А.Х.Найфэ.Методы возмущений

Предисловие редактора перевода

5

Предисловие

7

Глава 1. Введение

9

1.1. Возмущения по параметру

10

1.1.1. Алгебраическое уравнение

10

1.1.2. Осциллятор Ван-дер-Поля

11

1.2. Возмущения по координате

13

1.2.1. Уравнение Бесселя нулевого порядка

13

1.2.2. Простой пример

15

1.3. Символы порядка и калибровочные функции

15

1.4. Асимптотические разложения и последовательности

18

1.4.1. Асимптотические ряды

18

1.4.2. Асимптотические разложения

21

1.4.3. Единственность асимптотических разложений

23

1.5. Сравнение сходящегося и асимптотического рядов

24

1.6. Неравномерные разложения

25

1.7. Простейшие действия над асимптотическими разложениями

28

Упражнения

29

Глава 2. Прямые разложения и источники неравномерности

33

2.1. Бесконечные области

34

2.1.1. Уравнение Дюффинга

34

2.1.2. Модель слабой нелинейной неустойчивости

35

2.1.3. Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла

36

2.1.4. Обтекание сферы при малых числах Рейнольдса

39

2.2. Малый параметр при старшей производной

41

2.2.1. Пример второго порядка

41

2.2.2. Обтекание тела при больших числах Рейнольдса

43

2.2.3. Релаксационные колебания

45

2.2.4. Несимметричный изгиб предварительно напряженных

46

кольцевых пластин

2.3. Изменение типа дифференциального уравнения в частных производных

48

2.3.1. Простой пример

48

2.3.2. Длинные волны на поверхности жидкости, стекающей по

49

наклонной плоскости

2.4. Наличие особенностей

53

2.4.1. Сдвиг особенности

53

2.4.2. Задача о космическом корабле Земля — Луна

54

2.4.3. Термоупругие поверхностные волны

56

2.4.4. Задача с точкой возврата

59

2.5. Роль координатных систем

60

Упражнения

63

Глава 3. Метод растянутых координат

67

3.1. Метод растянутых параметров

69

3.1.1. Метод Линдштедта — Пуанкаре

69

3.1.2. Переходные кривые для уравнения Матьё

71

3.1.3. Характеристические показатели для уравнения Матьё (метод

74

Уиттекера)

3.1.4. Устойчивость треугольных точек в эллиптической ограниченной

76

задаче трех тел

3.1.5. Характеристические показатели для треугольных точек

в эллиптической ограниченной задаче трех тел

79

3.1.6. Простая линейная задача на собственные значения

81

3.1.7. Квазилинейная задача на собственные значения

84

3.1.8. Квазилинейное уравнение Клейна — Гордона

89

3.2. Метод Лайтхилла

90

3.2.1. Дифференциальное уравнение первого порядка

92

3.2.2. Одномерная задача о космическом корабле Земля — Луна

96

3.2.3. Твердый цилиндр, равномерно расширяющийся в неподвижном

97

воздухе

3.2.4. Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла

100

3.2.5. Разложения с использованием точных характеристик:

103

нелинейные упругие волны

3.3. Метод Темпла

108

3.4. Метод перенормировки

109

3.4.1. Уравнение Дюффинга

ПО

3.4.2. Модель слабо нелинейной неустойчивости

110

3.4.3. Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла

111

3.4.4. Сдвиг особенности

112

3.5. Ограничения метода растянутых координат

ИЗ

3.5.1. Пример слабо нелинейной неустойчивости

114

3.5.2. Малый параметр при высшей производной

115

3.5.3. Задача о космическом корабле Земля — Луна

117

Упражнения

118

Глава 4. Метод сращивания асимптотических разложений и составные

124

разложения

4.1. Метод сращивания асимптотических разложений

125

4.1.1. Введение: метод Прандтля

125

4.1.2. Высшие приближения и усовершенствованные процедуры

128

сращивания

4.1.3. Уравнение второго порядка с переменными коэффициентами

136

4.1.4. Уравнение Рейнольдса для скользящей опоры

140

4.1.5. Несимметричный изгиб предварительно напряженных

142

кольцевых пластин

4.1.6. Термоупругие поверхностные волны

148

4.1.7. Задача о космическом корабле Земля — Луна

151

4.1.8. Обтекание сферы при малых числах Рейнольдса

154

4.2. Метод составных разложений

159

4.2.1. Уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

160

4.2.2. Уравнение второго порядка с переменными коэффициентами

163

4.2.3. Краевая задача с начальными условиями для уравнения

166

теплопроводности

4.2.4. Ограничения метода составных разложений

168

Упражнения

170

Глава 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения

174

5.1. Вариация произвольных постоянных

175

5.1.1. Решения уравнения Шредингера, зависящие от времени

175

5.1.2. Пример нелинейной устойчивости

177

5.2. Метод усреднения

180

5.2.1. Методика Ван-дер-Поля

180

5.2.2. Методика Крылова — Боголюбова

181

5.2.3. Обобщенный метод усреднения

183

5.3. Методика Страбла

187

5.4. Методика Крылова — Боголюбова — Митропольского

189

5.4.1. Уравнение Дюффинга

190

5.4.2. Осциллятор Ван-дер-Поля

192

5.4.3. Уравнение Клейна — Гордона

193

5.5. Метод усреднения с использованием канонических переменных

195

5.5.1. Уравнение Дюффинга

198

5.5.2. Уравнение Матьё

199

5.5.3. Качающаяся пружина

201

5.6. Методика фон Цайпеля

205

5.6.1. Уравнение Дюффинга

208

5.6.2. Уравнение Матьё

210

5.7. Усреднение с использованием рядов и преобразований Ли

216

5.7.1. Ряды и преобразования Ли

217

5.7.2. Обобщенные алгоритмы

218

5.7.3. Упрощенные общие алгоритмы

223

5.7.4. Схема процедуры

225

5.7.5. Алгоритмы для канонических систем

229

5.8. Усреднение с использованием лагранжианов

233

5.8.1. Модель диспергирующих волн

234

5.8.2. Модель взаимодействия волна — волна

237

5.8.3. Нелинейное уравнение Клейна — Гордона

239

Упражнения

240

Глава 6. Метод многих масштабов

245

6.1. Описание метода

245

6.1.1. Метод многих переменных (процедура разложения

254

производной)

6.1.2. Процедура разложения по двум переменным

258

6.1.3. Обобщенный метод — нелинейные масштабы

259

6.2. Приложения метода разложения производной

262

6.2.1. Уравнение Дюффинга

262

6.2.2. Осциллятор Ван-дер-Поля

264

6.2.3. Вынужденные колебания осциллятора Ван-дер-Поля

267

6.2.4. Параметрический резонанс — уравнение Матьё

272

6.2.5. Осциллятор Ван-дер-Поля с запаздывающей амплитудой

276

6.2.6. Устойчивость треугольных точек в эллиптической ограниченной

279

задаче трех тел

6.2.7. Качающаяся пружина

281

6.2.8. Модель для слабой нелинейной неустойчивости

284

6.2.9. Модель взаимодействия волна — волна

286

6.2.10. Ограничения метода разложения производной

288

6.3. Процедура разложения по двум переменным

290

6.3.1. Уравнение Дюффинта

290

6.3.2. Осциллятор Ван-дер-Поля

292

6.3.3. Устойчивость треугольных точек в эллиптической ограниченной

295

задаче трех тел

6.3.4. Ограничения рассматриваемой методики

296

6.4. Обобщенный метод

296

6.4.1. Уравнение второго порядка с переменными коэффициентами

296

6.4.2. Общее уравнение второго порядка с переменными

301

коэффициентами

6.4.3. Линейный осциллятор с медленно меняющейся

303

восстанавливающей силой

6.4.4. Пример с точкой возврата

305

6.4.5. Уравнение Дюффинга с медленно меняющимися

308

коэффициентами

6.4.6. Динамика входа

312

6.4.7. Задача о космическом корабле типа Земля — Луна

316

6.4.8. Модель диспергирующих волн

319

6.4.9. Нелинейное уравнение Клейна — Гордона

322

6.4.10. Преимущества и ограничения обобщенного метода

324

Упражнения

325

Глава 7. Асимптотические решения линейных уравнений

329

7.1. Дифференциальные уравнения второго порядка

330

7.1.1. Разложения в окрестности нерегулярной особенности

330

7.1.2. Разложение функции Бесселя нулевого порядка для больших

334

значений аргумента

7.1.3. Задача Лиувилля

336

7.1.4. Высшие приближения для уравнений, содержащих большой

337

параметр

7.1.5. Малый параметр при старшей производной

339

7.1.6. Однородные задачи с медленно меняющимися коэффициентами

340

7.1.7. Динамика входа снаряда

342

7.1.8. Неоднородные задачи с медленно меняющимися

343

коэффициентами

7.1.9. Последовательные приближения Лиувилля — Грина (ВКБ-

346

приближения)

7.2. Системы обыкновенных уравнений первого порядка

348

7.2.1. Разложения в окрестности иррегулярной особой точки

348

7.2.2. Асимптотическое разбиение систем уравнений

349

7.2.3. Субнормальные решения

353

7.2.4. Системы, содержащие параметр

355

7.2.5. Однородные системы с медленно меняющимися

356

коэффициентами

7.3. Задачи с точкой возврата

358

7.3.1. Метод сращивания асимптотических разложений

359

7.3.2. Преобразование Лангера

363

7.3.3. Задачи с двумя точками возврата

366

7.3.4. Задачи с точками возврата высших порядков

369

7.3.5. Высшие приближения

370

7.3.6. Неоднородная задача с простой точкой возврата — первое

376

приближение

7.3.7. Неоднородная задача с простой точкой возврата— высшие

378

приближения

7.3.8. Неоднородная задача с точкой возврата второго порядка

382

7.3.9. Задачи с особенностями в точках возврата

383

7.3.10. Задачи высшего порядка с точками возврата

385

7.4. Волновые уравнения

386

7.4.1. Разложение Борна — Неймана и диаграммы Фейнмана

387

7.4.2. Методы перенормировки

393

7.4.3. Метод Рытова

399

7.4.4. Приближение геометрической оптики

400

7.4.5. Равномерное разложение на каустике

403

7.4.6. Метод сглаживания

407

Упражнения

409

Список литературы

413

Предметный указатель

447

Предметный указатель

Автоколебания 103

— на воде 67, 68, 69, 89, 234, 251, 252

Алгоритм для канонических систем

— ударные 63, 91, 97, 98, 99, 114,

229—233

116, 253

— Кемела 186

— упругие 103, 108

Аномалия 92

Вронскиан 175

Асимптотическая

Вырождение 84—86

последовательность 21, 23, 25,

Гамильтониан 195, 198, 199, 202,

28

205— 216, 218, 229—233, 241,

— — по дробным степеням 151

242

— — содержащая логарифмы 151,

Гармонический баланс 236

159

— резонанс 237—238, 252, 281—288

— — факториальная 21

Гауссиан 389, 392, 395, 398

Асимптотические ряды 18—20, 24—

Геометрическая оптика 330, 387,

25

400—403, 406

Асимптотическое разбиение систем

Геофизика 125

уравнений 349—353

Гидравлический прыжок 103

— разложение 21, 23, 28—29, 33, 92,

Граница тени 405

— — равномерное 27—29

Движение непериодическое 204, 253

— — расходящееся 25

— периодическое 204

— условие сращивания, см.

Диаграмма 390—392

Сращивание асимптотических

— «голая» 390

разложений

— двойная 390

Аэродинамика 125, 253

— «одетая» 391

Броуновское движение 253

— связанная 396, 397, 399

Быстропериодическая часть 184—

Динамика снаряда 251, 312—316,

207, 231

342—343

Вариационный подход 233—240, 244

Дисперсионное соотношение 193,

Вариация произвольных постоянных

234, 236, 237, 238, 240, 244, 286,

63, 174—240

322

Вековые члены 33—36

Дифракция 370, 406

— — исключение 78, 80, 280, 309,

— Френеля 407

323

Жесткость на изгиб 47

Вибрация 250, см. также Колебания,

Задача Бенара 90

Волны

— Гретца 411

ВКБ-приближение 59, 329, 337, 342,

— двух тел 217

346—347, 358, 362, 410

— Дирихле 48

Возмущение координат 13—15

— для уравнения теплопроводности

— параметров 10—12, 329

166—168

Волна Россби 90, 252

— Лиувилля 336

Волновое число 69, 89, 285

— на собственные значения,

Волны 69, 71, 89, 91, 103, 233, 234,

линейная 81—84

251, 252

— — — нелинейная 84—88

— — ограничения 79, 113—114, 122,

— — — — приложение к задачам о

123

точках возврата 359—362

— Латты 159—168

— Страбла 187—189, 192, 199, 210,

— Линдштедта — Пуанкаре 67, 68,

240

69—71, 109, 110, 201, 216

— — ограничения 189

— линеаризации 69, 108—109

— Стюарта — Ватсона — Экхауса

— многих масштабов 62, 111, 115,

177—179

168, 245—328, 337, 339—342,

— Темпла 68, 108—109

362, 385, 394, 405, 411

— Уизема 234—240

— — — обобщенная форма 249,

— Уиттекера 74—76, 79—81, 119,

259— 262, 296—324

201, 216

————— ограничения 324—325

— усреднения 174—244

— перенормировки 68, 109—113,

— — обобщенный 183—186, 207,

118—122, 330, 387, 393—399

228, 240—242

— Прандтля 125, 128

— Фробениуса 13, 332

— Притуло, см. Метод

— характеристик 400

перенормировки

Механика полета 250

— Пуанкаре — Лайтхилла — Го, см.

Модель нелинейной неустойчивости

Метод Лайтхилла

35—36, 61, 66, 110, 111, 114,

— разложения двух переменных 262,

115, 284—286

324

— Томаса — Ферми 253

— — — — ограничения 296

Модуль Юнга 47

— — — — описание 248, 258—259

Наложение 127, 134

— разложения производной 324

Начальный слой 33

— — — ограничения 288—290

Небесная механика 250

— — — описание 247, 254—258

Неравномерность

разложений 25—

— растянутых координат 62, 63, 67—

27, 34—41, 43, 45, 48, 49, 53, 55,

124, 129, 171, 253, 324

57—66, 114, 140, 151, 246, 305,

— — — ограничения 92, 113—118,

306, 337, 358, 393, 403—404

122—124, 324, 325

Несимметричный

изгиб пластины

— — параметров 67, 69—91, 111,

46— 48, 142—148, 171

113, 114, 118, 120

Неустойчивость 91, 288, см. также

— Ритца — Галеркина 70

Модель

нелинейной

— Рытова 387, 399—400

неустойчивости

— Рэлея — Шредингера 67, 81, 84

— Рэлея — Тэйлора 90, 252

— сглаживания 330, 387, 407—409

Нормальное решение 69, 71, 79, 332,

— составных разложений 159—170,

348, 354

340

Область бесконечная 34—41

— — — ограничения 168—170

— внешняя 127, 136

— сращивания асимптотических

— внутренняя 127, 137, 162, 168

разложений 48, 58, 63, 92,

— краевого эффекта 125

124—159, 163, 168, 170, 253,

— неравномерности 26, 27, 29, 33,

339, 370, 405, 411

131, 148, 152, 155, 305, 359,

— — — — ограничения 171, 324, 362

403—407

Обобщенный вектор 195

Перенормировка Борна 393—399

Оболочка 251

Переходная кривая для точек

Обтекание сферы 39—41, 154—159,

либрации 76—81, 279—281, 295

173

— — для уравнения Матье 71—76,

— тела 43—44, 127

199—201, 210—216, 272—276

Оператор интенсивности 398

Период 184, 207

— массы 398, 408

Плазма 69, 91, 233, 234, 251, 252, 393

— самосопряженный 178, 179

Пластичность 104

— сопряженный 179

Поверхностный слой 125

— Фаа де Бруно 208

Пограничный слой 27, 33, 44, 92, 125,

Оптимальное управление 92

126, 162, 250, 378

Орбиты 76

— — расположение 129—131, 137,

Особая точка, определение 330—331

142—147

—

—

разложение

вблизи

Потенциал 36, 97, 103

нерегулярной 330—333,

348—

Поток в канале 66, 234

349

— гиперзвуковой 91

— — регулярная 13, 331

— по наклонной плоскости 48—53,

Особенность 16, 33, 43, 48, 54, 55, 94,

113

95, 97, 99, 100, 117, 151, 383—

Предел внешний 126, 131, 134, 143,

385

153, 160

Осцилятор Ван-дер-Поля 11—12,

— внутренний 126, 132, 134, 144,

45—46, 64, 65, 118, 183, 185—

145, 153

186, 192— 193, 226—229, 240,

— Озеена 155

241, 264—266 276—279, 292—

— приемлемый 359

295, 325, 326

— промежуточный 134

— линейный демпфируемый 244—

— Стокса 155

262

Предельный цикл, точка, решение 46,

Парадокс Уайтхеда 41

114, 123

Параметр большой 337, см. также

Преобразование Депри 218

Точка возврата

— каноническое 196, 206, 207, 215

— возмущения 10—12, 25, 329, см.

— Лангера 329, 370, 374, 411

также Малый параметр при

— — обобщение 365

старшей производной, Метод

— Ли 217

растянутых параметров

— Лиувилля — Грина 59, 337, 363

— характеристик 103, 108

— Олвера 365, 411, 412

Параметризация 101, 105

— почти тождественное 62, 68, 184,

Переменная внешняя 134, 135, 159,

206, 217

160

Преобразование растяжения 125, 128,

— внутренняя 134, 135, 159, 165, 169

129, 131, 132, 137—138, 148,

— — выбор, 129—131, 137—138,

152— 153, 166, 305, 359, 403—

141, 148—149, 152—153

404

— — обобщенная 161

— сжатия 155

— Озеена 158

— фон Цайпеля 186, 207, 214, 218

— Стокса 159

— Хори 218