростатикалық қысымның өлшем бірлігі ретінде Паскаль (1Па=1 ) қолданылады.

Гидростатикалық қысымның мынандай үш қасиеті бар.

Бірінші қасиеті: гидростатикалық қысым әрқашан өзі әсер ететін ауданға ішкі тіктеме бойымен бағытталады (2.2-сурет).

2.2-сурет

Екінші қасиеті: сұйықтың кез-келген нүктесіне түсірілген гидростатикалық қысымның шамасы, сол нүктеден өтетін барлық бағыт бойынша өзгермейді, бірдей болады (2.3-сурет).

Үшінші қасиеті: берілген нүктедегі сұйық қысымы сол нүктенің координаттарына және сұйық тығыздығына тәуелді

Р=f(x,y,z,p)

Сұйықтың тепе-теңдік күйінің дифференциалдық теңдеулері (Эйлер теңдеулері)

Сұйыктың салыстырмалы тыныштық күйін (тепе-тендігін) қарастырайық. Ол үшін қарастырып отырған сұйық кеңістігінде oxyz координаталар жүйесін белгілейік (2.4-сурет). Сонан соң А нүктесінің маңынан (оның өзі дәл ортасында болатындай етіп, қабырғалары шексіз аз dx, dy, dz шамаларына тең) өте кішкентай параллелепипедті алайық және

оның сыртындағы сұйықтың әсерін сырттан сығатын күштермен (х- бойында және ) алмастырайық. Сырткы күштер әрекетінен пайда болатын А нүктесіндегі гидростатикалық қысым күшін Р деп белгілейік. Мұндағы сыртқы күштер деген ұғымға параллелепипед көлеміндегі ауырлык күші мен тасымалды қозғалыстағы инерция күштеріде кіреді (F).

Бөлініп алынған параллелепипед, сол сиякты, карастырылып отырған сұйық, өзінің тыныштық күйін (тепе-теңдік қалпын) сақтап қалуы үшін оған әсер етуші барлық сыртқы күштердің (кез-келген координаталар өсіне түсірілген күш проекцияларының) қосындысы нәлге тең болуы шарт. Бүл геориялық механикадан белгілі

; (2.4)

Енді осы теңдеулердің сұйыққа арналған түрін табайық. Ол үшін масса бірлігіне келтірілген барлық көлемдік күштердің (ауырлық және инерция күштерінің) x.y,z өстеріне проекцияларының қосындыларын (үдеудің проекцияларын) X,Y,Z деп белгілейік. Сонда көлемдік күштер

= pXdxdydz;

= pYdxdydz;

= pZdxdydz;

Өйткені = МX, = МY, = MZ.

Мұндағы М - параллелепипедтің массасы, М=pdxdydz. Енді параллелепипедтің 1-2-3-4 және 5-6-7-8 тік жақтарына әсер етуші күштерді анықтайық. Бұл күштер гидростатикалық қысымның бірінші қасиетіне сәйкес аталған жақтарға тіктеме бойымен әсер етеді. Сондықтан А нүктесі арқылы ВС сызығын жүргізіп, В нүктесіндегі гидростатикалық қысымды р_в деп, ал С нүктесіндегі қысымды деп белгілейміз. Жоғарыда А нүктесіндегі қысымды Р деп алғанбыз. Енді осы А,В,С нүктелеріңдегі қысымдарды өзара байланыстырайық. Ол үшін сұйық ортада гидростатикалық қысым сызықтық заң бойынша үздіксіз өзгеріп отырады (2.1, үшінші қасиет) делік. Сондықтан

Мұндағы - үзындық бірлігіне келтірілген гидростатикалық қысымның ВС сызығы (х-өсі) бойымен өзгеруі. Ал 1-2-3-4 және 5-6-7-8 ауданшалары шексіз аз шамалар, сол үшін В жэне С нүктелеріңдегі гидростатикалық қысымдар, сол ауданшалар үшін, орташа гидростатикалық қысымдар болып табылады. Демек, қарастырылып отырған ауданшаларға әсер ететін гидростатикалық қысым күштері

;

Басқа күштердің x-ѳсінt проекциялары нѳлге тең. Сондықтан (2.4) теңдеуі бойынша

Жақшаларды ашып, dxdydz -ке қысқартқан соң

Осы сиякты тендеулерді у және z ѳстеріне байланысты табуға бола- ды. Сонда бұл тендеулер жүйесі былай толықтырылып жазылады

(2.7) тендеулер жүйесін сүйық тепе-тендігінің дифференциалдық теңдеулері, немесе Эйлер теңдеулері деп атайды.

Егер элементар (сұйық) параллелепипед абсолюттік тыныштық күйде болса, онда инерциялық күштер нѳлге тең болар еді, паралле- лепипедке тек қана оның ауырлық салмагы гана әсер етер еді, сондықтан Эйлер теңдеулерінің түрі мынандай болар еді

2.3. Гидростатиканың негізгі дифференциалдық теңдеуі. Потенциалдық функция

Эйлер теңдеулерінің әрқайсысы сұйық қысымының тек бір координатаға байланысты ѳзгеруін кѳрсетеді. Ал қысымның барлық координаталарға байланысты ѳзгеруін табу үшін Эйлер теңдеулерінің біріншісін х-қа, екіншісін dy-ке және үшіншісін dz- ке кѳбейтіп, оларды қосайық. Сонда

Бұл теңдеудің сол жағы қысымның толық диффренциалы болғандықтан оны былай жазамыз

(2.9.) гидростатиканың негізгі дифференциалдық теңдеуі деп аталады. Бүл теңдеудің оң жағы да толық дифференциал болуы шарт, сол үшін үдеудің проекциялары мынадай болуы керек

Мүндагы П=П(х,у,г) - потенциалдық функция деп аталады, ал осы функция арқылы ѳрнектелетін күштер потенциалға ие күштер деп аталады. Демек сұйыққа әсер ететін массалық күштер жүйесі потенциапға ие болғанда ғана сұйық ѳзінің тепе-теңдігін, тыныштық күйін сақтайды.

Күш потенциалы деген ұғымды тереңірек түсіну үшін мына бір жайды келтіре кетейік. Гидравликалық параметрлердің кѳбісі (күш, жылдамдық,т.б.) векторлық шамалар. Векторлық ѳрістерге матсматикаіық амалдар қолданып, оның сан мәнін табу ѳге қиын, сондыктан векторлық ѳрістерді әдетте скалярлық ѳрістермен апма- стырады. Скалярлық ѳріс дегеніміз сандық мэні бірдей сызықтарды қүрайтын ерекше функция (потенциал, потенциалдық функция), ол біз қарастырып отырған векторлық ѳрістің потенциапы (күш потен- циапы, жылдамдық потенциалы т.с.с.).