1. Элементарные преобразования матриц. Произведение матриц.

2. 3. 5. Определители матриц. Основные свойства определителей матриц. Вычисление матриц, минор и алгебраическое дополнение.

4.Обратная матрица. Вычисление и свойства

6.Ранг матрицы, вычисление

7. СЛАУ. Исследование СЛАУ

8. Теорема Кронекера-Капелли. Формулы Крамера решения СЛАУ

9. Метод Гауса

10. Матричный метод решения СЛАУ

11. Системы лин. Однородных уравнений

12. Свойства линейных операций над векторами

13. Проекция вектора на ось. Координаты вектора

14. Действия над векторами, заданными координатами

15. Вычисление координат вектора АВ по координатам точек

16. Скалярное произведение двух векторов, свойства, вычисление

17.Линейное действительное пространство. Линейная зависимость и независимость

Векторное (линейное) пространство - математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трехмерного пространства.

Векторным пространством (над полем R или C) называют множество L, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные (комплексные) числа, удовлетворяющие следующим условиям: 1) x + y = y + x (коммутативность сложения); 2) (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения); 3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x для любого вектора x; 4) для любого вектора x существует противоположный ему вектор y такой, что x + y = 0; 5) 1∙x = x; 6) α(βx) = (αβ)x (ассоциативность умножения); 7) (α + β)x = αx + βx (дистрибутивность относительно числового множителя); 8) α(x + y) = αx + αy (дистрибутивность относительно векторного множителя).

Два вектора плоскости линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Пусть будет линейное пространство над полем и . называется линейно независимым множеством, если любое его конечное подмножество является линейно независимым.

Конечное множество называется линейно независимым, если единственная линейная комбинация, равная нулю, тривиальна, то есть состоит из факторов, равных нулю:

Если существует такая линейная комбинация с минимум одним , называется линейно зависимым. Обратите внимание, что в первом равенстве подразумевается , а во втором .

18.Размерность и базис линейного уравнения. Изоморфизм линейных пространств

Понятия размерности и базиса векторного пространства напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что рекомендуем при необходимости обращаться к статьелинейная зависимость системы векторов, свойства линейной зависимости и независимости.

Определение.

Размерностью векторного пространства называется число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Определение.

Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

Приведем некоторые рассуждения, основываясь на этих определениях.

Рассмотрим пространство n-мерных векторов.

Покажем, что размерность этого пространства равна n.

Возьмем систему из n единичных векторов вида Примем эти векторы в качестве строк матрицыА. В этом случае матрица А будет единичной матрицей размерности n на n. Ранг этой матрицы равен n (при необходимости смотрите статьюранг матрицы: определение, методы нахождения). Следовательно, система векторов линейно независима, причем к этой системе нельзя добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости. Так как число векторов в системеравноn, то размерность пространства n-мерных векторов равна n, а единичные векторы являются базисом этого пространства.

Из последнего утверждения и определения базиса можно сделать вывод, что любая системаn-мерных векторов, число векторов в которой меньше n, не является базисом.

Теперь переставим местами первый и второй вектор системы . Легко показать, что полученная система векторовтакже является базисомn-мерного векторного пространства. Составим матрицу, приняв ее строками векторы этой системы. Эта матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первой и второй строк, следовательно, ее ранг будет равен n. Таким образом, система из n векторов линейно независима и является базисомn-мерного векторного пространства.

Если переставить местами другие векторы системы , то получим еще один базис.

Если взять линейно независимую систему не единичных векторов, то она также является базисом n-мерного векторного пространства.

Таким образом, векторное пространство размерности n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n n-мерных векторов.

Если говорить о двумерном векторном пространстве (то есть, о плоскости), то ее базисом являются два любых не коллинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства являются три любых некомпланарных вектора.

Говорят, что между элементами двух множеств иустановленовзаимно однозначное соответствие, если указано правило, которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент, при чем каждый элементоказывается сопоставленным одному и только одному элементу. Взаимно однозначное соответствие будем обозначать, а соответствующие элементы:.

Два линейных пространства иназываютсяизоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что выполняются условия:

1) сумме векторов пространства соответствует сумма соответствующих векторов пространства

2) произведению числа на вектор пространства соответствует про изведение того же числа на соответствующий вектор пространства

Другими словами, изоморфизм — это взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейные операции.