2.2 Волны Лява

Рэлеевская волна в изотропном твердом полупространстве, рассмотренная в пункте 2.1., состоит из двух плоских неоднородных волн — продольной и поперечной с векторами смещения, лежащими в плоскости, перпендикулярной границе и параллельной направлению распространения волны. Эти волны и составленная из них рэлеевская волна — волны с вертикальной поляризацией.

Рис.7. Твёрдое полупространство со слоем

Рассмотрим теперь волновые движения с взаимно дополнительным типом поляризации (горизонтальная поляризация), представляющие собой плоские поперечные волны со смещениями, параллельными свободной поверхности полупространства и перпендикулярными направлению распространения волны. Пусть волновой вектор лежит в плоскости xz, а смещения параллельны оси у (рис. 7). Эти волны с горизонтальной поляризацией также удовлетворяют уравнению (2), являясь его вторым линейно-независимым решением. Действительно, пусть поскольку волны плоские. Тогда уравнение (2) принимает следующую простую форму:

(15)

(16)

Решением этого уравнения и является указанная система волн с горизонтальной поляризацией. Простейшей волной с горизонтальной поляризацией является плоская объемная поперечная волна, скользящая вдоль границы полупространства и описываемая выражением:

где А — произвольная постоянная. Эта волна строго удовлетворяет граничным условиям отсутствия напряжений на плоскости z = 0. Скользящая объемная поперечная волна, как будет видно в дальнейшем, «неустойчива» в том смысле, что небольшое изменение граничных условий или свойств среды превращает ее в поверхностную. Поэтому ее можно рассматривать как некоторый предельный случай поверхностной волны с бесконечной толщиной слоя локализации. Первым примером такой неустойчивости являются волны Лява — второй основной тип звуковых поверхностных волн. В этом случае поверхностная волна получает «возможность существования» из-за добавления к полупространству твердого слоя, являющегося нагрузкой для полупространства.

3. Волны Стоунли

Третьим основным типом звуковых поверхностных волн являются волны на границе двух твердых полупространств (жестко склеенных), описанные Стоунли в 1924 г. Волны Стоунли бывают двух поляризаций: вертикальной и горизонтальной

Рис.8. Граница двух твердых полупространств

Рассмотрим распространение плоской гармонической поверхностной волны в направлении положительной оси ; вдоль плоской границы z = 0 двух жестко склеенных твердых полупространств (рис. 8). Будем считать, что волна в каждом из полупространств состоит из суммы продольной и поперечной плоских волн, каждая из которых является решением уравнений (4) или (5) с соответствующими значениямиТогда выражения для смещений можно представить в следующей форме:

(17)

-произвольные амплитуды;

Компоненты тензора в средах 1 и 2 выражаются через смешения по соотношениям:

(18)

На границе z = О должны выполняться условия равенства данных компонент напряжений и смещений в средах 1, 2. Записывая эти условия, получим систему линейных однородных уравнений относительно амплитуд

(19)

Условием существования нетривиального решения этой системы является равенство нулю ее определителя. Это приводит к следующему дисперсионному уравнению:

(20)

Искомой поверхностной волне соответствует вещественный корень к0 данного уравнения, который удовлетворяет условию:

(21)

Только в этом случае выражения (17) описывают волновое движение, локализованное вблизи границы двух полупространств. После нахождения волнового числа к0 можно из системы (19) выразить три произвольные постоянные через четвертую и по формулам (17) рассчитать смещения в волне. Траекториями движения частиц в волне (как и в случае волны Рэлея) являются эллипсы.

Рассмотрим случай, когда второе полупространство — жидкость. Переходя в уравнении (20) к пределу при и учитывая, что(где— фазовая скорость звуковой волны в жидкости),, получим после некоторых преобразований следующее уравнение::

(22)

где — плотность жидкости;. Данное уравнение отличается от уравнения Рэлея (13) для полупространства со свободной границей наличием правой части, учитывающей влияние жидкости на полупространство 1 (рис.8.). Вычисляя по соотношениям (17), (19) смещения в верхнем и нижнем полупространствах с учетом указанных предельных соотношений приполучим, что движение в твердом теле описывается выражениями (17), в которых kR нужно заменить на волновое число к0 волны Стоунли, а в жидкости — формулами:

(23)

В отличие от границы двух твердых полупространств при любом соотношении параметров твердой и жидкой сред уравнение (22) имеет один вещественный корень, соответствующий поверхностной волне, бегущей вдоль границы с фазовой скоростью с, меньшей скорости сж волны в жидкости и скоростей ,продольных и поперечных волн в твердом теле.

В случае существенного различия плотностей и упругих модулей жидкости и твердого тела, когда и, для этого корня справедливо выражение:

(24)

Приведенные выражения показывают, что скорость рассматриваемой волны немного меньше и в жидкости волна локализована в толстом слое:, а в твердом теле — в тонком: толщина слоя ее локализации равна примерно. Энергия волны сосредоточена в основном в жидкости. Отметим, что именно эта волна распространяется по дну океана при землетрясениях.