2006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

Кафедра математики

Е.Л. Плужникова Б.Г. Разумейко

Математический анализ

Дифференциальные уравнения

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2011

УДК 517.9 П40

Р е ц е н з е н т канд. физ.-мат. наук, проф. В.В. Пташинский

Плужникова, Е.Л.

П40 Математический анализ : дифференциальные уравне- ния : учеб. пособие / Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2011. – 238 с.

ISBN 978-5-87623-549-7

В пособии приведены основные формулы и понятия по теме «Дифферен- циальные уравнения», разобрано большое количество типовых задач различ- ных уровней сложности по этим темам. Представлены различные варианты домашних заданий по данному курсу. Наличие в пособии типовых вариантов контрольных работ и тестов, предназначенных для проверки усвоения этого курса, позволит студенту подготовиться к экзаменационной сессии.

Предназначено для студентов всех специальностей.

УДК 517.9

2

3

4

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связы-

вающее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные y′, y′′, …, y(n), т.е. уравнение вида

F (x, y, y′, …, y(n)) = 0.

Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция – функция одной переменной, то такое дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Например

ydx + ctg x dy = 0;

y''' − y'' − 6y' = 0; y''− 2y' tgx = sin3x −

обыкновенные дифференциальные уравнения.

Если же неизвестная функция – функция нескольких переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

Например

∂2u − 25 ∂2u = 0;

∂t2 ∂x2

∂u − ∂2u = xt − ∂t ∂x2

уравнения в частных производных.

Далее будем рассматривать обыкновенные дифференциальные урав- нения.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, назы-

вается порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интер- вале (a, b) называется функция y = ϕ(x), определенная на интервале (a, b) вместе со своими производными до n-го порядка включитель- но, и такая, что подстановка функции y = ϕ(x) вместо неизвестной функции в дифференциальное уравнение превращает его в истинное на интервале (a, b) тождество.

5

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1-го ПОРЯДКА

Уравнение F(х, у, y′ ) = 0, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию у(х) и ее производную y′ ( x ), назы- вается дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Если уравнение F(х, у, y′ ) = 0 можно записать в виде y′ = f(х, у), то говорят, что оно разрешимо относительно производной.

можно записывать с помощью дифференциалов в виде:

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,

где P(x, y) и Q(x, y) – известные функции.

В некоторых случаях удобно рассматривать х как функцию пере- менной у и записывать уравнение в виде х ′ = g(х, у).

Решением дифференциального уравнения 1-го порядка на интер- вале (a, b) называется непрерывно дифференцируемая функция y = y(x), такая, что подстановка функции y = y(x) вместо неизвестной функции в дифференциальное уравнение превращает его в истинное на интервале (a, b) тождество. График функции y = y(x) называется

интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка на интервале (a, b) называется непрерывно дифференцируемая функция

у= у(х, c), такая что:

1)при любом значении произвольной постоянной c она является решением данного уравнения;

решение у = у(х, с0) удовлетворяет заданному начальному условию. Геометрически общее решение представляет собой семейство ин-

тегральных кривых на плоскости XOY.

Частным решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется всякое решение у = у(х, с0), получающееся из общего ре- шения у = у(х, c) при заданном значении c = c0.

В некоторых случаях решение дифференциального уравнения приходится записывать в неявном виде: U(х, у, с) = 0. Тогда соотно- шение U(х, у, с) = 0 называется общим интегралом этого уравнения.

6

Соотношение, которое получается из общего интеграла при конкрет- ном значении постоянной с, называется частным интегралом.

Задачей Коши называется задача нахождения решения у = у(х) для дифференциального уравнения f(х, у, у') = 0, удовлетворяющего на- чальному условию у(х0) = у0. Геометрически это равносильно сле- дующему: требуется найти интегральную кривую уравнения f(х, у, у') = 0, проходящую через точку М0(x0, y0).

Теорема существования и единственности

Пусть дано дифференциальное уравнение y′ = f(х, у), где функция f(х, у) определена в некоторой области G плоскости XOY, содержа- щей точку (хо, уо). Если функция f(х, у) непрерывна в области G и имеет в этой области непрерывную частную производную f 'у, то для любой точки (х0, у0) G существует такой интервал (х0 − h, х0 + h,), на котором решение дифференциального уравнения при начальном условии y(x0) = y0 существует и единственно.

Особым решением называется такое решение, во всех точках ко- торого условие единственности не выполняется, т.е. в любой окрест- ности каждой точки (х0, у0) особого решения существуют, по крайней мере, две интегральные кривые, проходящие через эту точку. Особые решения не получаются из общего решения ни при каких значениях произвольной постоянной с. График особого решения называется особой интегральной кривой уравнения. Геометрически − это оги- бающая семейства интегральных кривых дифференциального урав- нения, определяемых его общим интегралом.

Задача решения дифференциального уравнения состоит в нахож- дении общего решения или общего интеграла данного уравнения. Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выде- лить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие по- ставленному начальному условию.

Уравнение y′ = f(х, у) определяет в каждой точке области G, где существует функция f(х, у), значение y′, т.е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке. Поэтому каждой точке области G уравнение y′ = f(х, у) ставит в соответствие некото- рое направление, угловой коэффициент которого равен f(х, у). Гео- метрически его можно изобразить черточкой, или стрелкой, прохо- дящей через эту точку. Тем самым уравнение y′ = f(х, у) определяет поле направлений на плоскости XOY. Тогда интегральные кривые данного дифференциального уравнения – это такие кривые, для ко-

7

торых касательная к кривой в каждой точке имеет направление, сов- падающее с направлением поля в этой точке.

Задача построения интегральной кривой может быть решена ме- тодом изоклин. Множество точек (x, y) G, в которых y′ = k, где k − некоторая константа, называется изоклиной дифференциального уравнения. В точках изоклины направление поля одинаково, т.е. на- правление касательных в точках изоклины параллельны. Придавая параметру k близкие числовые значения, получаем достаточно гус- тую сеть изоклин, с помощью которых можно приближенно постро- ить интегральные кривые заданного дифференциального уравнения.

Пример 2.1. Составить дифференциальное уравнение по задан-

ному семейству интегральных кривых y = c . x

Решение

Продифференцировав по переменной x равенство y = c , получим

y′ = − y . x

Пример 2.2. Составить дифференциальное уравнение по задан-

8

Подставив это выражение в равенство 3x2 = c(2x − 2yy′) , получим искомое дифференциальное уравнение

3x2 (x2 − y2 ) = x3 (2x − 2yy′);

3(x2 − y2 ) = x(2x − 2yy′);

2xyy′ = 3y2 − x2 .

9

3.ВИДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1-ГО ПОРЯДКА

3.1.Уравнения с разделяющимися переменными

Если в дифференциальном уравнении y′ = f (x, y)

функцию f(х, у) можно разложить на множители, каждый из кото- рых зависит только от одной переменной

f (x, y) = ϕ(x)g( y) ,

то такое уравнение называется уравнением с разделяющимися пере- менными.

Пусть задано уравнение с разделяющимися переменными y′ = ϕ(x)g( y) .

Так как y′ = dy , то dx

dy = ϕ(x)g( y) . dx

Разделим обе части уравнения на g(y):

Умножим обе части уравнения на dx:

dy = ϕ(x)dx. g( y)

Интегрируя левую часть уравнения по y, а правую часть по x, по- лучим общий интеграл уравнения в виде

∫ dy − ∫ ϕ(x)dx = с. g( y)

Заметим, что при делении на g(y) могли потеряться решения вида y = a, где a – корень уравнения g(y) = 0. Поэтому случай g(y) = 0 надо рассмотреть отдельно. Если ни при каких значениях константы с ре- шение y = a не получается, то y = a – особое решение.

10