- •1)Линейное векторное н-мерное пространство
- •2) Скалярное произведение. Угол между векторами.
- •3) Условие коллинеарности и ортогональности векторов.
- •4) Системы векторов.
- •5) Ранг и базис системы векторов и всего пространства.
- •6) Ортогональные системы векторов
- •7) Матрицы. Операции над матрицами.
- •Операции над матрицами
- •8) Определители. Их свойства. Определители
- •Свойства определителей
- •9) Миноры и алгебраические дополнения.
- •10) Обратная матрица. Единственность.
- •11) Обратная матрица. Существование.
- •12) Элементарные преобразования над матрицей. Второй способ нахождения обратной матрицы.
- •13. Ранг матрицы.
- •14. Собственные векторы и собственные значения матрицы.
- •15. Системы линейных уравнений.
- •16. Совместность неоднородной системы.
- •17. Решение систем методом Крамера и с помощью обратной матрицы.
- •18. Нахождение решений общей системы уравнений.
- •19. Метод Гаусса. Нахождение опорных решений
- •20. Совместность однородной системы.
- •21. Системы однородных уравнений. Свойства решений, совместность.
- •22. Системы однородных уравнений. Общее рещение систем.
- •23. Однородные системы линейных уравнений
- •24. Прямая линия на плоскости. Общее уравнение, уравнение с угловым Коэффициентом
- •25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
- •26. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки и в отрезках на осях.
- •27. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •28. Эллипс.
- •29. Окружность.
- •30. Гипербола.
- •31. Парабола.
- •32. Преобразование прямоугольной системы координат.
- •Поворот системы координат y y
- •33. Уравнение плоскости в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •34. Уравнение прямой в пространстве
- •35. Метрическое пространство, выпуклые множества.
- •36. Решение систем линейных неравенств
- •37. Представление выпуклого многогранника
- •38. Область допустимых решений системы уравнений и неравенств.
24. Прямая линия на плоскости. Общее уравнение, уравнение с угловым Коэффициентом
Общее уравнение прямой
Теорема 1. Всякое невырожденное уравнение первой степени с двумя переменными определяет на плоскости некоторую прямую, и наоборот.
Аx+Вy+С=0 - общее уравнение прямой,
- условие невырожденности.
Рассмотрим различные случаи расположения прямой на плоскости в зависимости от коэффициентов общего уравнения.
1) С = 0, Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;
А = 0, By + C = 0 - прямая проходит параллельно оси ОХ;
В = 0, Ax + C = 0 - прямая проходит параллельно оси ОУ;
2) A = C = 0, By = 0 - прямая совпадает с осью ОХ;
B = C = 0, Ax = 0 - прямая совпадает с осью ОУ.
Расстояние от точки M0 (x0,y0) до прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0, находится по формуле
.
равнение прямой с угловым коэффициентом
Предположим, что прямая расположена под углом к оси ОХ и отсекает от оси ОУ отрезок в b единиц. Составим уравнение этой прямой.
| |
|
Возьмем произвольную точку M (x, y), лежащую на этой прямой, и найдем уравнение, связывающее переменные x и y. Из рисунка видно: AM = AN + NM, где AM = y, AN = b. Из треугольника BMN: MN = BN · tg .Обозначим tg = k и назовем его угловым коэффициентом прямой. MN = k · x.
Подставляя в равенство
AM = AN + NM
выражения отрезков
AM = y, AN = b, MN = k · x;
получим
y = k · x + b - уравнение прямой с угловым коэффициентом.
25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
Предположим, что прямая проходит через точку M1 (x1,y1) и образует с осью OX угол . Составим уравнение этой прямой.
Y
y M(x,y)
у1 M1 (x1,y1) N
0 х1 х Х
Будем искать уравнение прямой в виде уравнения с угловым коэффициентом: y = k · x + b. Угловой коэффициент прямой можно найти, зная угол наклона k = tg . Возьмем произвольную точку M (x, y), лежащую на этой прямой, и найдем уравнение, связывающее переменные x и y. Так как точки М и M1 лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой:
y = k · x + b,
y1 = k · x1 + b.
Вычитая эти равенства, получим:
y - y1 = k · (x - x1) - уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
26. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки и в отрезках на осях.
Даны две точки M1 (x1, y1) и M2 (x2, y2). Составим уравнение прямой, проходящей через две эти точки.
Из треугольника M1M2M:
,
- угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки.
Y
y2 M2 (x2, y2)
у1 M1 (x1,y1) M
0 х1 х2 Х
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку M1 и в данном направлении :
Если точки имеют различные абсциссы и ординаты, то, умножая обе части последнего равенства на величину
,
получим
- уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Если точки имеют одинаковые абсциссы или одинаковые ординаты, то используют формулу .