- •Определение комплексных чисел.Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
- •Модуль и аргумент комплексного числа.Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
- •Извлечение корня из комплексного числа.
- •Определители второго и третьего порядка. Свойства определителей. Определитель n-го порядка.
- •Определение вектора. Линейные операции с векторами. Ортогональные, коллинеарные и компланарные векторы. Проекция вектора на ось.
-
Определение комплексных чисел.Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Комплексным числом z будем называть упорядоченную пару (a, b)
действительных чисел a, b ∈ R, условно записываемую в виде:
z = a + ib, a, b ∈ R,
при этом число a называется действительной частью числа z и обозначается a = Re (z),
число b называется мнимой частью числа z и обозначается b = Im (z), а символ i
называется мнимой единицей.
Множество всех комплексных чисел обозначается символом C.
Если мнимая часть числа z есть ноль, т.е. z = a + i · 0, то число z считают действительным,
совпадающим с a ∈ R, а если z = 0 + ib, то число z называют чисто мнимым.
Действия над комплексными числами:
-
Сравнение
означает, что и (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
-
Сложение
-
Вычитание
-
Умножение
-
Деление
-
Модуль и аргумент комплексного числа.Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).
Модуль комплексного числа обозначается и определяется выражением . Часто обозначается буквой . (r=mad z= |z|)
Аргументом числа - это угол (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу , называется и обозначается .
z=x+iy=|z|(cosφ+isinφ) – тригонометрическая форма записи комплексного числа.
-
Извлечение корня из комплексного числа.
, – арифметический корень из модуля числа z, а Ψ – одно из значений Arg z. Из основной теоремы алгебры следует, что корни n-й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в нуле.
-
Определители второго и третьего порядка. Свойства определителей. Определитель n-го порядка.
Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали:
Определителем третьего порядка называется следующее выражение:
Определитель третьего порядка вычислить легко, если учесть следующее правило: со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной из противоположного угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольников, построенных относительно этой диагонали. Следующая схема демонстрирует это правило, называемое правилом треугольников. В схеме синим (слева) отмечены элементы, чьи произведения идут со знаком плюс, а зеленым (справа) - со знаком минус.
Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании.
Это означает, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы (матрицы, в которой строки заменены соответствующими столбцами).(m×n=n×m)
Исходя из первого свойства, в остальных свойствах мы можем говорить только о строках, подразумевая, что эти свойства применимы также и к столбцам.
Свойство 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
(это свойство вытекает из свойства 5 при k=0)
Свойство 3. От перестановки двух строк определитель меняет свой знак.
Свойство 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
Пусть ∆ - определитель матрицы с двумя одинаковыми строками. Если эти строки переставить местами, то определитель должен поменять знак. Но так как строки одинаковы, то определитель не изменится. Т.е. имеет ∆=-∆, откуда 2∙∆=0 или ∆=0.
Свойство 5. Если все элементы некоторой строки умножить на некое число, то сам определитель умножится на это число.
.
Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные (одинаковые) строки, равен нулю.
(свойство 5, а затем свойство 4)
Свойство 7. Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы 2-х определителей.
.