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Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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Тиоповой расчёт по математике 6 модуль

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II. Найти область сходимости функционального ряда.

n 1

2n+1

+ 3

(¡1)

(x + 1)

(x + 5)2n:

n + 2 pn

n3 + 1

(n + 1)5 x2n

3 (x ¡ 2)

3 n

2)n

(x + 1)

4 + n

3)n

( 1)n¡1 (3x 2)2n

(

1)n (2x

n=1

2n + pn

(2x + 5)

10.

2n+1

(x ¡ 5)

(2n + 7)

11.

2n + 3

12.

(3x + 2)2n

(n + 1) x

(2n + 1) 5

13.

14.

n2 (2x

3)n

(n + 1)

nP n ln(n + 2) (x ¡ 3)

15.

3n2 + 4n

16.

2 (x ¡ 1)

nP n (x + 3)

17.

n2 + 1

18.

3n + n

5 (2x + 3)

(x + 1)

19.

(x ¡ 7)2n¡1

20.

(2n ¡ 4n) 5

(5n ¡ 8) (x ¡ 2)

21.

(2x ¡ 5)n

22.

(3n ¡ 2) (x ¡ 3)2n

n+1

(n + 4) ln (n + 4)

(n + 1) 2

(3x

1)2n

23.

24.

9 (x ¡ 1) n

n 9

25.

26.

2 n (x + 2)

(x ¡ 1)

4n (2x + 1)2n

(3x

1)2n+1

27.

28.

n=1

29.

4n2 + 1

30.

(x + 5)2n¡1

(3n + 7) (x + 3)

4 (2n + 3)

III. Найти три первых отличных от нуля члена разложения функции в ряд Маклорена.


1.	f(x) = ln(5 + e¡2x):					2.	f(x) = arcctg(2 + 3x)¡1.
3.	f(x) = exp (arctg 3x):					4.	f(x) = exp (x2 + 4x + 7).
5.	f(x) = exp (5 ¡ x)¡1:					6.	f(x) = (1 + ctg(x + 1))¡1.
7.	f(x) = x sin(1 + 2x):					8.	f(x) = 1 + x arctg(x + 1).
9.	f(x) = ln cos 3x.					10.		f(x) = exp (arcsin 3x):
11.		f(x) = (cos 3x)¡1:				12.		f(x) = ln (1 ¡ sin x)¡1.
13.		f(x) = ex cos¡1 2x:				14.		f(x) = exp (1 + sin			x			).

		f(x) = arctg e¡3x:						2
15.						16.		f(x) = exp (1 + sin x).
17.						18.		f(x) = p					.
		f(x) = exp (tg 3x):								3 + 5x ¡ x2
19.		f(x) = x ctg(3 ¡ x):				20.		f(x) = p							.
										1 + arctg 2x
21.		f(x) = ln2(1 ¡ 5x):				22.		f(x) = ln cos(1 ¡ 3x).
23.		f(x) = p			:	24.		f(x) = ln(3 ¡ sin 2x).
				e2x + 3
25.		f(x) = x tg(x + 1):				26.		f(x) = arctg(1 ¡ 2x).
27.		f(x) = p3				28.		f(x) = arctg(2 + e¡x).
			1 + cos x:
29.		f(x) = sin3(1 + x):				30.		f(x) = p3				.
									2 + 3x + x3

IV. Построить ряд Тейлора данной функции в окрестности точки x0; используя стандартные разложения Маклорена основных элементарных функций. Указать область в которой разложение справедливо.

1.a)

2.a)

3.a)

4.a)

5.a)

f(x) = sin 3x; x0 = ¼; f(x) = xe3+x; x0 = 1: f(x) = e2+3x; x0 = 2;

f(x) = 6 sin x3 + x2(6 ¡ x4); x0 = 0:

f(x) = ln(6 + 3x); x0 = ¡1;

f(x) = 2 ¡ 3(x5 ¡ x) + 3 cos x2; x0 = 0: f(x) = 5(2 ¡ x)¡1=3; x0 = 1;

f(x) = x2 cos(x + 1); x0 = ¡1:

f(x) = cos(x=4); x0 = ¼;

f(x) = x2(1 + x)¡2; x0 = 0:

6.a) f(x) = 23(x+1); x0 = ¡2;

b)f(x) = x(x + 2)¡1; x0 = 1:

7.a) f(x) = ex2¡4x; x0 = 2;

b)f(x) = 1 + x2 ¡ ln(2 ¡ x); x0 = 1:

8.a) f(x) = (4 ¡ 3x)¡1; x0 = ¡1;

b)f(x) = (x + 2)(ex2 ¡ 1); x0 = 0:

9.a) f(x) = (5 ¡ 2x)1=3; x0 = 2;

b)f(x) = x sin(x + 1); x0 = ¡1:

10.a) f(x) = (x2 ¡ 3x + 2)¡1; x0 = 0;

b)f(x) = xe2x; x0 = 1:

11.a) f(x) = ln(2 ¡ 5x); x0 = ¡3;

b)f(x) = sh2x; x0 = 1:

12.a) f(x) = (7 + 3x)¡1=4; x0 = ¡1;

b)f(x) = ch3x; x0 = 2:

13.a) f(x) = ex2¡6x+7; x0 = 3;

b)f(x) = x(x2 ¡ 2x + 5)¡1; x0 = 1:

14.a) f(x) = (5 + x2)¡1=2; x0 = 0;

b)f(x) = x2ex; x0 = 1:

15.a) f(x) = (2x ¡ 5)¡1; x0 = ¡3;

b)f(x) = x + 2 + xex; x0 = 1:

16.a) f(x) = cos(¼x=3); x0 = ¡3=2;

b)f(x) = xln(1 + 3x); x0 = 1:

17.a) f(x) = e¡3(x2+5); x0 = 0;

b)f(x) = x(x + 3)¡1; x0 = 1:

18.a) f(x) = x3cos23x; x0 = 0;

b)f(x) = (x + 1)(x ¡ 2)¡1; x0 = 1:

19.a) f(x) = ex + x + 3; x0 = 2;

b)f(x) = (1 + x)ln(3 + x); x0 = ¡2:

20.a) f(x) = x2 + 3 + 1=x; x0 = 1;

b)f(x) = ch2x; x0 = ¡1:

21.a) f(x) = ln(x2 + 6x + 5); x0 = 0;

b)f(x) = xe1¡x; x0 = 1:

22.a) f(x) = e2¡x + 3x; x0 = 4;

b)f(x) = (7 ¡ 2x)(x2 ¡ x ¡ 2)¡1; x0 = 0:

23.a) f(x) = x2 + cos 2x; x0 = ¡¼;

b)f(x) = xln(4 + 3x); x0 = ¡1:

24.a) f(x) = (x2 + x)¡1; x0 = ¡2;

b)f(x) = (2x + 3)(ex2 ¡ 1); x0 = 0:

25.a) f(x) = x2e¡6x; x0 = 0;

b)f(x) = x3 + ln(2 ¡ x); x0 = 1:

26.a) f(x) = x2 cos(x3 + ¼=4); x0 = 0;

b)f(x) = (x2 ¡ 3x + 2)¡1; x0 = ¡3:

27.a) f(x) = (2 + 7x5)¡1=2; x0 = 0;

b)f(x) = shx; x0 = 2:

28.a) f(x) = (4x)1=3; x0 = ¡1;

b)f(x) = x2 + sin(1 ¡ x); x0 = 1:

29.a) f(x) = sin(x2 + ¼=4); x0 = 0;

b)f(x) = xln(3 + x); x0 = ¡1:

30.a) f(x) = (2x + 3)¡2=3; x0 = ¡2;

b)f(x) = chx; x0 = 1:

V.Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

	0;1 ln(1 + 2x)						0;4	1	e¡x=2
	R						R
1.	R			x	dx:	2.	R	¡	x	dx.
1.	0		p4		dx:	2.	0	¡		dx.
	1;5		p4	4		4.	0;2		2 .
3.	R	1		81 + x dx:			R	cos(25x )dx
3.	0	1		81 + x dx:			0	cos(25x )dx
	0;4						0;3
5.	R	sin(5x=2)2dx:				6.	R	e¡2x2dx.
5.	0	sin(5x=2)2dx:				6.	0	e¡2x2dx.

	2			1
7.	R	p64 + x							dx:
7.	0	3					3		dx:
9.	00;1 e¡6x2dx:
	R			1 ¡ e¡x dx:
11.	00;2			1 ¡ e¡x dx:
	R					x
	R
13.	00;5 cos(4x2)dx:
15.	00;2 e¡3x2dx:
	R
	1 ln(1 + x=5)
17.	R											dx:
	R					x
	0
	0;5			1
19.	R			p					dx:
	R			p		1 + x
	0			4				4
	2;5			1
21.	R			p								dx:
	R			p		125 + x
	0			3							3
	R
23.	00;5 sin(4x2)dx:
	2			1
25.	R		p								dx:
	R		p		256 + x
	0	4								4
	2;5			1
27.	R			p625 + x								dx:
27.	0			4							4	dx:
	R
29.	00;5 e¡3x2=25dx:

	0;4 ln(1 + x=2)
8.	R					x						dx.
	0
10.	R
10.	0;1 sin(100x2)dx.
	0
	1		1
12.	R	p								dx.
	R	p			16 + x
	0		4						4
	0
14.	R
14.	0;2 sin(25x2)dx.
	0
	1;5		1
16.	R			p27 + x							dx.
16.	0		3							3	dx.
	0
18.	0;1			1 ¡ e¡2x						dx.
18.	R			1 ¡ e¡2x						dx.
	R					x
	0
20.	1 cos x2dx.
	R
	0
22.	0;4 e¡3x2=4dx.
	R
	0
24.	R
24.	0;1 cos(100x2)dx.
	0
	0;5		1
26.	R			p1 + x						dx.
26.	0		3					3		dx.
	0
	1		1
28.	R	p						dx.
	R	p			8 + x
	0		3				3
	0
30.	1 sin x2dx.
	R
	0

VI. Найти решение задачи Коши в виде ряда.

1. 2y00 + xy0 + 10y = x ¡ x2; y(0) = 1=30; y0(0) = 0. 2. y00 + 2xy0 + 4y = 1 + x + x2; y(0) = 3=16; y0(0) = 0. 3. 5y00 ¡ 2xy0 ¡ 2y = ¡2x2; y(0) = 1; y0(0) = 0.

2y00

¡ xy0

+ 2y = 1; y(0) = ¡1; y0(0) = ¡12.

2y00

+ xy0

+ 10y = 11x; y(0) = 2; y0(0) = 1.

2y00

¡ xy0 + 2y = x ¡ 4x2; y(0) = ¡1; y0(0) = 1.

3y00

¡ xy0 + 2y = 1 + 2x2; y(0) = 5; y0(0) = 0.

3y00

¡ xy0

+ 3y = 1; y(0) = 0; y0(0) = 1.

4y00

¡ 2xy0

¡ 4y = 3x3; y(0) = 0; y0(0) = 2.

10.

3y00

+ 2xy0

+ 4y = 1; y(0) = 1; y0(0) = 0.

11.

4y00

¡ 3xy0

+ 3y = 1; y(0) = 0; y0(0) = 0.

12.

4y00

¡ 3xy0 ¡ 3y = 2x + 2x3; y(0) = 0; y0(0) = 3.

13.

3y00

¡ 4xy0

+ 4y = 3x2; y(0) = 0; y0(0) = 1=2.

14.

5y00

+ 2xy0

¡ 4y = 0; y(0) = 1; y0(0) = 1.

15.

5y00

+ 2xy0 ¡ 4y = ¡7x; y(0) = 1; y0(0) = 1.

16.

4y00

+ 3xy0 ¡ 6y = ¡x; y(0) = 2; y0(0) = 0.

17.

2xy00 + (x

1)y0

+ y = 1 + 5x; y(0) = 2; y0(0) = 1.

+ y = 6x2; y(0) = 1; y0(0) = 1.

18.

2xy00 + (x ¡ 1)y0

19.

2xy00 + (x + 2)y0

+ y = 2x + 1; y(0) =

1; y0

(0) = 1.

20.

2xy00 + (x + 4)y0

+ y = x + 1; y(0) = 0; y0(0) = 1=4.

21.

xy00

+ (x + 1)y0

+ y = 10x; y(0) = 2; y0(0) =

22.

xy00

¡ (x ¡ 1)y0

¡ y = x + 1; y(0) = ¡1; y0(0) = 0.

23.

xy00

+ (2x2 + 1)y0

+ 2xy = 2; y(0) = 0; y0(0) = 2.

24.

2xy00 + (2x + 1)y0

+ y = x; y(0) = 1; y0(0) =

xy00

+ (x + 2)y0

1; y(0) = 0; y0

25.

+ 2y =

(0) =

1=2.

+ (x2 + 1)y0

26.

xy00

+ 2xy = 10x; y(0) = 0; y0(0) = 0.

27.

xy00

+ (x2 + 1)y0

+ 2xy = 1; y(0) = 0; y0(0) = 1.

28.

2y00

+ 2xy0

+ 4y = 3x; y(0) = 1; y0(0) = 1=2.

29.

y00 ¡ 2xy0

¡ 4y = 8x2; y(0) = ¡1=2; y0(0) = 1.

30.

xy00

+ (1 ¡ x)y0

¡ y = 1 + x; y(0) = ¡1; y0(0) = 0.

VII. Для заданной графически функции f(x) построить 4 ряда Фурье и их
графики.			f(t)
			f(t)
1:	1	6
		6




	0; 5
						t
					-


	0	1		2
			f(t)
			f(t)