2004-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-5mb

Y

y = f(x) + c

y = f(x)

X

Рис. 1.27

2. График функции y = f(x + a) получается из графика функции y = f(x) параллельным переносом вдоль оси OX (рис 1.28). Если a > 0, то график переносится вдоль оси абсцисс влево на расстояние a, а

если a < 0, то вправо на расстояние a .

Y

y = f(x)

y = f(x + a)

X

Рис. 1.28

3. График функции y = f(–x) получается из графика функции y = f(x) зеркальным отражением относительно оси OY (рис. 1.29).

Y

y = f(x)

y = f(−x)

X

Рис. 1.29

21

4. График функции y = –f(x) получается из графика функции y = f(x) зеркальным отражением относительно оси OX (рис. 1.30).

Y

y = f(x)

X

y = − f(x)

Рис. 1.30

5.График функции y = af(x), где а > 0, получается из графика функции y = f(x) сжатием или растяжением вдоль оси OY. Если a > 1, то происходит растяжение в a раз, а если 0 < a < 1, то сжатие в 1/a раз вдоль оси ординат.

6.График функции y = f(bx), где b > 0, получается из графика функции y = f(x) сжатием или растяжением вдоль оси OX. Если b > 1, то происходит сжатие в b раз, а если 0 < b < 1, то растяжение в 1/b раз вдоль оси абсцисс.

7.График функции y = │f(x)│ получается, если часть графика функции y = f(x), расположенную ниже оси OX, симметрично отобра- зить относительно этой оси, а часть графика, расположенную выше оси OX, оставить без изменений.

8.График функции y = f( x ) получается, если стереть часть графика

функции y = f(x), расположенную слева от оси OY, оставить часть гра- фика функции y = f(x), лежащую справа от оси OY, а затем в область x < 0 симметрично относительно оси OY отобразить область x ≥ 0.

Пример 1.3.1

Построить график функции y = – log2(x – 1).

Решение

1. Построим график функции y = log2 x (рис. 1.31). Так как a = 2 > 1, то функция возрастающая.

22

Y

y = log2 x

y = log2 (x − 1)

y = −log2 (x − 1)

Рис. 1.31

2.Сдвигаем график функции y = log2 x на 1 единицу вправо вдоль оси OX; получаем график функции y = log2(x − 1) (см. рис. 1.31).

3.Отображаем его зеркально относительно оси OX; получаем гра- фик искомой функции (см. рис. 1.31).

Пример 1.3.2

получаем график искомой функции (см. рис. 1.32).

23

Y

Пример 1.3.3

Построить график функции y =│–x2 + x│– 2.

Решение

Первый способ

1. Раскроем модуль:

2. Методом интервалов решим неравенство:

–x2 + x ≥ 0;

–x(x −1) ≥ 0.

Отметим на числовой прямой точки, в которых данное выражение обращается в ноль, и определим знаки получившихся интервалов:

Тогда

–x2 + x ≥ 0, если x [0, 1].

24

3. Построим график функции y = – x2 + x – 2 на отрезке [0, 1]. Графиком данной функции является парабола, ветви которой на- правлены вниз. Найдем координаты вершины параболы:

Найдем точки пересечения графика с осью ОХ:

– х2 + х – 2 = 0;

х2 – х + 2 = 0;

D = 1 – 4 2 = – 7 < 0 .

Следовательно, данное уравнение не имеет корней, а значит, па- рабола ось ОХ не пересекает. Заметим, что y(0) = y(1) = −2.

4. Построим график функции у = х2 – х – 2 на интервалах (−∞, 0) и (1, ∞). Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы:

Найдем точки пересечения с осью OX:

x2 – x – 2 = 0; D = 1 + 8 = 9; x1,2 = 1± 3 ; x1 = 2; x2 = – 1.

2

5. Получили график функции y =│–x2 + x│– 2 (рис. 1.33).

25

Y

−2

Рис. 1.33.

Второй способ

1. Графиком функции y = – x2 + x является парабола, ветви кото- рой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы:

Найдем точки пересечения с осью OX: y = 0 – x2 + x = 0;

–x (x – 1) = 0;

x= 0 или x = 1;

Получили точки пересечения с осью ОХ: (0, 0), (1, 0). Построим график функции (рис. 1.34).

26

Y

1/4

Рис. 1.34

2. Построим график функции y = │– x2 + x│. Для этого часть гра- фика, которая лежит ниже оси OX, отобразим зеркально относитель- но оси OX (рис. 1.35).

Y

1 X

Рис. 1.35

3. Построим график функции y = │– x2 + x│ – 2. Для этого график функции y = │–x2 + x│ сдвинем на две единицы вниз (рис. 1.36).

Y

−2

Рис. 1.36

27

функции y = − x сдвинем на две единицы влево вдоль оси OX. По- лучили искомый график (см. рис. 1.3.11).

1.4. Сведения из элементарной математики

Действия с многочленами

Разложение многочленов на множители

Многочлен вида anxn + an–1xn–1 … + a0 можно разложить на множи- тели по формуле

anxn + an–1xn–1 + … + a0 = an(x – x1) (x – x2) … (x – xk)Qn – k(x)

где x1, x2, …, xk – корни этого многочлена.

28

Деление многочленов

1. Дробь вида a + b + c можно разложить на сумму дробей по формуле x

a + b + c = a + b + c . x x x x

2. Деление многочлена на многочлен можно выполнить с остат- ком подобно тому, как это делается при делении целых чисел.

При делении многочлена на многочлен делят старший член мно- гочлена-делимого на старший член многочлена-делителя, а затем частное от этого деления умножают на многочлен-делитель и это произведение вычитают из многочлена-делимого. Затем повторяют то же самое до тех пор, пока деление не закончится или степень ос- татка не станет меньше степени многочлена-делителя.

Пример 1.4.1

Разделить многочлен 2x3 – 3x + 1 + 3x2 на многочлен x + 2.

Решение

1. Записываем оба многочлена по убыванию степеней:

2x3 + 3x2 − 3x + 1 x + 2.

2. Делим первый член делимого 2x3 на первый член делителя х:

2x3 + 3x2 − 3x + 1 x + 2 2x2 .

Результат 2х2 – есть первый член частного.

3. Умножаем полученный член 2х2 на делитель х + 2, результат записываем под делимым:

4. Вычитаем члены результата из соответствующих членов дели- мого, сносим следующий по порядку член делимого:

− x 2 −3x + 1

29

5. Делим получившийся первый член –х2 на первый член делителя х:

− x 2 −3x + 1

Результат –х есть второй член частного.

6. Умножаем полученный член –х на делитель х + 2, результат запи- сываем под делимым. Вычитаем члены результата из соответствующих членов делимого, сносим следующий по порядку член делимого:

−− x 2 −3x + 1

−x2 − 2x

−x + 1

7.Делим получившийся первый член –х на первый член делителя х:

−− x 2 −3x + 1

−x2 − 2x

−− x + 1

−x − 2

3

Результат –1 – есть третий член частного. Затем проделаем те же действия, что и в первых двух случаях.

Получили остаток 3. Степень его меньше степени делителя. Деле- ние закончено. Следовательно,

30