- •Глава 1. Матрицы и определители
- •§1. Матрицы
- •1. Понятие матрицы
- •2. Квадратные матрицы
- •3. Действия с матрицами
- •Тогда суммарная производительность (за рабочий день) будет:
- •§2. Определители. Свойства. Вычисление
- •§3. Обратная матрица.
- •§4. Ранг матрицы
- •Идея практического метода вычисления ранга матрицы
- •Типовой пример. Найти ранг и указать какой-нибудь базисный минор матрицы .
- •Глава 2
- •§2. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы. Правило Крамера. Теорема Кронекера-Капелли
- •§2. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) решения систем линейных уравнений
- •§4. Однородная система линейных алгебраических уравнений
- •Глава 3 линейные (векторные) пространства
- •§1. Понятие линейного пространства.
- •§ 2. Линейная зависимость и независимость систем векторов. Базис и размерность
- •Типовые примеры.
- •§ 3. Евклидовы пространства
- •Типовые примеры.
- •3.Матрица Грамма.Матрицей Грамадля системы векторовназывается симметричная матрица вида
- •4. Ортогональное разложение векторов. Говорят, что векторортогонален к подпространству, если векторортогонален любому вектору из этого подпространства.
- •§4.Унитарное пространство
- •§5. Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора.
- •§ 5. Собственные векторы и собственные значения матриц.
- •§6. Симметрические операторы. Квадратичные формы и их применения
- •Типовые примеры.
§4.Унитарное пространство
Линейное пространство называетсяунитарным пространством, если каждой паре поставлено в соответствие комплексное число, которое называется скалярным произведениемна, обозначается, и для любыхи комплексныхудовлетворяет следующим требованиям:
1) ;
2) ;
3) , причем равенство возможно лишь том случае, когда.
Утверждение. Комплексное линейное пространство
Un=,
в котором скалярное произведение векторов задано равенством
,
является унитарным пространством.
Типовые примеры.
1.Векторы образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве. Найти скалярное произведение, если
.
►В рассматриваемом случае в соответствии со свойствами скалярного произведения в унитарном пространстве можно записать ◄
2.В унитарном пространстве со скалярным произведением вида построить ортонормированный базис по данному
.
►Сначала проведём процедуру ортогонализации. В данном случае она аналогична описанной для евклидова пространства. Положим
.
Используя условия ортогональности, получим
.
Теперь отнормируем векторы :
◄
§5. Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора.
1. Отображение из линейного пространствав линейное пространствоназываетсялинейным отображением, или линейным оператором, если для любых векторов изи любой константы выполняются равенства:
1)
2)
Заметим, что линейный оператор отображает нулевой вектор в нулевой вектор. По свойству линейности, .
Любая матрица размера задаёт линейное отображение пространствав пространство. С другой стороны, любое линейное отображениеL конечномерных пространств можно задать с помощью матрицы.
Представим вектор x в виде , где- координаты,- базисные векторы, то по свойствам оператора получим
, откуда видно, что образ вектора зависит лишь от координат этого самого вектора и от того, куда отображаются оператором n базисных векторов пространства, то есть зависит от векторов . Матрица, составленная из этих векторов (по столбцам), являетсяматрицей линейного оператора.
Замечание. Рассмотрим линейный оператор, отображающий векторы в пространстве. Этот оператор – знакомое ещё из школы линейное отображение вида. Причём коэффициентможет рассматриваться в качестве матрицы оператора (матрица порядка 1),x – вектор в пространстве . Задать линейное отображениена элементеx = 1 достаточно, чтобы знать образ любого числа x при таком отображении. Фактически, здесь число играет роль и матрицы размеров, и образа единицы:.
2. Построение матрицы линейного оператора. Пусть отображение задано с помощью формулы
то есть для координат произвольного исходного вектора определены координаты его образа. Тогда, рассматривая вместо произвольного вектора x вектор , найдём его образ, это будет вектор. Для этого в формуле, задающей образ вектора, полагаем,,…,. Аналогично находим образы для,…,. Из координат образа векторасоставляем 1-й столбец матрицы линейного оператора, аналогично из координат последующих векторов – остальные столбцы. Рассмотрим на примере.
Пример. Пусть оператор задан с помощью формулы:
.
►Прежде всего, докажем, что это отображение – действительно линейный оператор. Отобразим сумму векторов:
. Теперь каждую координату получившегося вектора можем преобразовать:
.
Аналогично для умножения на константу:
Для того чтобы найти матрицу этого линейного оператора, нужно, как было сказано выше, подставить значения x1=1, x2=0, а затем x1=0, x2=1. В этом примере образы базисных векторов – соответственно (3, 1) и (2, -1). Поэтому матрица линейного оператора будет иметь вид:
.◄
Пример. .
►Построим матрицу оператора. Отображая вектор (1,0,0), получаем (1,4,-1), соответственно (0,1,0) переходит в (2,1,-2), а вектор (0,0,1) – в (-1,1,3). Матрица линейного оператора:
.◄
Если задана система изn векторов, образующих базис, и какая-нибудь произвольная система n векторов (возможно, линейно-зависимая), то однозначно определён линейный оператор, отображающий каждый вектор первой системы в соответствующий вектор второй системы.
Матрицу этого оператора можно найти двумя способами: с помощью обратной матрицы и с помощью системы уравнений.
Пусть - матрица оператора в базисе. По условию,для всех индексов. Данныеn равенств можно записать в виде одного матричного равенства: , при этом столбцы матрицы- это векторы, а столбцы матрицы- векторы. Тогда матрицаможет быть найдена в виде.
Пример. Найти матрицу линейного оператора, отображающего базис в систему векторов.
►Здесь ,,, и получаем:
.
Проверка осуществляется умножением получившейся матрицы на каждый вектор: .◄
Пример. Линейными операторами являются как правое, так и левое векторное умножение на фиксированный вектор в трёхмерном пространстве, то есть отображения вида и.
►Построим матрицу одного из этих операторов, .Для этого найдём образы всех трёх базисных векторов линейного пространства..
Аналогично, ,
.
Координаты полученных векторов запишем в виде столбцов матрицы оператора.
Матрица оператора: .
Аналогично можно построить матрицу линейного оператора :
.◄
Пример. Линейный оператор дифференцирования в пространстве всех многочленов степени не более n. Это пространство размерности n+1. Возьмём в качестве базиса элементы ,,,…,.
►, ,, аналогично получим,…,.
Матрица этого линейного оператора:
◄
3. Сумма, произведение линейных операторов. Для любых двух линейных операторов определён оператор, называемыйсуммой данных двух операторов. Действие оператора на любой вектор пространстваопределяется так:.
Для всякого линейного оператора определён оператор, называемыйпроизведением на число. Действие этого оператора задаётся с помощью формулы .
Для линейных операторов ,, определён оператор, называемыйкомпозицией двух исходных операторов и обозначаемый. Композиция определяется таким образом:.