№282. Диденко И. С., Гераськин В. В. Кристаллофизика

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

Кафедра материаловедения полупроводников и диэлектриков

И.С. Диденко В.В. Гераськин

Кристаллофизика

Симметрия кристаллических многогранников

Лабораторный практикум

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2011

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

УДК 548.12 Д44

Р е ц е н з е н т канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.В. Осипов

Диденко, И.С.

Д44 Кристаллофизика: симметрия кристаллических многогран- ников : лаб. практикум / И.С. Диденко, В.В. Гераськин. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2011. – 76 с.

Лабораторный практикум содержит материал, необходимый для подго- товки и проведения лабораторных работ по курсу «Кристаллофизика». Под- робно изложен материал, связанный с проектированием и индицированием кристаллических многогранников, который вызывает наибольшие трудности у студентов. В процессе выполнения лабораторных работ студенты приобре- тают навыки определения элементов симметрии, построения стереографиче- ских и гномостереографических проекций и индицирования граней и ребер кристаллических многогранников.

Предназначен для студентов, обучающихся направлениям 210100 «Электроника и наноэлектроника», 150100 «Материаловедение и технологии материалов».

♥ И.С. Диденко, В.В. Гераськин, 2011

2

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

3

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

Лабораторная работа 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МНОГОГРАННИКОВ

1.1. Цель работы

Приобретение навыков определения элементов симметрии на мо- делях кристаллических многогранников.

1.2. Теоретическое введение

Кристаллический многогранник называют симметричным, если он состоит из закономерно повторяющихся частей (граней, ребер, вершин). Симметрия кристаллических многогранников выявляется с помощью элементов симметрии – вспомогательных геометрических образов: точек, прямых, плоскостей.

Элементами симметрии называются воображаемые плоскости, прямые линии и точки, с помощью которых можно осуществлять отражения и вращения, приводящие многогранник в совмещение с самим собой. Заметим, что элементы симметрии – это воображаемые точки, прямые, плоскости, т.е. невидимые наблюдателю, в отличие от вершин, ребер и граней многогранника.

Фигура обладает элементом симметрии, если после его воздейст- вия она занимает в пространстве то же положение, что и до него, но на место одних частей фигуры становятся другие, равные им части. При этом мы говорим, что фигура совмещается сама с собой. Отра- жения и вращения, приводящие многогранник в совмещение с самим собой, называются преобразованиями симметрии.

При описании симметрии кристаллических многогранников ис- пользуются следующие элементы симметрии: центр симметрии, плоскость симметрии, оси симметрии. Все элементы симметрии пе- ресекаются в одной точке центре тяжести многогранника. Такая симметрия называется . Рассмотрим действие различных элементов симметрии.

1.2.1. Центр симметрии

Центром симметрии называется воображаемая точка внутри объ- екта, по обе стороны от которой на равных расстояниях находятся

4

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

равные точки. В многогранниках, обладающих центром симметрии, каждой грани обязательно соответствует антипараллельная грань, т.е. параллельная исходной грани, равная ей по форме и величине и развернутая на 180° относительно исходной (рис. 1.1, а). Если хотя бы для одной грани нельзя найти соответствующую eй антипарал- лельную грань, то центра симметрии в таком многограннике нет.

Рис. 1.1. Действие центра симметрии: многогранник, обладающий центром симметрии (а), треугольники, связанные центром симметрии (б)

При отражении в центре симметрии (рис. 1.1, б), каждую точку треугольника АВD следует соединить прямой линией с центром сим- метрии и продолжить эти прямые по другую сторону от центра сим- метрии на равные расстояния, т.е. AС = СA', ВС = СВ', DС = СD', и тогда получится равный АВD и антипараллельный треугольник А'B'D'. На рис. 1.1, а показан многогранник, обладающий центром симметрии. Практически обнаружить наличие центра симметрии до- вольно просто. Для этого надо положить многогранник на стол по- очередно каждой гранью и отыскивать наверху грани, равные ниж- ним, параллельные плоскости стола и антипараллельные нижним граням.

1.2.2. Зеркальная плоскость симметрии

Зеркальной плоскостью симметрии называется такая воображае- мая плоскость, которая делит рассматриваемый объект на две зер- кально-равные части, соотносящиеся как предмет и его зеркальное

5

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

изображение. Далее термин «зеркальная» опускается (в точечной симметрии других плоскостей симметрии не рассматривается).

При отражении в плоскости симметрии из каждой точки фигуры (рис. 1.2) опускают перпендикуляр на плоскость симметрии, а затем продолжают его по другую сторону от плоскости симметрии и на равном расстоянии находят идентичную точку (АА', ВВ'). Части фи- гуры, находящиеся по обе стороны от плоскости, связаны друг с дру- гом как предмет и его зеркальное изображение.

Рис. 1.2. Действие зеркальной плоскости симметрии, которая перпендикулярна плоскости чертежа

Для нахождения плоскостей симметрии в кристаллических много гранниках их мысленно делят плоскостями на зеркально-равные час ти. На чертеже плоскость симметрии обозначается двойной линией Условные обозначения зеркальной плоскости симметрии приведены в табл. 1.1.

6

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

1.2.3. Поворотные оси симметрии

Поворотной осью симметрии называется такая воображаемая прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол поворота α внешний вид рассматриваемого объекта не меняется, т.е. объект как бы совмещается при повороте на угол α сам с собой.

Элементарный угол поворота α – минимальный при поворо- те на который вокруг оси симметрии фигура совмещается сама с со- бой. Число таких самосовмещений при полном повороте на 360° оп- ределяет порядок оси n, т.е.

Следует отметить, что в различных узорах, орнаментах, геометри- ческих фигурах, растениях возможны оси симметрии любых поряд- ков. Кристаллические же многогранники обладают только поворот- ными осями, порядок которых равен 1, 2, 3, 4, 6.

Для обозначения осей симметрии в учебной символике использу- ется буква L в сочетании с соответствующим цифровым индексом, указывающим порядок оси. В интернациональной символике пово- ротные оси симметрии обозначаются той арабской цифрой, которая равна порядку оси. Например, ось третьего порядка в учебной сим- волике записывается как L3, а в интернациональной 3. Условные обо- значения поворотных осей симметрии приведены в табл. 1.2.

_________

* Если ось симметрии наклонена к плоскости чертежа, то на стереографической проекции отображается ее выход только с верхней полусферы.

7

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

Приведенные на рис. 1.3 пирамиды имеют столько сходящихся в вер- шинах граней, каков порядок оси, проходящей через вершину пирамиды и основание, поскольку при повороте на углы соответственно 120°, 90°, 60° многогранники самосовместятся соответственно 3, 4 и 6 раз.

Рис. 1.3. Многогранники, обладающие осями симметрии L2 (а), L3 (б), L4 (в) и L6 (г)

1.2.4. Инверсионные оси симметрии

Инверсионной осью симметрии называется такая воображаемая прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый опреде- ленный угол α с последующим (или предварительным) отражением в центральной точке фигуры, как в центре симметрии, фигура совме- щается сама с собой. В зависимости от величины угла α различают инверсионные оси различных порядков. Инверсионные оси в интер- национальной символике обозначаются n , а в учебной Ln , где n –

цифра, соответствующая порядку оси. Инверсионная ось первого порядка осуществляет поворот на 360° и отражение в центральной точке фигуры, что фактически равнозначно действию центра сим- метрии. Действие инверсионной оси второго порядка равнозначно действию плоскости симметрии, перпендикулярной этой оси, поэто- му L2 как самостоятельный элемент симметрии обычно не рассмат-

ривают. Под действием оси L3 (рис. 1.4, а) все части многогранника

после поворота на 120° и отражения в центральной точке кристалли- ческого многогранника совмещаются сами с собой. При этом в мно-

8

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

гограннике можно обнаружить поворотную ось L3 и центр симмет- рии, поэтому L3 соответствует совокупности оси третьего порядка и

центра симметрии С ( L3 = L3 + C ).

Рис. 1.4. Многогранники, обладающие инверсионными осями симметрии L3 (а), L4 (б) и L6 (в)

Особый интерес вызывает ось L4 , которая совмещает все части

многогранника после поворота на 90° и отражения в центральной точке, как в центре симметрии (рис. 1.4, б при этом ни поворот- ной оси L4, ни центра симметрии, как самостоятельных элементов симметрии, у данного многогранника нет Инверсионная ось L4 все-

гда включает в себя поворотную ось L2, поэтому ось L2, как самостоя- тельный элемент симметрии, совпадающий с L4 , при записи симметрии

не учитывается. Ось L6 совмещает многогранник (рис. 1.4, в) путем

поворотов на 60° и отражения как в центре симметрии, что анало- гично повороту на 120° и отражению в плоскости симметрии, пер- пендикулярной оси L6 . Следовательно, ось L6 можно заменить осью

L3 и перпендикулярной ей плоскостью Р. Итак:

L1 ≡ С ;

L2 ≡ P ;

9

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

L3 ≡ L3 + C ;

L4 – включает в себя ось L2;

L6 ≡ L3 + P .

Условные обозначения инверсионных осей симметрии приведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Инверсионные оси симметрии и их обозначения

1.2.5. Единичные и полярные направления

Повторяющиеся в кристалле направления, связанные элементами симметрии, называются симметрично-равными.

Наряду с ними в кристалле можно выделить не повторяющиеся (единичные) направления. Единичное направление – это такое на- правление, которое нельзя размножить, действуя на него элементами симметрии, присущими данному кристаллическому многограннику. Особо отметим, что единичное направление не означает «единствен- ное». Единичных направлений у кристалла может быть много, а мо- жет и не быть вовсе.

При исследовании многих физических свойств кристаллов важно понятие полярного направления. Полярное направление – направле- ние, концы которого не являются эквивалентными, т.е. их нельзя со- вместить никакими элементами симметрии, присущими данному кристаллическому многограннику.

Центр симметрии сохраняет единичные направления, но «унич- тожает» полярные, т.е. при наличии в кристалле центра симметрии полярные направления отсутствуют.

Если направление расположено косо по отношению к плоскости симметрии, то плоскость, зеркально отражая это направление, дает симметрично равное, таким образом, это направление не является

10