Тогда суммарная производительность (за рабочий день) будет:

=

2. Расход сырья на каждом предприятии найдется из выражения:

=

Суммарное количество I и II видов сырья по всем предприятиям можно получить, умножив матрицу – строку на матрицу

=.

3. Размеры кредитов определяются стоимостью сырья, используемого каж-

дым предприятием, путем умножения матрицы на матрицу.

==1 917 900. Размер кредитов всем предприятиям равен 1 917 900 руб.◄

§2. Определители. Свойства. Вычисление

1. Квадратной матрице -го порядка соответствует число, называемое определителем (или детерминантом). Обозначается определитель: ,,.

Если = 1 , то			- определитель 1-го порядка.
Если = 2 , то			- определитель 2-го порядка.

Схема вычисления:

.

Если = 3 , то

- определитель 3-го порядка.

Определитель третьего порядка можно вычислять по правилу треугольников (правилу Саррюса).

Схема вычисления:

Типовые примеры. Вычислить определитель.

1) .

►.◄

2) . ►

=-28 +16= - 12.◄

3) . ►

=(0+12+16)-(0+12+4)=28-16=12. ◄

Прежде, чем сформулировать определение определителя -го порядка, рассмотрим одно вспомогательное понятие.

2. Перестановки. Перестановкой чисел называют расположение этих чисел в каком-либо определенном порядке (не обязательно в порядке возрастания). НаТиповой пример,– одна из возможных перестановок чисел.

Число различных перестановок, которые можно составить из чисел , равно произведению(читается: «n факториал»).

Пусть дана какая-то перестановка чисел. Назовеминверсией (или беспорядком) в перестановке любую пару чисел в этой перестановке, из которых большее число расположено левее меньшего.

Типовой пример. В перестановке имеются 3 инверсии: их образуют пары,,.

Условимся обозначать общее число инверсий в перестановке символом. Перестановканазываетсячетной, если число – четное, инечетной, если число – нечетное.

Так в рассмотренном выше Типовой примере перестановка содержала 3 инверсии и, следовательно, является нечетной. Заметим, что перестановка не содержит ни одной инверсии, иначе говоря, содержит 0 инверсий. Следовательно, эта перестановка является четной.

3. Определитель -го порядка. Определителем -го порядка (или определителем матрицы-го порядка) называется число, равное

, (4)

где суммирование распространяется на все перестановки , которые можно составить из чисел. Количество слагаемых в правой части равенства (4) равно, так как количество всех перестановок множества изэлементов равно.

4. Свойства определителей. Сформулируем без доказательства ряд свойств, которыми обладает произвольный определитель -го порядка.

1) Свойство равноправности строк и столбцов. При транспонировании величина определителя сохраняется, т.е. .Это свойство означает полную равноправность строк и столбцов и позволяет нам все последующие свойства формулировать лишь для строк и быть уверенными в справедливости их и для столбцов.

2) При перестановке местами 2-х строк определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

3) Линейное свойство определителя. Если все элементы -ой строки определителя-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых

,

то исходный определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых элементами -й строки являются соответственнои, а все остальные строки – такие же, как у исходного определителя. При этом определители умножаются на исоответственно:

.

Конечно линейное свойство справедливо и для случая, когда -я строка является линейной комбинацией не двух, а нескольких строк. На этот случай (любого конечного числа слагаемых) сформулированное свойство обобщается индукцией по числу слагаемых.

Приведенные три свойства являются основными свойствами определителя. Все следующие свойства являются логическими следствиями трех основных свойств.

4) Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю. В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2 изменит свой знак на противоположный. Таким образом,, т.е.или.

5) Умножение всех элементов некоторой строки определителя на число равносильно умножению определителя на это число. Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак этого определителя. Это свойство вытекает из свойства 3 при .

6) Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. Это свойство вытекает из свойства 5 при .

7) Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. В самом деле, в силу свойства 5 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю согласно свойству 4.

8) Если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится. В самом деле, полученный в результате указанного прибавления определитель можно в силу свойства 3 разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен нулю в силу пропорциональности двух строк и свойства 7.

9) Определитель произведения матриц. Если , гдеи– квадратные матрицы (одинакового порядка), то.

5. Вычисление определителей -го порядка. Пусть дана матрица-го порядка.Минором любого элемента называют определитель порядка, соответствующий той матрице, которая получается из матрицыв результате вычеркивания-й строки и-го столбца (т.е. той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент). Минор элементабудем обозначать символом.

Алгебраическим дополнением элементаматрицыназывают минорэтого элемента, умноженный на, т.е.

.

ТЕОРЕМА. Определитель матрицы -го порядка равен сумме произведений всех элементов какой-нибудь одной фиксированной строки на их алгебраические дополнения, т.е. для любогоимеет место равенство

,

называемое разложением определителя по элементам-й строки.

Аналогично для имеет место разложение определителяпо элементам-го столбца:

.

Методы вычисления определителей.

1) Разложение по строке или столбцу.

2) Метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца. Метод состоит в том, что с учетом свойств определителя при помощи какого-либо столбца (строки) путём умножения его на соответствующие числа и вычитания из остальных столбцов (строк), все элементы выбранной строки (столбца) кроме одного обращаются в нуль, принадлежащего вычитаемому столбцу (строке).

3) Метод приведения к треугольному виду. Алгоритм, предложенный в предыдущем пункте, используется для последовательного преобразования определителя к треугольному виду. Величина такого определителя равна произведению элементов главной диагонали.

Типовые примеры. Вычислить определитель.

1) . ►Имеем, или,

например, ,

и т.д.◄

2)►=0+(-45-91)+0= -136. ◄

3) . ►Вычислим данный определитель 4-го порядка с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдеми:

Следовательно,

◄

4) Вычислить данный определитель четвёртого порядка с помощью разложения по строке или столбцу:

►Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец. Итак, имеем

Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителенулевых элементов нет, поэтому можно выбрать для разложения любой из столбцов, наТиповой пример, первый. Вединственный нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой. Для разнообразия будем разлагатьпо второй строке:

.

.

Таким образом окончательно получим

.◄

5) Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца вычислить определитель матрицы

►Будем обращать в нуль все, кроме первого, элементы первой строки. С этой целью вычтем из второго, третьего и четвёртого столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2, 3 и 4. Получим

Представленный в таком виде определитель разложим по первой строке:

Определитель третьего порядка, к которому свёлся исходный определитель, будем вычислять тем же способом. Вычтем из второго и третьего столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)

◄

6) Используя метод приведения к треугольному виду вычислить определитель

►Воспользуемся видом определителя , который получился после процедуры обращения в нуль всех элементов (кроме первого) первой строки:

.

Далее с помощью второго столбца обратим в нуль элементы второй строки, кроме первых двух, для чего вычтем из третьего и четвёртого столбцов второй столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)

Наконец, вычтем третий столбец из четвёртого, в результате чего определитель сведётся к треугольному виду, величина которого равна произведению элементов главной диагонали:

.◄