algebra1
.pdfэтой формы; он называется индексом Витта формы f и обозначается w(f). Таким образом, мы знаем уже три инварианта квадратичной формы f, которые у изометричных форм одинаковы: число переменных n, ранг r(f) и индекс Витта w(f). Заметим, что гиперболическая
составляющая и составляющая с нулевыми коэффициентами формы f определены этими параметрами однозначно (с точностью до
изометричности). Напротив, анизотропные формы, вообще говоря, трудно описать при помощи какого-то набора параметров. Конечно, инвариантны их ранги и множества значений; кроме того, мы знаем, что всякая форма диагонализируема. Но наборы диагональных коэффициентов изометричных форм определены далеко не однозначно, и полной ясности здесь нет даже для форм над полем рациональных чисел Q. И только для некоторых полей (алгебраически замкнутых
полей, конечных полей, поля вещественных чисел и некоторых других) удается довести до конца классификацию квадратичных форм с точностью до изометричности.
3 Ещ¼ о законе инерции для вещественных квадратичных форм
Пусть f квадратичная форма над R. По теореме Витта анизотропная составляющая g в разложении Витта формы f определена однозначно с точностью до изометричности; поэтому знак "(g) определен формой f однозначно; он обозначается "(f) и называется знаком анизотропной составляющей формы f.
Теорема 13. Пусть f(x1; : : : ; xn) квадратичная форма над полем вещественных чисел, r(f), w(f), "(f) ее ранг, индекс Витта и знак анизотропной составляющей, и пусть форма f изометрична квадратичной форме
g(y1; : : : ; yn) = 1y12 + + sys2 s+1ys2+1 s+tys2+t;
ãäå 1; : : : ; s; s+1; : : : ; s+t > 0. Тогда то из чисел s; t, которое не больше другого, равно w(f), а другое из этих чисел равно r(f) w(f);
при этом s > t тогда и только тогда, когда "(f) = 1. Доказательство. Преобразование
превращаетp |
|
|
g(y1; : : : ; yn) в форму |
|
|
j ij |
ïðè s + t < i n |
||||
yi = zi= |
ïðè 1 i s + t; yi = zi |
форму
h(z1; : : : ; zn) = z12 + : : : + zs2 zs2+1 : : : zs2+t + 0 zs2+t+1 + : : : + 0 zn2:
Ранг формы h равен, очевидно, s + t, так что s + t = r(h) = r(f). Если s > t, то
h = (zt2+1+: : :+zs2) ? ((z12 zs2+1)+: : :+(zt2 zs2+t)) ? (0 zs2+t+1+: : :+0 zn2)
271
разложение Витта формы h в ортогональную сумму анизотропной
формы, гиперболической формы и формы с нулевыми коэффициентами. Анизотропная составляющая zt2+1 +: : :+zs2 положительно опре-
делена, поэтому "(f) = "(h) = 1. Далее, ясно, что w(f) = w(h) = t. Наконец, s = (s + t) t = r(f) w(f). Аналогично, при s t разложение Витта формы h имеет вид
( z22s+1 : : : zs2+t) ? ((z12 zs2+1)+: : :+(zs2 z22s)) ? (0 zs2+t+1+: : :+0 zn2);
в этом случае w(f)=w(h)=s, |
t=(t+s) s=r(f) w(f) è |
||
|
|
0; |
åñëè s = t. |
"(f) = "(h) = |
|
1; |
åñëè s < t; |
Теорема доказана.
272
Глава X
Евклидовы и унитарные пространства
x 1: Евклидовы и унитарные пространства
1 Определение евклидова пространства
Пусть V векторное пространство над полем вещественных чисел,
на котором задана функция двух аргументов, сопоставляющая паре векторов u; v 2 V вещественное число (u; v), называемое скалярным
произведением векторов u; v. Пространство V с таким скалярным
произведением называется евклидовым пространством, если выполняются следующие условия:
(1)(u + v; w) = (u; w) + (v; w) для любых u; v; w 2 V ;
(2)( u; v) = (u; v) для любых u; v 2 V и любого 2 R;
(3)(u; v) = (v; u) для любых u; v 2 V ;
(4)åñëè u 2 V , u 6= 0, òî (u; u) > 0.
Третье условие называется симметричностью, а четвертое положительной определенностью скалярного произведения. Прежде, чем приводить примеры евклидовых пространств, отметим несколько фактов, дополняющих аксиомы скалярного произведения и сразу вытекающих из них.
1. Для любого вектора u 2 V его скалярное произведение с нулевым вектором равно 0. Действительно,
( ; u) = (0 ; u) = 0 ( ; u) = 0:
В частности, отсюда следует, что ( ; ) = 0; вместе с четвертой аксиомой это означает, что (u; u) 0 для любого вектора u 2 V .
2. Для любых u1; : : : ; un; v 2 V и любых 1; : : : ; n 2 R выполняется соотношение
( 1u1 + : : : + nun; v) = 1(u1; v) + : : : + n(un; v):
273
Это легко получается из аксиом (1), (2) индукцией по n. Таким об-
разом, первые две аксиомы означают линейность скалярного произведения по первому аргументу.
3. Поскольку для любых u; v1; : : : ; vn 2 V и любых 1; : : : ; n 2 R
(u; 1v1 + : : : + nvn) = ( 1v1 + : : : + nvn; u) =
= 1(v1; u) + : : : + n(vn; u) = 1(u; v1) + : : : + n(u; vn);
скалярное произведение линейно также и по второму аргументу. В частности, (u; v + w) = (u; v) + (u; w), (u; v) = (u; v) для любых
u; v; w 2 V и любого 2 R. Учитывая, что скалярное произведение линейно по обоим аргументам, принято говорить, что оно билинейно.
2 Примеры евклидовых пространств
1: Первый и важнейший пример евклидова пространства известен
еще из школьного курса геометрии и из курса аналитической геометрии это обычные векторы в трехмерном пространстве. Мы умеем складывать векторы и умножать их на числа, а также скалярно перемножать (напомним, что скалярное произведение векторов равно произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними).
2. В пространстве строк длины n с вещественными компонентами введем скалярное произведение, положив
((a1; : : : ; an); (b1; : : : ; bn)) = a1b1 + : : : + anbn:
Очевидно, что аксиомы (1) - (3) выполняются. Далее, скалярное произведение вектора (a1; : : : ; an) на себя равно a21 +: : :+a2n; åñëè õîòÿ áû
одна из компонент ai отлична от 0, то это произведение строго больше 0, то есть выполняется и аксиома положительной определенности скалярного произведения. Это евклидово пространство называется арифметическим евклидовым пространством размерности n.
3. Рассмотрим векторное пространство l2 бесконечных последова-
тельностей вещественных чисел (a1; a2; : : : ; an; : : : ), таких что сумма
их квадратов сходится. Ясно, что при умножении последовательно- ñòè èç l2 на любое вещественное число мы снова получим элемент из
l2. Пусть (b1; b2; : : : ; bn; : : : ) другая последовательность из l2. Легко доказать, используя неравенство Коши-Буняковского для конечных последовательностей вещественных чисел (мы вскоре докажем это
неравенство для произвольных евклидовых пространств), что тогда |
|||||||
сходятся и ряды |
1 (ai +bi)2, |
1 aibi. Сходимость первого ряда означа- |
|||||
ет, что сумма |
|
P |
P l |
l |
|
l |
|
|
|
i=1 |
i=1 |
|
|
|
|
|
двух элементов из 2 снова принадлежит |
|
2, òî åñòü |
|
2 |
векторное пространство над R. Превратим l2 в евклидово простран- ство, объявив сумму второго ряда скалярным произведением наших
274
двух последовательностей. Проверка того, что аксиомы скалярного произведения выполняются, совершенно тривиальна.
4. Множество всех непрерывных на отрезке [ 0; 1] функций век-
торное пространство над R. Введем на этом пространстве скаляр-
1
R
ное произведение, положив (f(x); g(x)) = f(x)g(x)dx. Линейность и
0
симметричность этого скалярного произведения очевидны. Если f(x)ненулевая непрерывная функция, то существует число a 2 [ 0; 1], такое что f(a) 6= 0. Далее, поскольку функция f(x) непрерывна, существуют такие числа c; d 2 [ 0; 1], что c < d, a 2 [c; d] и для любого2 [c; d] выполняется неравенство jf( ) f(a)j < jf(a)j=2, из которого следует, что
jf( )j = jf(a) + (f( ) f(a))j jf(a)j jf( ) f(a)j >
> jf(a)j jf(a)j=2 = jf(a)j=2:
Поэтому
1d
ZZ
(f(x); f(x)) = (f(x))2dx (f(x))2dx (d c)jf(a)j2=4 > 0;
0c
то есть скалярное произведение положительно определено.
3 Унитарные пространство
Аналогом евклидовых пространств в комплексном случае являются унитарные пространства. Векторное пространство V над полем C
называется унитарным, если на нем определено скалярное произведение, сопоставляющее каждой паре векторов u; v 2 V комплексное
число (u; v) и удовлетворяющее следующим условиям:
(1)(u + v; w) = (u; w) + (v; w) для любых u; v; w 2 V ;
(2)( u; v) = (u; v) для любых u; v 2 V и любого 2 C;
(3)(u; v) = (v; u) для любых u; v 2 V ;
(4)если u 2 V , u 6= 0, то (u; u) положительное вещественное
число.
Как и в евклидовых пространствах, первые две аксиомы показывают, что скалярное произведение линейно по первому аргументу. Однако, оно уже не будет линейным по второму аргументу. В самом деле,
(u; v) = ( v; u) = (v; u) = (v; u) = (u; v);
и, общее,
(u; 1v1 + : : : + nvn) = 1(u; v1) + : : : + n(u; vn):
275
Это свойство называют полулинейностью по второму аргументу, и поэтому скалярное произведение в унитарном пространстве часто называют полуторалинейным, то есть линейным по одному аргументу и полулинейным по другому.
Заметим, что вещественность скалярного произведения (u; u) сра-
зу следует из аксиомы (3), по которой (u; u) = (u; u). Поэтому в ак-
сиоме (4) содержательным является только утверждение о положительности этого вещественного числа.
Приведем несколько примеров унитарных пространств, аналогич- ных примерам 2 - 4 евклидовых пространств.
1. В пространстве строк длины n с комплексными компонентами введем скалярное произведение, положив
|
|
((a1; : : : ; an); (b1; : : : ; bn)) = a1b1 |
+ : : : + anbn: |
Это унитарное пространство естественно называть арифметическим унитарным пространством размерности n.
2. В векторном пространстве бесконечных последовательностей комплексных чисел (a1; a2; : : : ; an; : : : ), таких что сумма квадратов их модулей сходится, введем скалярное произведение, положив
1
X
((a1; a2; : : : ; an; : : : ); (b1; b2; : : : ; bn; : : : )) = aibi:
i=1
3. На пространстве всех комплекснозначных непрерывных на отрезке [ 0; 1] функций введем скалярное произведение, положив
1
Z
(f(x); g(x)) = f(x)g(x)dx:
0
Мы опускаем простую проверку того, что во всех случаях полу- чаются унитарные пространства.
Теории евклидовых и унитарных пространств очень близки; иногда утверждения чуть проще для евклидовых пространств, но иногда и унитарный случай бывает проще евклидова. Как правило, доказательства различных утверждений мы будем проводить лишь для того из этих вариантов, который чуть сложнее другого.
4 Длина вектора. Угол между векторами
Пусть V евклидово или унитарное пространство; поскольку в обоих
случаях скалярное произведение положительно определено, для любого вектора v 2 V его скалярный квадрат (v; v) является неотрица-
p
тельным вещественным числом. Поэтому всегда существует (v; v)
276
(напомним, что так обозначается единственное неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению). Это число называется длиной вектора v и обозначается jjvjj. Таким образом,
jjvjj2 = (v; v). Заметим, что из положительной определенности ска-
лярного произведения следует также, что нулевой вектор является единственным вектором пространства V , длина которого равна 0.
Понятие угла между векторами естественно лишь в евклидовых пространствах. Вспомним, как определяется скалярное произведение в школьном курсе и в курсе аналитической геометрии: скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними. Но точно так же можно использовать это определение в обратном направлении, выразив косинус угла че- рез скалярные произведения. Таким образом, мы приходим к следующему определению: пусть V евклидово пространство, и пусть
u; v ненулевые векторы из V ; углом между векторами называется вещественное число , такое что
(u; v) cos = jjujj jjvjj:
Мы вскоре увидим, что правая часть этого выражения всегда заклю- чена между 1 и +1, так что угол между двумя ненулевыми векто-
рами всегда определен. Конечно, он не единствен, но то же самое имеет место и в курсах геометрии; для обеспечения единственности надо потребовать, например, чтобы было 0 < =2.
Если одно из значений угла между векторами u и v равно =2, то естественно эти векторы называть ортогональными; тогда
0 = cos |
|
= |
(u; v) |
; |
|
|
|||
2 |
jjujj jjvjj |
откуда следует, что (u; v) = 0. Естественно принять, что нулевой
вектор ортогонален любому вектору. Хотя, как мы отметили выше, понятие угла между векторами не очень естественно в унитарных пространствах, ортогональность векторов, наоборот, оказывается очень полезной и в унитарном случае. Таким образом, мы приходим к следующему определению. Пусть V евклидово или уни-
тарное пространство; векторы u; v 2 V называются ортогональными, если (u; v) = 0.
Вектор u 2 V называется нормированным, если jjujj = 1, то есть (u; u) = 1. Мы будем постоянно пользоваться следующими простыми свойствами, часто даже не делая ссылок.
Лемма 1. Пусть V евклидово (унитарное) пространство, и пусть u и v ортогональные векторы из V . Тогда для любых ; из поля R (соответственно, из поля C) векторы u и v тоже ортогональны.
277
Лемма 2. Пусть V евклидово или унитарное пространство; если v ненулевой вектор из V , то вектор v=jjvjj нормированный.
Доказательство. В обозначениях леммы 1 (u; v) = 0, и потому
|
|
0 = 0; |
( u; v) = (u; v) = |
а это и значит, что векторы u; v ортогональны. Далее, если v 6= 0, то jjvjj 6= 0, и квадрат длины вектора v=jjvjj равен
|
v |
|
v |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
(v; v) |
|
||
|
; |
|
|
= |
|
|
|
|
(v; v) = |
|
= 1: |
|||
jjvjj |
jjvjj |
jjvjj |
jjvjj |
jjvjj2 |
5 Неравенство Коши-Буняковского
Теорема 1 (неравенство Коши-Буняковского). Для любых векторов u; v из евклидова или унитарного пространства выполняется
неравенство
(u; v)(v; u) (u; u)(v; v):
Замечание. Поскольку (v; u) = (u; v), в левой части этого неравен-
ства стоит вещественное число (u; v)(u; v) = j(u; v)j2, а в правой вещественное число jjujj2jjvjj2; поэтому неравенство имеет смысл.
В случае евклидового пространства и ненулевых векторов мы полу- чаем из этого неравенства, что
1 |
(u; v) |
1; |
|
jjujj jjvjj |
|
как отмечалось выше, это гарантирует корректность определения угла между ненулевыми векторами.
Доказательство. Проведем доказательство для унитарных пространств; для евклидовых пространств оно только упрощается. Если v = 0, то обе части доказываемого неравенства превращаются в 0,
и тем самым в этом случае неравенство справедливо. Пусть теперь v 6= 0 и потому (v; v) 6= 0. По аксиоме положительной определенно-
сти, для любого 2 C скалярное произведение (u + v; u + v) неотрицательное вещественное число. Подберем так, чтобы вектор u + v был ортогонален вектору v; для этого надо, чтобы выполнялось равенство 0 = (u + v; v) = (u; v) + (v; v), то есть чтобы числоравнялось (u; v)=(v; v). При этом значении имеем:
0 (u + v; u + v) = (u + v; u) + (u + v; v) = = (u; u) + (v; u) = (u; u) ((u;v; vv))(v; u):
Умножая обе части получившегося неравенства на положительное число (v; v), мы и получим неравенство Коши-Буняковского.
278
x 2: Базисы евклидовых и унитарных пространств
1 Существование ортогональных нормированных
базисов в евклидовых и унитарных пространствах
Лемма 3. Если ненулевые векторы u1; : : : ; un из евклидова или уни- тарного пространства V попарно ортогональны, то они линейно независимы.
Доказательство. Пусть линейная комбинация 1u1+ + nun равна нулевому вектору. Тогда для любого i, 1 i n, имеем:
0= (0; ui) = ( 1u1 + + iui + + nun; ui) =
=1(u1; ui) + : : : + i(ui; ui) + : : : + n(un; ui) = = 1 0 + : : : + i(ui; ui) + : : : + n 0 = i(ui; ui);
поскольку ui 6= 0 и потому (ui; ui) 6= 0, отсюда следует, что i = 0. Таким образом, только тривиальная линейная комбинация векторов u1; : : : ; un может равняться нулевому вектору, а это и значит, что эти векторы линейно независимы.
Лемма 4. Пусть V евклидово или унитарное пространство, и пусть e1; : : : ; em нормированные попарно ортогональные векторы из V . Если m < dim V , то существует нормированный вектор em+1 2 V , ортогональный всем векторам e1; : : : ; em, òàê ÷òî íîð- мированные векторы e1; : : : ; em; em+1 снова попарно ортогональны.
Доказательство. Размерность линейной оболочки <e1; : : : ; em> линейно независимых векторов e1; : : : ; em равна m. Если размерность пространства V больше m, то существует вектор v 2 V , не принадле-
жащий этой линейной оболочке. Покажем, что можно так подобрать коэффициенты 1; : : : ; m, чтобы вектор w = v + 1e1 + : : : + mem был ортогонален векторам e1; : : : ; em. Действительно, для 1 i m условие (w; ei) = 0 равносильно условию
0= (v + 1e1 + + iei + + mem; ei) =
=(v; ei) + 1(e1; ei) + : : : + i(ei; ei) + : : : + m(em; ei) =
=(v; ei) + 1 0 + : : : + i 1 + : : : + m 0 = (v; ei) + i;
поэтому достаточно положить i = (v; ei). Итак, вектор
w = v (v; e1)e1 : : : (v; em)em
279
ортогонален векторам e1; : : : ; em. Этот вектор w ненулевой: в противном случае вектор
v = w + (v; e1)e1 + : : : + (v; em)em = (v; e1)e1 + : : : + (v; em)em
принадлежал бы линейной оболочке < e1; : : : ; em >, а это противоречит его выбору. Поэтому jjwjj =6 0. Тогда вектор em+1 = w=jjwjj нормированный по лемме 2, и он ортогонален векторам e1; : : : ; em ïî лемме 1.
Базис евклидова или унитарного пространства V называется ор-
тогональным нормированным, если он состоит из попарно ортогональных нормированных векторов. Иногда такие базисы называют также ортонормальными.
Теорема 2. Всякое множество попарно ортогональных нормированных векторов из конечномерного евклидова или унитарного пространства V можно дополнить до ортогонального нормированного
базиса пространства V .
Доказательство. Пусть e1; : : : ; em попарно ортогональные нормированные векторы из V , и пусть m n = dim V . Применяя n m
раз лемму 4, добавим последовательно к нашей системе нормированные векторы em+1; : : : ; en так, чтобы векторы e1; : : : ; em; em+1; : : : ; er оставались попарно ортогональными при любом r, m + 1 r n.
В частности, векторы e1; : : : ; em; em+1; : : : ; en попарно ортогональны и нормированы, а потому все они ненулевые; по лемме 3 они линейно независимы, и, поскольку их количество равно размерности пространства V , они составляет базис V .
Теорема 3. Во всяком конечномерном евклидовом или унитарном пространстве существует ортогональный нормированный базис.
Доказательство. Достаточно применить теорему 2 к пустому множеству векторов (это корректно, так как верны утверждения: если вектор содержится в пустом множестве, то он нормирован, а если два вектора содержатся в пустом множестве, то они ортогональны).
Замечание. Условие конечности в теоремах 2 3 существенно:
в бесконечномерных пространствах они не всегда верны. Так, в евклидовом пространстве непрерывных на отрезке [ 0; 1] функций, рассмотренном выше в примере 4 из x 1:2 , функции
1; cos 2 x; sin 2 x; cos 4 x; sin 4 x; : : : ; cos 2m x; sin 2m x; : : :
280