ДЗ-1-АГ_МТ11-12

Индивидуальное ДЗ по курсу «Аналитическая геометрия» 2015. Группа МТ 11-12

Вариант 1.

1. В параллелепипеде 1 1 1 1 = , = , 1 = . Выразить через , , вектор = , где – середина ребра , а делит ребро 1 1 в отношении 3 к 1.

4.Найти пр , при = 3 + 2 и = , где (2; 1; 1), (−2; −5; −6), (3; 6; 7).

5.Найти координаты единичного вектора 0, перпендикулярного плоскости , построенного на векторах (−4; −5; −9) и (1; 1; 1).

7.Лежат ли точки (7; 7; 1), (7; 8; 0), (6; 8; −1), (9; 6; 4) в одной плоскости?

8.Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках 1, 2, 3, 4, ее высоту, опу-

13.Привести к каноническому виду общие уравнения прямой

{

+ − 2 = 0

− + + 17 = 0 .

14.Найти координаты точки 1, симметричной точке (−6; 14; −13) относительно плоскости − 9 + 8 + 17 = 0.

Индивидуальное ДЗ по курсу «Аналитическая геометрия» 2015. Группа МТ 11-12

Вариант 2.

1. В параллелепипеде 1 1 1 1 = , = , 1 = . Выразить через , , вектор = , где – середина ребра , а делит ребро 1 1 в отношении 1 к 2.

4.Найти пр , при = и = + , где (−1; −4; 5), (2; 7; −6), (−7; −13; 8).

5.Найти координаты единичного вектора 0, перпендикулярного плоскости , где (3; 0; 0), (−7; −1; −2), (10; 1; 1).

и = + 4 при | | = 2, | | = 3, ( [, ) = 4 .

7.Компланарны ли векторы (−2; 1; −4), (1; 1; −2), (−1; −3; 7)?

8.Вычислить объем параллелепипеда 1 1 1 1, его высоту, опущенную из вершины 1 на грань и площадь грани . (−3; −4; −4), (−5; −3; −6),

(−4; −2; −6), 1(−12; −7; −9).

10.Задана пирамида координатами вершин (10; −2; −3), (9; 5; −4), (11; 1; −3),

(−3; 8; −2):

a) cоставить уравнение плоскости ,

б) найти расстояние от вершины до плоскости .

11.Составить уравнение плоскости , проходящей через точку (1; −4; 6) перпендикулярно плоскостям 7 − 3 − 2 + 6 = 0 и −8 + 2 + + 4 = 0.

12. Составить уравнения сторон , заданного координатами вершин (7; 9; 2),

(8; 10; 0), (5; 8; 5).

13.Привести к каноническому виду общие уравнения прямой

{

− 5 + − 29 = 0

−3 + 7 − 2 + 28 = 0 .

14.Найти координаты точки 1, симметричной точке (1; 24; −23) относительно плоскости − 8 + 9 + 33 = 0.

Индивидуальное ДЗ по курсу «Аналитическая геометрия» 2015. Группа МТ 11-12

Вариант 3.

1. В параллелепипеде 1 1 1 1 = , = , 1 = . Выразить через , , вектор = , где – середина ребра , а делит ребро 1 1 в отношении 3 к 2.

4.Найти пр , при = 2 + и = , где (−1; 3; 2), (2; −5; −4), (8; −6; −3).

5.Найти координаты единичного вектора 0, перпендикулярного плоскости , построенного на векторах (1; 1; −4) и (1; 2; 1).

и = −2 − при | | = 3, | | = 4, ( [, ) = 4 .

7.Лежат ли точки (7; 3; 7), (9; 5; 6), (3; 3; 10), (6; 0; 8) в одной плоскости?

8.Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках , , , , ее высоту, опущен-

9. Найти косинус острого угла между плоскостями : − + + = 15 и : 2 −2 + 9 = 0.

13. Привести к каноническому виду общие уравнения прямой

{

7 + 3 − 7 + 26 = 0

−6 − 2 + 5 − 20 = 0 .

14.Найти координаты точки 1, симметричной точке (−3; −24; 25) относительно плоскости − − 8 + 9 − 55 = 0.

Индивидуальное ДЗ по курсу «Аналитическая геометрия» 2015. Группа МТ 11-12

Вариант 4.

1.В параллелепипеде 1 1 1 1 = , = , 1 = . Выразить через , , вектор = , где – середина ребра , а делит ребро 1 в отношении 1 к 2.

2.Доказать, что векторы (−1; 2; 1), (3; −1; 0), (−5; −1; −2) образуют базис. Разложить вектор (6; −5; −1) по этим векторам.

3. Найти косинус угла между векторами = 2 + 2 и = − − 3 при | | = 4,

√

| | = 3, ( [, ) = 56 .

4.Найти пр , при = 3 + 5 и = , где (5; 6; −2), (−3; −3; 1), (3; 2; −1).

5.Найти координаты единичного вектора 0, перпендикулярного плоскости , где (8; 0; 9), (11; 1; 10), (16; 1; 11).

= −4 − 4 при | | = 4, | | = 4, ( [, ) = 4 .

7.Компланарны ли векторы (−1; 0; 1), (5; 1; −3), (1; 1; 1)?

8.Вычислить объем параллелепипеда , его высоту, опущенную из вершины

10.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (−9; 1; −10), (−11; 3; −9),(−10; 4; −8), и найти расстояние от этой плоскости до точки (−4; 4; 0).

11.Составить уравнение плоскости , проходящей через точку (−6; −7; 2) перпендикулярно плоскостям −3 + 2 − = −1 и 7 − 5 + 3 = 5.

+ 7 − 21 = 0 .

14.Найти проекцию точки (−28; 18; 18) на плоскость 9 − 7 − 5 = −3.

Индивидуальное ДЗ по курсу «Аналитическая геометрия» 2015. Группа МТ 11-12

Вариант 5.

1. В параллелепипеде 1 1 1 1 = , = , 1 = . Выразить через , , вектор = , где – середина ребра 1, а делит ребро в отношении 3 к 2.

2. Доказать, что векторы (−2; 1; −5), (1; 0; 2), (−1; 4; −3) образуют базис. Разложить вектор (−3; −3; −6) по этим векторам.

3. Найти косинус угла между векторами = − + и = 4 − 3 при | | = 2,

√

| | = 2, ( [, ) = 4 .

4.Найти пр , при = + 2 и = , где (2; −3; 5), (−1; 2; −4), (2; −1; 2).

5.Найти координаты единичного вектора 0, перпендикулярного плоскости , построенного на векторах (−5; 1; 1) и (−3; 1; 2).

7.Лежат ли точки (6; 6; 8), (8; 9; 1), (7; 8; 10), (5; 4; 16) в одной плоскости?

8.Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках , , , , ее высоту, опущен-

ную из вершины на грань и площадь грани . (5; 3; −9), (0; 0; −8),

(7; 4; −17), (3; 2; −19).

9. Найти косинус острого угла между плоскостями : − −5 = 0 и : −7 +2 −4 = −5.

10. Задана пирамида координатами вершин (−5; −2; 7), (−6; 1; 6), (−4; 0; 7),

(−1; 0; 5):

a) cоставить уравнение плоскости ,

б) найти расстояние от вершины до плоскости .

11. Составить уравнение плоскости , проходящей через точку (1; −3; −1) перпендикулярно плоскостям 3 − 7 + 2 = 0 и −2 + 5 − + 5 = 0.

12. Составить уравнения сторон , заданного координатами вершин (6; 0; 7),

(7; −2; 7), (7; −1; 8).

13.Привести к каноническому виду общие уравнения прямой

{

−3 − − 2 − 4 = 0 2 + 4 + + 5 = 0 .

14.Найти проекцию точки (−14; −14; −20) на плоскость −5 − 4 − 9 − 62 = 0.

Индивидуальное ДЗ по курсу «Аналитическая геометрия» 2015. Группа МТ 11-12

Вариант 6.

1. В параллелепипеде 1 1 1 1 = , = , 1 = . Выразить через , , вектор = , где – середина ребра 1 1, а делит ребро в отношении 2 к 3.

4.Найти пр , при = 2 + и = , где (−1; 1; 2), (3; 1; 3), (−4; −3; 2).

5.Найти координаты единичного вектора 0, перпендикулярного плоскости , построенного на векторах (−5; 2; −1) и (7; −3; 2).

и = −2 − при | | = 5, | | = 2, ( [, ) = 3 .

7.Лежат ли точки (8; 7; 5), (11; 6; 4), (10; 4; 8), (3; 10; 4) в одной плоскости?

8.Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках , , , , ее высоту, опущенную

из вершины на грань и площадь грани . (−10; −9; −2), (−9; −7; −3),

(−3; −12; 6), (−11; −10; −1).

9. Найти косинус острого угла между плоскостями : 6 + 3 −5 = −3 и : + −8 = 0.

10. Задана пирамида координатами вершин (2; −5; 5), (11; −9; 0), (−5; −2; 9),

(−3; 8; 6):

a) cоставить уравнение плоскости ,

б) найти расстояние от вершины до плоскости .

11. Составить уравнение плоскости , проходящей через точку (−4; 4; −6) перпендикулярно плоскостям − 3 − 6 = 0 и − 2 − 5 − 3 = 0.

12. Составить уравнения сторон , заданного координатами вершин (4; 9; 0),

(5; 10; −3), (2; 8; 4).

13. Привести к каноническому виду общие уравнения прямой

{

+ − + 11 = 0

+ 2 + 6 − 2 = 0 .

14.Найти координаты точки 1, симметричной точке (4; −4; −4) относительно плоскости −8 + 5 − + 3 = 0.

Индивидуальное ДЗ по курсу «Аналитическая геометрия» 2015. Группа МТ 11-12

Вариант 7.

1. В параллелепипеде 1 1 1 1 = , = , 1 = . Выразить через , , вектор = , где – середина ребра , а делит ребро 1 в отношении 3 к 1.

4.Найти пр , при = и = 3 + , где (2; 1; −1), (1; −3; 1), (−7; −3; 9).

5.Найти координаты единичного вектора 0, перпендикулярного плоскости , где (2; 4; 1), (4; 5; −2), (−1; 3; 5).

= −2 + 3 при | | = 2, | | = 1, ( [, ) = 6 .

7.Компланарны ли векторы (3; 1; −4), (6; 1; −7), (−1; 0; 1)?

8.Вычислить объем параллелепипеда 1 1 1 1, его высоту, опущенную из

9. Найти косинус острого угла между плоскостями : −4 + +4 = 0 и : −2 −14 = 0.

13.Привести к каноническому виду общие уравнения прямой

{

−− 2 − + 14 = 0

−− 5 − 2 + 27 = 0 .

14.Найти координаты точки 1, симметричной точке (15; 2; −9) относительно плоскости 7 − − 4 + 26 = 0.

Индивидуальное ДЗ по курсу «Аналитическая геометрия» 2015. Группа МТ 11-12

Вариант 8.

1. В параллелепипеде 1 1 1 1 = , = , 1 = . Выразить через , , вектор = , где – середина ребра 1 1, а делит ребро в отношении 1 к 2.

2. Доказать, что векторы (1; 1; −5), (−2; 1; 3), (−5; 3; 5) образуют базис. Разложить вектор (10; −8; −4) по этим векторам.

3. Найти косинус угла между векторами = 3 + 5 и = − − 2 при | | = 2,

√

| | = 2, ( [, ) = 34 .

4.Найти пр , при = + и = , где (−3; 2; −3), (−2; −5; −4), (−1; −1; 2).

5.Найти координаты единичного вектора 0, перпендикулярного плоскости , где (1; 8; 2), (6; 5; 4), (8; 4; 3).

7.Компланарны ли векторы (6; −7; −8), (−1; 2; 3), (−1; 3; 5)?

8.Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках , , , , ее высоту, опу-

щенную из вершины на грань и площадь грани . (6; −6; −3), (7; −6; 0),

(8; −5; 5), (5; −4; 7).

Индивидуальное ДЗ по курсу «Аналитическая геометрия» 2015. Группа МТ 11-12

Вариант 9.

1. В параллелепипеде 1 1 1 1 = , = , 1 = . Выразить через , , вектор = , где – середина ребра 1 1, а делит ребро 1 в отношении 2 к 1.

2. Доказать, что векторы (0; 2; −1), (−5; −2; 6), (6; 1; −6) образуют базис. Разложить вектор (8; −9; −2) по этим векторам.

3. Найти косинус угла между векторами = + и = −2 + 3 при | | = 2,

√

| | = 3, ( [, ) = 6 .

4.Найти пр , при = и = 3 + , где (4; −1; −7), (3; 1; 2), (−4; −5; −8).

5.Найти координаты единичного вектора 0, перпендикулярного плоскости , где (3; 3; 4), (6; 4; 9), (5; 4; 5).

и = −3 + 3 при | | = 2, | | = 4, ( [, ) = 3 .

7.Компланарны ли векторы (−5; −2; 8), (−1; −1; 1), (−2; −1; 3)?

8.Вычислить объем параллелепипеда 1 1 1 1, его высоту, опущенную из

вершины 1 на грань и площадь грани . (5; 0; −9), (2; 4; −14),

(2; 4; −9), 1(6; −1; −3).

9. Найти косинус острого угла между плоскостями : 2 + +1 = 0 и : 3 +3 +3 = −12.

10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (−2; 8; −8), (−1; 6; −7),(−4; 5; −9), и найти расстояние от этой плоскости до точки (−3; −6; −7).

11. Составить уравнение плоскости , проходящей через точку (−2; −7; 5) перпендикулярно плоскостям −3 + + 3 = 7 и − − 2 − 6 = 0.

12. Составить уравнения сторон , заданного координатами вершин (1; 4; 6),

(2; 8; 4), (3; 13; 1).

13. Привести к каноническому виду общие уравнения прямой

{

2 − 3 − 6 + 16 = 0

−+ 2 + 7 − 3 = 0 .

14.Найти координаты точки 1, симметричной точке (9; −7; 1) относительно плоскости

−9 + 6 + 7 + 33 = 0.