- •1)Линейное векторное н-мерное пространство
- •2) Скалярное произведение. Угол между векторами.
- •3) Условие коллинеарности и ортогональности векторов.
- •4) Системы векторов.
- •5) Ранг и базис системы векторов и всего пространства.
- •6) Ортогональные системы векторов
- •7) Матрицы. Операции над матрицами.
- •Операции над матрицами
- •8) Определители. Их свойства. Определители
- •Свойства определителей
- •9) Миноры и алгебраические дополнения.
- •10) Обратная матрица. Единственность.
- •11) Обратная матрица. Существование.
- •12) Элементарные преобразования над матрицей. Второй способ нахождения обратной матрицы.
- •13. Ранг матрицы.
- •14. Собственные векторы и собственные значения матрицы.
- •15. Системы линейных уравнений.
- •16. Совместность неоднородной системы.
- •17. Решение систем методом Крамера и с помощью обратной матрицы.
- •18. Нахождение решений общей системы уравнений.
- •19. Метод Гаусса. Нахождение опорных решений
- •20. Совместность однородной системы.
- •21. Системы однородных уравнений. Свойства решений, совместность.
- •22. Системы однородных уравнений. Общее рещение систем.
- •23. Однородные системы линейных уравнений
- •24. Прямая линия на плоскости. Общее уравнение, уравнение с угловым Коэффициентом
- •25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
- •26. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки и в отрезках на осях.
- •27. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •28. Эллипс.
- •29. Окружность.
- •30. Гипербола.
- •31. Парабола.
- •32. Преобразование прямоугольной системы координат.
- •Поворот системы координат y y
- •33. Уравнение плоскости в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •34. Уравнение прямой в пространстве
- •35. Метрическое пространство, выпуклые множества.
- •36. Решение систем линейных неравенств
- •37. Представление выпуклого многогранника
- •38. Область допустимых решений системы уравнений и неравенств.
Свойства определителей
Теорема 1. При транспонировании величина определителя не меняется.
Следствие. Строки и столбцы в определителе равноправны, т.е. свойства, справедливые для строк, будут справедливы и для столбцов.
Теорема 2. Если все элементы одной строки определителя умножить на одно и то же число, то и весь определитель умножится на это число.
Следствие. Постоянный множитель строки можно выносить за знак определителя.
Теорема 3. Если в определителе поменять местами две строки, то определитель сменит знак на противоположный.
Следствие 1. Определитель, у которого две строки равны, равен нулю.
Следствие 2. Если в определителе две строки пропорциональны, то такой определитель равен нулю.
Теорема 4. Если строка определителя представлена в виде алгебраической суммы нескольких слагаемых, то определитель равен алгебраической сумме определителей, у которых в первом определителе в данной строке стоит первое слагаемое, во втором - второе слагаемое и т.д.
Следствие. Если строки определителя линейно зависимы, то такой определитель равен нулю.
Теорема 5. Если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.
9) Миноры и алгебраические дополнения.
Пусть дана прямоугольная матрица А размера .
Определение 1. Минором порядка k данной матрицы, где kmin(m;n), называется определитель k-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием (m-k) строк и (n-k) столбцов.
Определение 2. Дополнительным минором Mij к элементу aij квадратной матрицы называется определитель (n-1) порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием этого элемента вместе со строкой и столбцом, в которых он расположен.
Определение 3. Алгебраическим дополнением Aij к элементу aij квадратной матрицы называется числоAij=.
Теорема 1. Определитель равен сумме попарных произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.
- разложение определителя по i-й строке.
Теорема 2. Сумма попарных произведений элементов любой строки определителя на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки равна нулю.
Вычисление определителей порядка n>3 сводится к вычислению определителей второго и третьего порядка с помощью теоремы 1 и свойства 5 определителя.
Перед разложением определителя для удобства получают в одном из столбцов нули. Это сокращает объемы вычислений. Для этого используют пятое свойство определителя. Одну из строк умножают на некоторые числа и складывают с другими строками.
10) Обратная матрица. Единственность.
Определение 1. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной - в противном случае.
Определение 2. Матрица А-1 называется обратной к квадратной матрице А n-го порядка, если А·А-1= А-1·А=Е.
Теорема 1. Для любой невырожденной квадратной матрицы существует единственная обратная матрица.
Доказательство. 1 часть (единственность).
Предположим, что обратная матрица существует. Докажем, что она единственная. Предположим противное, т.е. существует две обратные матрицы: А-1 и .
Тогда А·А-1=А-1·А=Е и А·=·А=Е.
Рассмотрим равенство
А·А-1=Е.
Умножим его слева на .
·А·А-1=·Е,
Е·А-1=,
А-1=.
Получили противоречие.