algebra1

операция, ставящая в соответствие паре элементов x; y 2 G элемент xy 2 G и удовлетворяющая только аксиоме ассоциативности, назы-

вается полугруппой. В любой полугруппе определено произведение только двух сомножителей; поэтому, когда число сомножителей больше 2, в произведении необходимо расставлять скобки, показывающие, в каком порядке выполняются действия. Например, можно рассматривать такие произведения шести элементов группы:

((((xy)z)t)u)v; ((x(yz))(tu))v; x((yz)(t(uv))); : : :

При увеличении числа сомножителей выражения становятся еще более громоздкими и их количество быстро возрастает. Хотя во всех этих выражениях каждый раз нам приходится перемножать лишь два элемента, при большом числе сомножителей сразу понять, в каком порядке надо выполнять действия, очень трудно. Поэтому совершенно естественным представляется выбрать какой-то один порядок действий, и записывать произведение нескольких элементов, выполненное именно в этом порядке, вообще без скобок. Мы определим произведение g1g2 : : : gn нескольких элементов g1; g2; : : : ; gn 2 G èí-

дукцией по n, положив при n > 1

g1 : : : gn 1gn = (g1 : : : gn 1)gn:

Таким образом,

g1g2g3 = (g1g2)g3; g1g2g3g4 = ((g1g2)g3)g4; g1g2g3g4g5 = (((g1g2)g3)g4)g5; : : :

Предложение 6. Для любых элементов g1; : : : ; gm; gm+1; : : : ; gn èç полугруппы G (1 m < n) выполняется соотношение

(g1 : : : gm)(gm+1 : : : gn) = g1 : : : gmgm+1 : : : gn:

Доказательство. Индукция по n m; для n = m + 1 утверждение совпадает с определением длинного произведения g1 : : : gmgm+1. Пусть n > m + 1 и уже доказано, что

(g1 : : : gm)(gm+1 : : : gn 1) = g1 : : : gmgm+1 : : : gn 1;

тогда, пользуясь индуктивным определением длинного произведения, ассоциативностью умножения в полугруппе, предположением индукции и снова определением длинного произведения, получаем:

(g1 : : : gm)(gm+1 : : : gn 1gn) = (g1 : : : gm)((gm+1 : : : gn 1)gn) =

=((g1 : : : gm)(gm+1 : : : gn 1))gn = (g1 : : : gmgm+1 : : : gn 1)gn =

=g1 : : : gmgm+1 : : : gn 1gn:

321

Следствие. При любой расстановке скобок в произведении элемен- тов группы g1; g2; : : : ; gn, расположенных в указанном порядке, это произведение равно g1g2 : : : gn. Таким образом, произведение не зависит от расстановки скобок.

Доказательство. Индукция по n. При n = 1; 2 утверждение бессодержательно; пусть n > 2 и утверждение уже доказано для произведений меньшего, чем n, числа сомножителей. При любой расстановке

скобок всегда имеется последнее умножение двух ранее вычисленных произведений, то есть наше произведение имеет вид

P = (g1g2 : : : gm)(gm+1 : : : gn);

где 1 m < n, скобки внутри произведений g1g2 : : : gm, gm+1 : : : gn элементов g1; g2; : : : ; gm и, соответственно, элементов gm+1; : : : ; gn ðàñ- ставлены произвольным образом. Тогда по предположению индукции

èпо предложению 6 мы получаем, что

P = (g1g2 : : : gm)(gm+1 : : : gn) = (g1g2 : : : gm)(gm+1 : : : gn) =

=g1g2 : : : gmgm+1 : : : gn:

2 Обратные элементы

Этот пункт посвящен простейшим правилам обращения с обратными элементами группы. Частные случаи этих правил у нас уже неоднократно встречались.

Предложение 7. Пусть G группа.

(1)Для любого g 2 G выполняется равенство (g 1) 1 = g.

(2)e 1 = e.

(3)Для любых g1; g2; : : : ; gn 2 G выполняется равенство

(g1g2 : : : gn) 1 = gn 1 : : : g2 1g1 1:

Доказательство. По определению обратного элемента g 1

ного элемента e выполняются равенства gg 1 = g 1g = e, ee = e; они показывают, что g обратный к g 1 элемент, а e обратный к e элемент, то есть (g 1) 1 = g, e 1 = e. Тем самым утверждения (1) и (2) доказаны. Утверждение (3) докажем индукцией по n; сначала

322

рассмотрим случай n = 2. Пользуясь следствием предложения 6, мы получим для любых x; y 2 G равенства

(xy)(y 1x 1) = x(yy 1)x 1 = xex 1 = xx 1 = e; (y 1x 1)(xy) = y 1(x 1x)y = y 1ey = y 1y = e;

которые показывают, что y 1x 1 обратный к xy элемент, или. иначе говоря, (xy) 1 = y 1x 1

Пусть n > 2 и утверждение уже доказано для n 1 сомножителей;

тогда, используя уже рассмотренный случай двух сомножителей и предположение индукции, получаем:

(g1 : : : gn 1gn) 1 = ((g1 : : : gn 1)gn) 1 = gn 1(g1 : : : gn 1) 1 =

= gn 1(gn 11 : : : g1 1) = gn 1gn 11 : : : g1 1

(последнее преобразование состояло в применении соотношения обобщенной ассоциативности из предложения 6).

3 Степени элемента

Пусть G произвольная группа, и пусть g 2 G. Мы сейчас определим, что такое степень элемента g с произвольным целым показателем n 2 Z:

группы G.

Доказательство. При n = 0 утверждение тривиально, потому что оба элемента gn, g n равны единичному элементу группы G. Если n > 0, то по предложению 7 элемент g n = g 1 : : : g 1g 1 является

обратным к элементу gn = gg : : : g. Åñëè n < 0, òî n > 0, è ïî óæå

|{z}

n

доказанному элемент gn = g ( n) является обратным к элементу g n.

Предложение 8. Пусть g элемент группы G. Тогда для любых m; n 2 Z выполняется соотношение gmgn = gm+n.

323

Доказательство. Утверждение тривиально, если m = 0 или n = 0:

g0gn = e gn = gn = g0+n; gmg0 = gm e = gm = gm+0:

Если числа m; n оба положительны, то по предложению 6

gmgn = (gg : : : g)(g : : : g) = gg : : : g = gm+n:

|{z} |{z} |{z}

mn m+n

Аналогично, если m; n отрицательны, то

gmgn = (g 1g 1 : : : g 1)(g 1 : : : g 1) = g 1g 1 : : : g 1 = gm+n:

доказанного следует, что g mgn+m = gn

gmgn = gm(g mgn+m) = (gmg m)gn+m = e gn+m = gn+m:

В случае m < 0, n > 0 утверждение доказывается аналогично.

Следствие. Степени элемента g из группы G перестановочны друг с другом и образуют абелеву подгруппу группы G.

Доказательство. Обозначим множество всех степеней элемента g через <g>. Это множество непусто, потому что, например, g 2<g>. Далее, для любых x; y 2<g> существуют такие m; n 2 Z, что x = gm, y = gn, и потому

x 1y = (gm) 1gn = g mgn = g m+n 2<g> :

Таким образом, множество <g> подгруппа G. Эта подгруппа абелева, потому что для любых элементов x=gm, y =gn из <g> будет

xy = gmgn = gm+n = gn+m = gngm = yx:

Подгруппа <g> группы G, определенная в только что доказанном следствии, называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом g 2 G.

Предложение 9. Пусть g элемент группы G. Тогда для любых m; n 2 Z выполняется соотношение (gm)n = gmn.

324

Доказательство. Утверждение тривиально при n = 0 обе части доказываемого равенства равны в этом случае e. Пусть n > 0 и уже доказано, что (gm)n 1 = gm(n 1), (gm) n+1 = gm( n+1). Тогда, пользу-

ясь предложением 8, индукционным предположением и опять предложением 8, получаем:

(gm)n = (gm)n 1gm = gm(n 1)gm = gm(n 1)+m = gmn;

(gm) n = (gm) n+1(gm) 1 = gm( n+1)g m = gm( n+1) m = gm( n):

4 Коммутирующие элементы

Мы говорим, что элементы g; h полугруппы G коммутируют (или, иначе, перестановочны друг с другом), если gh = hg.

Лемма 2. Пусть G полугруппа, и пусть g1; : : : ; gn; h элементы из G. Если каждый из элементов gi коммутирует с h ( 1 i n), то произведение g1 : : : gn тоже коммутирует с h.

Доказательство. При n = 1 утверждение бессодержательно. Пусть n > 1 и уже доказано, что (g1 : : : gn 1)h = h(g1 : : : gn 1). Тогда

h(g1 : : : gn 1gn) = h((g1 : : : gn 1)gn) = (h(g1 : : : gn 1))gn =

=((g1 : : : gn 1)h)gn = (g1 : : : gn 1)(hgn) = (g1 : : : gn 1)(gnh) =

=((g1 : : : gn 1)gn)h = (g1 : : : gn 1gn)h:

Лемма 3. Пусть G полугруппа, и пусть g1; : : : ; gn; h1; : : : ; hm элементы из G. Если каждый из элементов gi коммутирует с каж- дым из элементов hj (1 i n, 1 j m), то и произведения g1 : : : gn, h1 : : : hm тоже коммутируют.

Доказательство. Сначала по лемме 2 получаем, что каждый из элементов hj коммутирует с произведением g = g1 : : : gn, а затем, приме- няя лемму 2 к элементам h1; : : : ; hm и g, находим, что коммутируют произведения h1 : : : hm è g = g1 : : : gn.

Предложение 10. Пусть G группа, и пусть g1; : : : ; gn ïî- парно коммутирующие элементы (это значит, что для любых i; j, 1 i; j n элементы gi è gj коммутируют). Тогда для любой перестановки (i1; : : : ; in) индексов 1; : : : ; n произведения gi1 : : : gin è g1 : : : gn равны.

Доказательство. Индукция по n; при n = 1 утверждение бессодержательно. Пусть n > 1 и пусть утверждение уже доказано для n 1

сомножителей. Один из индексов i1; : : : ; in равен n; пусть im = n. По лемме 3

gi1 : : : gim gim+1 : : : gin = gim+1 : : : gin gi1 : : : gim = gim+1 : : : gin gi1 : : : gim 1 gn:

325

Но элементы gim+1 ; : : : ; gin ; gi1 ; : : : ; gim 1 это те же самые элементы g1; : : : ; gn 1, но, быть может, записанные в другом порядке; поэто-

му по предположению индукции gim+1 : : : gin gi1 : : : gim 1 = g1 : : : gn 1. Таким образом,

gi1 : : : gim gim+1 : : : gin = gim+1 : : : gin gi1 : : : gim 1 gn = g1 : : : gn 1gn:

Если G не только полугруппа, но группа, то в ней есть единич- ный элемент и обратные элементы.

Предложение 11. Пусть G группа. Единичный элемент e группы G коммутирует с любым е¼ элементом. Всякий элемент g 2 G коммутирует со своим обратным элементом g 1. Если элементы g; h 2 G коммутируют, то элемент g 1 коммутирует с h и h 1.

Если элементы g1; : : : ; gn попарно коммутируют друг с другом, то

(g1 : : : gn) 1 = g1 1 : : : gn 1.

Доказательство. Соотношения ge = eg(= g) и gg 1 = g 1g(= e) âõî-

дят в определения единичного и обратного элементов. Если элементы g1; : : : ; gn попарно коммутируют друг с другом, то g1 : : : gn = gn : : : g1 по предложению 10, и

(g1 : : : gn) 1 = (gn : : : g1) 1 = g1 1 : : : gn 1:

В частности, если элементы g; h 2 G коммутируют, то h 1g 1 = (gh) 1 = g 1h 1:

Умножая обе части этого равенства слева и справа на h, получим:

g 1h = hh 1g 1h = hg 1h 1h = hg 1:

Часто оказывается полезным следующее простое свойство степеней попарно перестановочных элементов, обобщающее одно из утверждений предложения 11.

Предложение 12. Пусть g1; : : : ; gn попарно коммутирующие элементы группы G, и пусть m целое число. Тогда

(g1 : : : gn)m = g1m : : : gnm:

Доказательство. Утверждение тривиально при m = 0. Пусть теперь m > 0; тогда каждый сомножитель gi произведения

(g1 : : : gi : : : gn)m = g1 : : : gi : : : gn g1 : : : gi : : : gn : : : g1 : : : gi : : : gn

перестановочен со всеми другими его сомножителями, и поэтому по предложению 10 это произведение равно произведению

g1g1 : : : g1 : : : gigi : : : gi : : : gngn : : : gn = g1m : : : gim : : : gnm;

326

отличающемуся от первого произведения лишь порядком сомножителей. Наконец, при m < 0

(g1 : : : gn)m = ((g1 : : : gn) 1) m = (g1 1 : : : gn 1) m =

= (g1 1) m : : : (gn 1) m = g1m : : : gnm:

x 3: Примеры групп

1 Аддитивные группы колец и векторных пространств

C группами мы уже неоднократно сталкивались в предыдущих главах. Напомним, что в определениях колец, полей, тел, векторных пространств первые четыре аксиомы утверждали, что сложение в них ассоциативно и коммутативно, в них существует нулевой элемент и для каждого элемента есть противоположный к нему элемент. Таким образом, все эти объекты относительно сложения представляют собой абелевы группы; они называются аддитивными группами колец или векторных пространств.

Если R кольцо, то его аддитивную группу мы будем обозначать через R+. Ясно, что если S подкольцо R, то S+ подгруппа R+. Таким образом, нам уже встречались такие примеры абелевых групп:

Z+ группа целых чисел по сложению;

Q+ аддитивная группа рациональных чисел;

R+ аддитивная группа вещественных чисел;

C+ аддитивная группа комплексных чисел;

H+ аддитивная группа тела кватернионов;

(Z=(n))+ аддитивная группа классов вычетов по модулю n.

Некоторые из этих групп являются подгруппами других:

Z+ Q+ R+ C+ H+:

Далее, пусть R произвольное кольцо; тогда многочлены от про-

извольного числа переменных и квадратные матрицы произвольного порядка с компонентами из R относительно сложения составляют

абелевы группы. При этом

R+ (R[t1])+ (R[t1; t2])+ (R[t1; t2; t3])+ : : :

327

(напомним, что символ употребляется для обозначения того, что

одна группа является не просто подмножеством другой группы, но е¼ подгруппой). Далее, для любых натуральных чисел m; n множество Rm n матриц из m строк и n столбцов с компонентами из R отно-

сительно сложения представляет собой абелеву группу (это следует

из нескольких первых свойств действий над матрицами). Отметим, что последний пример отличается от всех предыдущих Rm n ïðè

m 6= n не является кольцом, так что последняя группа не является

аддитивной группой кольца.

Наконец, если k поле, то рациональные функции над k от любого числа переменных, классы вычетов многочленов над k по модулю некоторого многочлена, произвольные векторные пространства над k тоже составляют абелевы группы относительно сложения. При этом

(k[t1; : : : ; tn])+ k(t1; : : : ; tn))+:

Если f(t) 2 k[t], причем deg f(t) 1, то поле k естественным образом вкладывается в кольцо вычетов по модулю f(t), так что

k+ k[t]=(f(t)) +:

Уже на аддитивных группах можно проиллюстрировать понятие гомоморфизма. Если A : U ! V линейное отображение векторных

пространств над полем k, то оно является, в частности, гомоморфизмом аддитивных групп. Далее, если R кольцо, A матрица из Rm n, то отображение, сопоставляющее столбцу X 2 Rn ñòîë- áåö AX 2 Rm представляет собой гомоморфизм аддитивных групп.

Другие примеры аддитивных групп возникали у нас при переходе к кольцам вычетов: если R область целостности, a 2 R, то сопостав-

ление элементам x 2 R их классов вычетов [x]a по модулю a является гомоморфизмом группы R+ на группу (R=(a))+. В частности,

отображение R[t] в C, сопоставляющее многочлену f(t) комплексное число a + bi, где a + bt остаток от деления f(t) на t2 + 1, является гомоморфизмом аддитивных групп.

2 Мультипликативные группы ассоциативных колец с 1

Пусть R ассоциативное кольцо с единицей. Элемент x 2 R называется обратимым, если в кольце R найдется такой элемент y, что xy = yx = 1. Мы уже встречались с обратимыми элементами

в нескольких ситуациях. В случае коммутативного ассоциативного кольца с 1 они назывались также делителями единицы. Далее, если k поле, то обратимыми элементами кольца kn являются обратимые

матрицы порядка n. В обоих случаях были доказаны утверждения,

328

которые по существу утверждали, что обратимые элементы составляют группу относительно умножения (хотя тогда у нас ещ¼ не было введено понятие группы). Это же верно и в общем случае, и хотя доказательство не отличается от рассуждений для обратимых матриц, мы повторим его здесь.

Предложение 13. Пусть R ассоциативное кольцо с единицей,

èпусть R множество всех обратимых элементов кольца R.

(1)Åñëè x; y 2 R , òî xy 2 R .

(2)Единица 1 кольца R принадлежит R

(3)Если x 2 R и y 2 R такой элемент, что xy = yx = 1, то y 2 R .

Доказательство. (1) Пусть x; y 2 R ; тогда существуют такие эле- менты z; t 2 R, что xz = zx = 1, yt = ty = 1. Пользуясь ассоциативностью умножения и свойствами единицы кольца R, получаем:

(xy)(tz)=x(yt)z =x 1 z =xz =1; (tz)(xy)=t(zx)y =t 1 y =ty =1:

Итак, нашелся элемент tz 2 R, такой что (xy)(tz) = (tz)(xy) = 1, а это и значит, что xy 2 R .

(2)Очевидно: 1 1 = 1.

(3)Пусть xy = yx = 1; из этих равенств видно, что для элемента y существует элемент x 2 R, такой что yx = xy = 1. Но это и значит, что y 2 R .

Предложение 14. Множество R всех обратимых элементов ас-

социативного кольца с единицей является группой относительно умножения, имеющегося в кольце.

Доказательство. Утверждение (1) предложения 13 показывает, что множество R замкнуто относительно умножения. Таким образом,

ограничение умножения кольца R на подмножество R задает опе- рацию умножения на R . Эта операция ассоциативна, потому что кольцо R ассоциативно, а из утверждений (2), (3) предложения 13 следует существование единицы и обратных элементов.

Группа R обратимых элементов ассоциативного кольца с единицей R называется мультипликативной группой кольца R. Нам уже

неоднократно встречались примеры мультипликативных групп колец; в следующих пунктах мы напомним некоторые из них.

329

3 Мультипликативные группы полей и тел

Если k поле или тело, то все элементы поля k, кроме 0, обратимы, и поэтому k = k n f0g. Беря в качестве k различные известные нам поля и тела, мы получаем мультипликативные группы

Q R C H :

Группа обратимых элементов кольца многочленов k[t] над полем k состоит, как мы знаем, из ненулевых элементов поля k; таким образом, (k[t]) = k . В кольце целых чисел Z обратимы лишь числа 1, так что Z = f1; 1g. Ещ¼ нам встречалась группа обратимых элементов кольца вычетов Z=(n) по модулю n 2; напомним, что число элементов группы (Z=(n)) равно значению функции Эйлера '(n).

Замечание. Хотя для любого поля k его мультипликативная группа k содержится в его группе k+, она не является подгруппой k+, потому что операция в группе k не является ограничением на k операции сложения в группе k+. Например, для чисел 1; 2 2 Q Q+ будет 1 2 = 2 в группе Q , 1 + 2 = 3 в группе Q+.

Положительные рациональные и вещественные числа составляют подгруппы полных мультипликативных групп полей Q и R; мы будем

обозначать их соответственно через Q+ è R+. Мы знаем, что корни n-й степени из 1 составляют подгруппу Tn группы C ; очевидно, что

тоже подгруппа C . Комплексные числа, модуль которых равен 1, также составляют подгруппу C , так как если ; 2 C, j j = j j = 1, то j 1 j = 1. Эта группа обозначается T и называется одномерным

тором; элементами этой группы являются точки комплексной плоскости, лежащие на единичной окружности с центром 0.

Многие из введ¼нных выше групп являются подгруппами других из них. Например,

Q+ R+ R C ; Tn T1 T C :

На аддитивных и мультипликативных группах полей вещественных и комплексных чисел можно проиллюстрировать и понятие гомоморфизма групп. Несмотря на то, что абстрактное определение гомоморфизма не выглядит очень понятным, на самом деле с гомоморфизмами всем уже неоднократно приходилось иметь дело. Напомним некоторые утверждения из школьного курса математики:

330