algebra1

2 Параметрическое задание линейных многообразий

Из самого определения линейных многообразий легко вытекает параметрическое описание множества координат точек из линейного многообразия.

Теорема 1. Пусть A аффинное пространство над полем k, и пусть (O; v1; : : : ; vn) линейная система координат в A. Для того чтобы подмножество P пространства A было линейным мно-

гообразием, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие столбцы X0; Y1; : : : ; Ys 2 kn, что P состоит из всех точек простран-

ства A, столбцы координат которых в выбранной системе координат могут быть представлены в виде X = X0 + p1Y1 + : : : + psYs, ãäå p1; : : : ; ps произвольные элементы из k. Если при этом столбцы Y1; : : : ; Ys линейно независимы, то P линейное многообразие размерности s.

Доказательство. Пусть P линейное многообразие в A; тогда существуют такие точка A0 2 A и подпространство U пространства V , что P = A0 + U. Пусть u1; : : : ; us какая-то порождающая подпространство U система векторов из V , и пусть X0 столбец координат точки A0 в нашей системе координат, а Y1; : : : ; Ys столбцы коорди- нат векторов u1; : : : ; us в базисе v1; : : : ; vn. Линейное многообразие P совпадает с множеством точек вида A0 +p1u1 +: : :+psus, ãäå p1; : : : ; ps пробегают поле k. Но это в точности множество точек, столбцы ко-

ординат которых имеют вид X0 + p1Y1 + : : : + psYs.

Обратно, множество X всех тех точек из A, столбцы координат

которых имеют вид X0 + p1Y1 + : : : + psYs, состоит из точек вида A0 +p1u1 +: : :+psus, ãäå A0 2 A точка, столбец координат которой в нашей системе координат равен X0, a u1; : : : ; us векторы из V , столбцы координат которых в базисе v1; : : : ; vn равны соответственно Y1; : : : ; Ys. Таким образом, X = X0 + U, где U подпространство V , порожденное векторами u1; : : : ; us, а это значит, что X линейное многообразие в A. Если столбцы Y1; : : : ; Ys линейно независимы, то линейно независимы и векторы u1; : : : ; us; тогда dim U = s, и потому X линейное многообразие размерности s.

3 Задание многообразий системами уравнений

Мы знаем, что в аналитической геометрии плоскость в пространстве описывается одним линейным уравнением, связывающим координаты точек плоскости, а прямая двумя линейными уравнениями. Совершенно то же самое имеет место и для линейных многообразий в произвольных конечномерных аффинных пространствах.

301

Теорема 2. Пусть A аффинное пространство над полем k, в ко-

тором зафиксирована линейная система координат (O; v1; : : : ; vn). Для любой совместной системы линейных уравнений с коэффициентами из k

a11 x1 + + a1nxn =b1;

; am1 x1 + + amnxn =bm

множество точек пространства A, координаты которых удовлетворяют этой системе, является линейным многообразием в A, размерность s которого равна n r, где через r обозначен ранг матрицы системы. Обратно, для любого линейного многообразия в A

найдется такая система линейных уравнений, что это многообразие является множеством всех точек из A, координаты которых

удовлетворяют системе.

Доказательство. Первая часть теоремы по существу является переформулировкой известной нам теоремы о структуре множества решений системы линейных уравнений: столбец X является реше-

нием системы тогда и только тогда, когда он представим в виде X0 + p1Y1 + : : : + psYs, ãäå X0 какое-то решение системы (оно существует, потому что система совместна), s = n r, Y1; : : : ; Ys базис пространства решений соответствующей однородной системы, а p1; : : : ; ps элементы из k. По теореме 1 множество точек пространства A, столбцы координат которых представимы в таком виде,

является линейным многообразием в A размерности s = n r.

Обратно, пусть P линейное многообразие в A. Выберем точку

!

A 2 P и базис u1; : : : ; us пространства U = fAB 2 V j B 2 Pg. До-

полним линейно независимую систему векторов u1; : : : ; us до базиса u1; : : : ; us; us+1; : : : ; un пространства V . В системе координат с нача- лом A и базисом u1; : : : ; us; us+1; : : : ; un многообразие P описывается очень просто: это множество точек, координаты y1; : : : ; yn которых в системе координат (A; u1; : : : ; un) удовлетворяют системе линейных

уравнений ys+1 = 0, . . . , yn = 0. Действительно, пусть B 2 A точка

!

с координатами y1; : : : ; yn; это значит, что AB = y1u1 +: : :!+ynun. Точ- ка B принадлежит P тогда и только тогда, когда вектор AB принад-

лежит пространству U =<u1; : : : ; us>, то есть тогда и только тогда, когда обращаются в 0 его последние n s координат ys+1; : : : ; yn â

базисе u1; : : : ; us; us+1; : : : ; un.

Теперь легко дать описание P и в терминах исходной системы координат. Пусть C матрица перехода от базиса u1; : : : ; un ê áà-

çèñó v1; : : : ; vn, à b1; : : : ; bn координаты точки O в системе координат (A; u1; : : : ; un). Åñëè (x1; : : : ; xn)> столбец координат некоторой

302

точки в исходной системе координат (O; v1; : : : ; vn), à (y1; : : : ; yn)> столбец координат той же точки во вспомогательной системе координат (A; u1; : : : ; un), то, как мы знаем, они связаны соотношением

0 1 0 1 0 1

y1 x1 b1

B . C = C B . C + B . C @ A @ A @ A

yn xn bn

(здесь вспомогательная система координат выступает в роли "старой а исходная система в роли "новой" системы координат). Поэтому соотношения ys+1 = 0, . . . , yn = 0 превращаются в систему

линейных уравнений для координат x1; : : : ; xn

0 1 0 1 0 1

0 x1 bs+1

B.C = D B . C + B . C;

@ A @ A @ A

где D матрица, составленная из последних n s строк матрицы

C.

x 3: Квадрики в аффинном пространстве

1 Квадрики и изменение их уравнений при замене координат

Квадрикой в аффинном пространстве A называется множество Q

всех точек этого аффинного пространства, координаты которых в некоторой линейной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени вида

f(x1; : : : ; xn) = 0:

Здесь f(x1; : : : ; xn) многочлен полной степени 2; он разбивается в сумму трех однородных слагаемых степеней 2, 1 и 0:

f(x1; : : : ; xn) = f2(x1; : : : ; xn) + f1(x1; : : : ; xn) + f0(x1; : : : ; xn);

ãäå f2(x1; : : : ; xn) квадратичная форма,

f1(x1; : : : ; xn) = b1x1 + : : : + bnxn

линейная форма, коэффициенты которой b1; : : : ; bn принадлежат основному полю k, f0(x1; : : : ; xn) = c 2 k. Обозначим через A матрицу квадратичной формы A, через B строчку (b1; : : : ; bn), через Xстолбец, компонентами которого являются координаты x1; : : : ; xn точек квадрики. Тогда уравнение квадрики Q приобретет вид

X>AX + BX + c = 0

303

(как обычно, мы отождествляем матрицы порядка 1 с их единственными компонентами).

Пусть Y столбец координат точки квадрики в другой линейной системе координат. Мы знаем, что столбцы X и Y связаны соотношением X = CY + D, где C матрица перехода для соответствующих системам координат базисов касательного к A векторного пространства, а D столбец координат нового начала в старой системе ко-

ординат. Подставляя это выражение в уравнение квадрики, найдем, что в новой системе координат она описывается уравнением

(CY + D)>A(CY + D) + B(CY + D) + c = 0:

Раскрыв скобки и воспользовавшись тем, что, как и всякая одноэлементная матрица, матрица D>ACY равна транспонированной к ней

матрице (CY )>A>D = (CY )>AD, приведем это уравнение к виду

Y >(C>AC)Y + (2D>A + B)CY + c1 = 0;

ãäå c1 = D>AD + BD + c 2 k. Таким образом, и в новой системе координат наша квадрика задается уравнением степени 2. Тем самым мы показали, что определение квадрики корректно оно не зависит от выбора линейной системы координат в аффинном пространстве.

2 Канонический вид уравнения квадрики в евклидовом аффинном пространстве

Описание квадрик в аффинных пространствах над произвольным полем задача трудная. В этом пункте мы ограничимся квадриками в евклидовых аффинных пространствах и покажем, что при надлежащем выборе декартовой системы координат в аффинном пространстве уравнение, определяющее произвольную квадрику, принимает довольно простой вид.

Теорема 3. Пусть Q квадрика в n-мерном евклидовом аффинном пространстве A. В A существует такая декартова система координат, что Q состоит из всех точек, координаты которых в этой системе координат удовлетворяют уравнению одного из видов:

ãäå a1; : : : ; am положительные вещественные числа.

Доказательство. Мы последовательно будем упрощать общее уравнение квадрики.

304

Лемма 2. В A существует такая декартова система координат, что Q состоит из всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

1x21 + : : : + mx2m + b1x1 + : : : + bnxn + c = 0;

ãäå 1; : : : ; m ненулевые, а b1; : : : ; bn; c какие-то вещественные числа.

Доказательство. Пусть в декартовой системе координат с началом O и с ортогональным нормированным базисом касательного про-

странства e1; : : : ; en наша квадрика задается уравнением

X>AX + BX + c = 0;

где A симметричная матрица. Как мы знаем из теории квадратичных форм, существует такая ортогональная матрица C, что матрица C>AC диагональна, причем без ограничения общности можно считать, что ненулевыми являются первые m элементов диагонали1; : : : ; m (1 m n), а остальные элементы диагонали равны 0. Поскольку матрица C ортогональна, система векторов d1; : : : ; dn, òà- êàÿ ÷òî (d1; : : : ; dn) = (e1; : : : ; en)C, является ортогональным нормированным базисом. В декартовой системе координат с тем же нача- лом O и с базисом касательного пространства d1; : : : ; dn квадрика Q описывается тогда уравнением Y >(C>AC)Y + BCY + c = 0, то есть уравнением

1y12 + : : : + mym2 + b01y1 + : : : + b0nyn + c = 0;

ãäå (b01; : : : ; b0n) = BC. Остается изменить обозначения (писать xi âìå- ñòî yi, bi вместо b0i), и мы получим утверждение леммы.

Лемма 3. В A существует такая декартова система координат, что Q состоит из всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

1x21 + : : : + mx2m + bm+1xm+1 + : : : + bnxn + c = 0;

ãäå 1; : : : ; m ненулевые, а bm+1; : : : ; bn; c какие-то вещественные числа.

Доказательство. По лемме 2 существует такая декартова система координат (O; e1; : : : ; en) пространства A, в которой наша квадрика описывается уравнением

1x21 + : : : + mx2m + b1x1 + : : : + bnxn + c = 0

305

с ненулевыми 1; : : : ; m. Не меняя базис, сдвинем начало координат в точку O0 = O (b1=2 1)e1 : : : (bm=2 m)em; если обозначать новые

координаты через y1; : : : ; yn, то связь новых координат со старыми описывается формулами

Поэтому в новой системе координат уравнение примет вид

1y12 + : : : + mym2 + bm+1ym+1 + : : : + bnyn + c0 = 0;

ãäå c0 = c 1(b1=2 1)2 : : : m(bm=2 m)2. Чтобы получить утвер- ждение леммы, остается изменить обозначения (заменить yi íà xi, c0

íà c).

Перед тем, как продолжить доказательство теоремы, отметим, что если 6= 0, то множества всех тех точек, координаты которых

удовлетворяют уравнениям f(x1; : : : ; xn) = 0 è f(x1; : : : ; xn) = 0, очевидно, совпадают. Кроме того, в уравнении можно перенумеровывать неизвестные, так как это преобразование соответствует перенумерации элементов ортогонального нормированного базиса касательного пространства, составляющего вместе с началом координат рассматриваемую декартову систему координат.

Лемма 4. Если в обозначениях леммы 3 bm+1; : : : ; bn = 0, c 6= 0, то в A существует такая декартова система координат, что Q состоит из всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

a1x21 + : : : + arx2r ar+1x2r+1 : : : amx2m 1 = 0;

ãäå a1; : : : ; am положительные вещественные числа.

Доказательство. Перенумеруем переменные так, чтобы коэффициенты 1; : : : ; r имели знак, противоположный знаку c, а коэффици-

åíòû r+1; : : : ; m тот же знак, что и c. Теперь, умножая обе части уравнения 1x21 + : : : + mx2m + c = 0 на 1=c и полагая ai = j i=cj, мы приведем уравнение к виду

a1x21 + : : : + arx2r ar+1x2r+1 : : : amx2m 1 = 0:

Лемма 5. Если в обозначениях леммы 3 bm+1; : : : ; bn = c = 0, то в A существует такая декартова система координат, что Q состоит из всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

a1x21 + : : : + arx2r ar+1x2r+1 : : : amx2m = 0;

ãäå r m r, à a1; : : : ; am положительные вещественные числа.

306

Доказательство. Мы можем считать, что количество r положитель-

ных коэффициентов i не меньше количества m r отрицательных коэффициентов (если это не так, умножим обе части уравнения на 1), и что переменные занумерованы так, что 1; : : : ; r > 0,r+1; : : : ; m < 0. Полагая ai = j ij, мы приведем уравнение к нужному виду

a1x21 + : : : + arx2r ar+1x2r+1 : : : amx2m = 0:

Лемма 6. Если в обозначениях леммы 3 не все числа bm+1; : : : ; bn равны 0, то в A существует такая декартова система координат, что Q состоит из всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

a1x21 + : : : + arx2r ar+1x2r+1 : : : amx2m xm+1 = 0;

ãäå r m r, à a1; : : : ; am положительные вещественные числа. Доказательство. По тем же соображениям, как и в доказательстве

вещественного числа bm+1+: : :+bn. Поскольку сумма квадратов чисел

n m первая строка которой состоит из этих чисел. Тогда матрица

C2 = C1> тоже ортогональная, и C1C2 = C1C1> = En m. В частности, произведение ( bm+1=b; : : : ; bn=b) C2 первой строки матрицы

C1 на матрицу C2 равно первой строке матрицы En m, то есть строке

(1; 0; : : : ; 0). Отсюда следует, что (bm+1; : : : ; bn)C2 = ( b; 0; : : : ; 0).

Ясно, что при замене переменных X = CY , которая отвечает де-

картовой системе координат с тем же началом, но с ортогональным нормированным базисом (e01; : : : ; e0n) = (e1; : : : ; en)C, коэффициенты

квадратичной формы не изменятся, а строка коэффициентов линейной части превратится в строку

= (0; : : : ; 0 j ((bm+1; : : : ; bn)C2)) = (0; : : : ; 0; b; : : : 0):

307

Итак, в новой системе координат уравнение квадрики принимает вид

1y12 + : : : + mym2 bym+1 + c = 0:

Сдвинем теперь начало координат в точку O0 = O+(c=b)e0m+1, òî åñòü произведем замену переменных yi = zi ïðè i 6= m+1, ym+1 = zm+1+c=b;

это преобразование обращает в 0 свободный член. Таким образом, в декартовой системе координат (O0; e1; : : : ; en) уравнение квадрики Q

принимает вид

1z12 + : : : + mzm2 bzm+1 = 0:

Для завершения доказательства леммы остается умножить обе ча- сти уравнения на 1=b, ввести обозначение ai = j ij=b и вернуться к

обозначению переменных буквами x1; : : : ; xn.

Доказанные леммы 4, 5 и 6 содержат все утверждения теоремы 3.

3 Классификация квадрик в евклидовом аффинном пространстве

Обычно уравнения из теоремы 3 записывают несколько иначе, при- чем традиционно в записи уравнений первого и второго типов используют одни параметры, а в записи уравнений третьего типа другие. Напомним, что a1; : : : ; am > 0; для 1 i m положим

p

ci = 1=ai; pi = 1=2ai:

Тогда уравнения из теоремы 3 можно записать следующим образом:

Рассмотрим квадрики, задаваемые уравнениями каждого из этих видов. Начнем с уравнения

Пусть сначала m = n. При r = 0 получаем уравнение

x21 : : : x2n = 1;

c21 c2n

308

которому не удовлетворяют координаты ни одной точки из A; по-

этому в этом случае квадрика представляет собой пустое множество. В противоположном случае r = n получаем квадрику, задаваемую

уравнением

= 1;

такая квадрика называется n-мерным эллипсоидом. Квадрики, описываемые уравнением

при 1 r < n, называются n-мерными гиперболоидами. В зависимости от r, получаем n 1 тип принципиально различных n-мерных гиперболоидов. Наконец, если n > m, мы получаем n-мерные цилиндры, порожденные m-мерными эллипсоидами или гиперболоидами, или, если r = 0, пустое множество точек.

Если квадрика задается однородным уравнением

то она обладает следующим свойством: вместе с любой точкой она содержит все точки прямой, проходящей через эту точку и начало координат. Такие поверхности называются конусами с вершиной в начале координат. При m = n мы получаем, в зависимости от r,

[n=2]+1 принципиально различных n-мерных квадратичных конусов. Заметим, что при r = n наша коническая поверхность вырождается в точку. Если n > m, мы получаем n-мерные цилиндры, порожденные m-мерными конусами.

Квадрики, задаваемые уравнением вида

называются n-мерными параболоидами; в зависимости от r, получа- ется [(n 1)=2] + 1 принципиально различных n-мерных параболоидов. При n > m + 1 уравнение

задает n-мерный цилиндр, порожденный m + 1-мерным параболоидом.

309

4 Квадрики в пространствах малых размерностей

Посмотрим, что дают результаты предыдущего пункта для аффинных евклидовых пространств размерностей 1, 2, 3.

n = 1: Имеются лишь следующие варианты уравнения:

n = 2: Помимо цилиндрических поверхностей, порожденных одномерными квадриками:

x2 = 1 (пустое множество точек); a2

x2 = 1 (пара параллельных прямых x = a); a2

x2

a2 = 0 (одна прямая x = 0),

имеются еще одна реализация пустого множества, двумерный эллипсоид, один двумерный гиперболоид, два двумерных конуса и один двумерный параболоид:

n = 3: Три цилиндрических поверхности, порожденных одномерными квадриками:

310