Контрольная.pdf электротехника

значениях одновременно и числителя, и знаменателя значение угла должно лежать в третьей четверти тригонометрического круга. Если же результат деления отрицательный, то калькулятор выдает ответ для угла в четвертой четверти, хотя при отрицательном знаменателе и положительном числителе правильное значение угла находится во второй четверти. За этим приходится следить самому расчетчику и иногда делать дополнительные поправки. Заметим так же, что показатель степени в последнем выражении записан в градусах, хотя с математической точки зрения это не корректно. Формулы преобразования алгебраической формы комплексного числа в показательную предполагают запись аргумента (показателя степени е) в радианах. В литературе же по использованию комплексного метода в электротехнических расчетах такая «вольность» допускается и привилась достаточно широко.

Найдем значения первого и второго определителей, заменив сначала первый столбец в главном определителе на столбец свободных членов, для нахождения второго определителя − второй столбец:

Найдем значения контурных токов и токов в ветвях.

51

I2 = I11 - I22 = (4,1 – j1,82) – (1,424 – j2,3) = 2,676 +j0,51 = 2,73ej10,77 .

Как видим, отличия очень небольшие, да и те, по-видимому, за счет округлений во время вычислений.

2.1.3. Проверка баланса мощности

Полная комплексная мощность всей цепи равна:

S = U I* = 120 4,5ej23 55 = 540 ej23 55 ,

где I*1 – число комплексно-сопряженное комплексу действующего значения тока I1 , потребляемого от источника.

Для получения I*1 – надо изменить знак перед мнимой частью I1 в алгебраической форме или перед показателем степени е в показательной (экспоненциальной) форме.

Для определения значений активной и реактивной мощностей представим полную комплексную мощность в алгебраической форме.

Иная запись этого же действия выглядит так:

Pист = Re[U I1*] = Re[120 4,5 ej23 55 ] =120 4,5cos 23 55 = 494 [Вт]; Qист = Im[U I*] = Im [120 4,5ej23 55 ] = 120 4,5sin23 55 =218 [ваp].

В этом случае Re означает реальную часть комплексного числа (произведения U I1*), а Im – мнимую часть.

Отметим, что значение полной мощности измеряется в вольт-амперах (В·А), а реактивная – в вольт-амперах реактивных (вар).

Значения активной и реактивной мощности можно найти и по другому, как мощности, потребляемые отдельными потребителями цепи:

P1 = R1I12 = 10 4,52 = 202 Вт; P2 = R2I22 = 180 Вт; P3 = R3I32 = 112 Вт;

52

Q1 = X1 I12 = 6 4,52 = 122 вар; Q2 = X2 I22= -52,5 вар; Q3=X3 I32 =150 вар. Pпотр = P1 +P2+P3 = 202 + 180 + 112 = 492 Вт,

Qпотр = Q1+Q2+Q3 = 122 – 52,5 + 150 = 224,5 вар.

Как видим баланс активной мощности сошелся точно, а для реактивной мощности расхождение составляет около 3%. По-видимому, ошибка набежала за счет округлений при расчетах. В целом можно считать, что баланс мощности сошелся удовлетворительно.

Эти равенства значений для активной и реактивной мощностей источников и потребителей называются балансом мощности и, в частности, могут служить проверкой правильности решения задачи. Суть в том, что в силу закона сохранения энергии суммы активных и реактивных мощностей, выданных источниками, должны быть равны суммам значений активных и реактивных мощностей, израсходованных потребителями.

2.1.4. Построение топографической диаграммы

На рисунке 2.54 приведена векторная диаграмма токов, совмещенная с топографической диаграммой потенциалов цепи. Порядок ее построения следующий.

Строим оси комплексной плоскости: ось действительных (как правило, горизонтальная ось) и ось мнимых (как правило, вертикальная ось). Выбрав удобный масштаб для тока, из начала координат проводим векторы Ī1, Ī2 и Ī3. Можно воспользоваться алгебраической формой записи комплексных значений напряжений и токов, откладывая по осям действительные и мнимые части комплексных изображений этих токов, можно использовать показательную форму, тогда вектор, изображающий соответствующий ток I = Iej i, откладывается из начала координат под углом i к оси действительных (против часовой стрелки, если i > 0, и по часовой, если I < 0). Это и будет векторной диаграммой токов. Конечно,

53

при правильном решении должен выполняться 1-й закон Кирхгофа в векторной и в комплексной формах: I1 = I2 + I3 или Ī1 + Ī2 = Ī3.

Топографическая диаграмма напряжений показывает на комплексной плоскости значения комплексных потенциалов всех точек цепи, разделенных какими-либо элементами. Отрезки, соединяющие точки на этой диаграмме, представляют собой векторные изображения на комплексной плоскости напряжений между соответствующими точками цепи. Надо только помнить, что в отличие от стрелок, изображающих напряжение на схеме цепи, векторы напряжений на топографической диаграмме направлены в сторону потенциала, обозначенного первым индексом напряжения. Так, вектор Ubс направлен от точки с к точке b.

Расчет самих комплексных потенциалов ведется почти так, как мы это делали для потенциальной диаграммы в задаче 1. Так, приняв потенциал нижней клеммы источника (или, что тоже, точки С) равным нулю, поместим его в начало координат комплексной плоскости. Ubc = b – c = b . Из последнего ясно, что найденное нами ранее значение Ubc как раз и есть потенциал точки «b» и может быть показан на комплексной плоскости в точке, на которую укажет вектор длиной, соответствующей в масштабе напряжению 68,4 В, проведенный под углом -5 30 к оси действительных. Путь тока между точками «b» и «c» может

54

лежать через две ветви, в каждой из которых есть своя точка, потенциал которой отличен как от b, так и от c. Это точки «e» и «f». Их потенциалы можно определить как

e = Uec =I2(-jXc) = 2,74ej10 45 (-j7) = 19,18e -j79 15 ,

иf = Ufc = I3 jXL3 = 2,74e-j58 35 j20 = 54,8ej31 25 .

При вычислениях надо помнить, что j = ej90 , а -j = e-j90 . Остается определить положение потенциалов точек «d» и «a». Имеем:

Udb = d - b = I1 jXL1 => d = b + Udb

d = b+ I1 jXL1 = 68,4e-j5 30 + 4,5e-j23 55 = 68,4cos5 30 –

-j 68,4 sin5 30 + 4,5 6cos(90 -23 55 ) + j 4,5 6sin(90 -23 55 ) =

=68,01 – j 6,56+11 + j 24,67 = 79 + j 18,1 [B];

a = d +I1 R1 = 79 + j18,1 + 4,5cos23 55 10 – j4,5sin23 55 10 = =120,14 – j0,13.

Как видим, мы пришли в точку, лежащую почти на оси действительных на расстоянии, соответствующем 120 В от начала координат (от точки ). Сюда мы и должны были прийти, если учесть, что напряжение между точками «a» и «c» по условию равно 120 В, а начальную фазу этого входного напряжения мы приняли равной нулю. Иначе говоря, закон Кирхгофа для комплексных значений напряжений и ЭДС выполняется по любому контуру цепи, включающему ЭДС источника, что с большой степенью вероятности подтверждает правильность наших расчетов напряжений и токов

55

2.1.5. Метод векторных диаграмм

Учитывая то, что контрольная работа по расчету электрических цепей синусоидального тока методом векторных дается студентам, изучающим теорию в меньшем объеме (им дается только понятие о комплексных изображениях синусоидальных напряжений, токов и ЭДС с недостаточным закреплением материала на практике), а стало быть менее подготовленным, а так же то, что метод векторных диаграмм имеет ряд особенностей, приведем ряд рекомендаций студентам по подготовке к выполнению задания.

Перед освоением метода векторных диаграмм надо повторить основные понятия, относящиеся к теории синусоидальных колебаний вообще и к теории цепей синусоидального тока в частности. Например, взять учебник [Л.1, Л.2], а в методических указаниях [Л.3] перечитать в них разделы 1.1., 1.2., 1.3. При этом формулы с комплексными изображениями токов, напряжений и сопротивлений можно пока опустить, а из остального материала надо повторить:

−формулы, описывающие синусоидальные колебания токов и напряжений;

−разобраться, где в этих формулах амплитуда, фаза, начальная фаза;

−связь этих формул с векторами, при вращении которых против часовой стрелки с угловой скоростью ω (в сторону увеличения углов) их проекция на вертикальную ось колеблется, как и сама синусоидальная величина;

−формулы сопротивлений индуктивности, емкости и активного

56

векторов действующих значений токов и напряжений, а для модулей действующих значений и амплитуд не выполняются;

− надо помнить из теории резонансных явлений при последовательном соединении индуктивности, емкости и активного сопротивления [Л.3. стр. 17, 18], что сопротивление ветви, в которую последовательно включены эти элементы вычисляется как

элемент или два отсутствуют, то в формуле пропадают соответствующие слагаемые;

-сдвиг фаз между током в этой ветви и напряжением, приложенным

кней ( U I ) вычисляется как arctg XR . При этом, если X X L X C

окажется отрицательным, то и сдвиг фаз будет меньше нуля, и тогда на векторной диаграмме вектор тока должен опережать вектор напряжения при вращении всей векторной диаграммы против часовой стрелки.

Как известно, активная мощность синусоидального тока,

Конечно, потребленная мощность должна быть сообщена этой цепи источником. В этом смысл проверки баланса мощностей. Для источника активная мощность, выдаваемая им, выражается, как Pист U I cos или если учесть, что выходное напряжение U идеального источника (оно же является входным напряжением для цепи) равно его ЭДС, то формула примет вид Pист Е I cos . При этом I − это входной ток для цепи или ток, потребляемый электрической цепью от источника. Мы будем обозначать его I1 , а буквой сдвиг фаз между входным напряжением

57

цепи U и этим током. Реактивная мощность, выдаваемая источником в цепь, вычисляется по аналогичной формуле Qист U I sin E I sin .

И, наконец, надо освежить в памяти правила сложения векторов. Обычно студенты лучше помнят правило параллелограмма, однако при таком способе сильно загромождается рисунок и предпочтительней использовать правило многоугольника, которое состоит в следующем. В конец первого вектора параллельно самому себе перемещается второй вектор так, чтобы его начало совпало с концом первого, третий вектор перемещается параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом второго и так до последнего слагаемого вектора. Вектор, представляющий собой сумму всех этих векторов, расположен между началом первого и концом последнего из складываемых векторов.

C A

D A B C

Рис. 2.55. Сложение векторов по правилу многоугольника. Слева складываемые векторы, справа получение вектора D как суммы трех

2.1.6. Пример расчета

Исходная схема и задание в примере остаются те же, что и для решения комплексным методом (см. стр. 46). Так что будем считать, что схема (рис. 2.51) нам задана вместе с данными, написанными под ней, и мы уже расставили стрелки, соответствующие условным положительным направлениям токов в ветвях и расставили жирные точки и обозначили их буквами на схеме в тех местах, в которых потенциалы отличны друг от друга. То есть точки, разделенные хотя бы одним активным или

58

реактивным сопротивлениями. В этом смысле две буквы «с» можно было бы и не писать, и они проставлены на схеме только для удобства рассмотрения напряжений на входе (напряжения источника) и напряжения на участке с параллельным соединением двух ветвей (второй

итретьей). Таким образом, решение начинаем со схемы, изображенной на рисунке 2.52.

Вычислим угловую частоту синусоидального напряжения источника

инайдем сопротивления реактивных элементов предложенной цепи.

цепи. Известно, что напряжение равно произведению тока на сопротивление, по которому он протекает.

Тогда U R3 I3 R3 1 15 15B , а U L3 I3 X L3 1 20 20В.

Здесь и дальше штрихи над искомыми величинами будут напоминать нам, что это пока не истинные значения токов и напряжений, а такие, какие должны были бы быть при произвольно выбранном нами значении третьего тока равном одному амперу.

Вот уже есть с чего начинать построение векторной диаграммы. Выберем для начала масштабы токов и напряжений. Как видим, приложенное к цепи напряжение источника равно 120 вольтам. Вряд ли напряжение на каком-то элементе нашей цепи будет больше 120 В. Так что если мы выберем масштаб для напряжений МU = 10 вольт в сантиметре, то самый длинный вектор напряжения будет 12 см. Как раз удобно рассматривать (не слишком мелко), и в то же время он вполне поместится на странице. С выбором масштаба для токов сложнее, так как ближе к источнику значения токов будут увеличиваться и пока неизвестно на сколько. Осторожности ради, чтобы дальнейшие изображения токов не

59

удобно иметь примерно от 10 х 10 см или до 15 х 15 см, с этим масштабами мы вполне впишемся в эти размеры.

Поскольку мы не связаны начальной фазой ЭДС и тем более начальной фазой тока I3 , мы можем пока направлять вектор тока I3 куда угодно. Пусть он будет направлен горизонтально вправо. Это соответствует значению 0˚ его начальной фазы φi3.

Как известно, фаза напряжения на индуктивности на 90˚ больше фазы тока, протекающего по ней. Поэтому вектор напряжения U L3 повернут относительно вектора тока против часовой стрелки на 90˚, то есть, направлен вверх. Вектор же напряжения на активном сопротивлении должен быть направлен в ту же сторону, что и ток, то есть параллельно вектору тока I3 .

UR3

UL3

I3

Рис. 2.56. Начало построения векторной диаграммы

Заметим, что векторная сумма напряжений на третьем сопротивлении и третьей индуктивности – это напряжение на всей третьей ветви или напряжение между точками «b» и «с». На схеме буква «с» поставлена дважды для напоминания, что весь провод, обозначенный

Так как вторая ветвь включена параллельно третьей, то и к ней приложено такое же напряжение. Сопротивление второй ветви, с учетом

60