4. Алгебраїчні структури
Приклади розв’язання типових задач
Задача 1. З’ясувати, чи є алгебраїчними операціями додавання та скалярний добуток двох векторів, заданих на множині векторів площини.
Розв’язання. Додавання двох векторів площини є бінарною операцією, оскільки для довільних векторів можна однозначно побудувати вектор. Скалярний добуток двох векторів площини не є бінарною операцією в множині, бо скалярний добуток є число, а не вектор, і, отже, не є елементом множини.
Задача 2. З’ясувати, чи буде алгебраїчною операцією знаходження спільного дільника натуральних чисел ів множині .
Розв’язання. Для будь-яких натуральних чисел можна знайти їх спільний дільник, але результат цієї дії може бути неоднозначним: числа іможуть мати кілька спільних дільників. Отже, знаходження спільного дільника двох натуральних чисел не є алгебраїчною операцією.
Задача 3. З’ясувати, чи будуть алгебрами структури: a) ; b) . Знайти підалгебри.
Розв’язання. Структура є алгеброю, оскільки множення є алгебраїчною операцією на множині : . Підалгеброю буде структура , оскільки і множина є замкненою відносно операції множення.
Структура не є алгеброю, оскільки додавання не є алгебраїчною операцією на множині : .
Задача 4. Нехай задано алгебру , носієм якої є множина додатніх дійсних чисел , з бінарною операцією множення, унарною операцією знаходження оберненого елемента і нульарною операцією 1 та алгебру того ж типу . Довести, що відображення є ізоморфізмом.
Розв’язання. Доведемо, що відображення є гомоморфізмом алгебрта. Для кожної з заданих операцій маємо:;;. Кожна з цих рівностей вірна для будь-якихза властивістю логарифмів. Доведемо, що відображенняє взаємно однозначним. Нехай, але. Тоді
.
Отримали протиріччя. Отже, відображення є ізоморфізмом алгебрта.
Задача 5. Класифікувати алгебри:
a) , де – множина квадратних матриць розмірності ;
b) .
Розв’язання. Алгебра – некомутативний моноїд, оскільки множина квадратних матриць є замкненою відносно множення; множення матриць є асоціативною операцією. Нейтральним елементом є одинична матриця : для довільної матрицівиконується рівність. Ця алгебра не є групою, оскільки обернені існують лише для невироджених матриць.
Розглянемо алгебру . Множина є замкненою відносно множення (див. задачу 3), ця операція асоціативна і комутативна, як множення дійсних чисел. Елемент 1 є нейтральним, для кожного елемента існує обернений: . Отже,– абелева група.
A4
Чи будуть алгебраїчними операціями додавання, віднімання, множення та ділення, задані на: a) ;b) ?
Нехай . Вказати алгебраїчні операції та визначити їх властивості, якщо:
; с) ;
; d) .
Нехай . Знайти замикання множин .
Скласти таблицю для закону композиції поворотів площини квадрата навколо його центру, при яких квадрат суміщається сам з собою.
Побудувати декілька підалгебр алгебри . На прикладах з’ясувати, чи буде підалгеброю та, де– деякі підалгебри.
Вказати систему твірних для алгебр: a) ; b) .
Нехай задана алгебра , де– унарна операція обернений елемент. З’ясувати, чи будуть відношення “ = ” та “ < ” стабільними відносно вказаних операцій.
Виписати всі розбиття множини , що відповідають різним конгруенціям алгебри, де– унарна операція, задана таким чином:.
З’ясувати, чи буде відображення гомоморфізмом алгебрта, якщо:
;
;
.
Довести ізоморфізм алгебр: та.
Класифікувати тип алгебр:
; с) ; e) ;
; d) ; f) .
Чи буде абелевою групою алгебра , де ?
Побудувати групу з носієм .
Класифікувати тип алгебр:
множина цілих чисел, кратних (), з операціями додавання та множенням;
множина квадратних матриць розмірності () з операціями додавання та множення;
множина многочленів від однієї змінної скінченного степеня з дійсними коефіцієнтами з операціями додавання та множення;
множина раціональних чисел с операціями додавання та множення.
З’ясувати тип алгебри, носієм якої є множина і операції додавання та множення задані таким чином:
.
Знайти елементи, які мають обернені відносно множення.
Побудувати булеву алгебру на множині .
B4
Чи будуть алгебраїчними операціями додавання, віднімання, множення та ділення, задані на: a) ;b) ;c) ; d) ;e) ?
З’ясувати, чи будуть алгебраїчними операціями додавання, віднімання, множення та ділення, задані на множині , де.
Нехай задана алгебра , де. Операціїтазадані таким чином:,,, , решта значеньдорівнює. З’ясувати, чи буде множиназамкнена відносно. Знайти замикання множини.
З’ясувати, чи будуть алгебрами структури:
; с) .
;
З’ясувати, чи будуть асоціативними та комутативними операції, задані на :
; b) ; c) .
З’ясувати, чи буде системою твірних для алгебри множина, якщо: a) ; b) .
Побудувати декілька підалгебр алгебри . Чи може носієм підалгебри бути скінченна множина?
Нехай – булеан . Побудувати дві підалгебри алгебри .
На носієві алгебри , де, задано бінарне відношенняабо- парне,ділиться на. Визначити:a) відносно скількох операцій із сигнатури відношеннястабільне;b) чи є стабільним в;c) чи є конгруенцією.
З’ясувати, чи буде відображення гомоморфізмом алгебрта, якщо:
;
;
, де – скінченна множина,– її булеан.
Нехай , де– множина квадратних матриць-го порядку (),. З’ясувати, які з відображеньє гомоморфізмами, якщо:a) b) c)
На множині побудувати алгебру, ізоморфну алгебріде,, якщо, інакше.
З’ясувати тип алгебри:
; d) ;
; e) , де
; f) .
Чи буде абелевою групою алгебра , де ?
Скласти таблицю для закону композиції на множині рухів та відображень ромба, які суміщають ромб сам з собою. Побудувати алгебру, визначити її тип.
Задати множину підстановок множини . Побудувати алгебру, визначити її тип, виписати всі її підалебри.
Класифікувати тип алгебр:
множина цілих чисел з операціями додавання та множенням;
множина комплексних чисел з операціями додавання та множення.
Чи утворює кільце відносно операції додавання та множення множина всіх дробів із знаменником 7?
Довести, що множина зі звичайним додаванням і множенням є кільцем. Чи буде воно полем?
Нехай задана множина матриць виду , де. Визначити тип алгебри.
З’ясувати, чи буде булевою алгеброю , де
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
С4
Вказати, для яких пар елементів із діябуде алгебраїчною операцією на, якщо:
; с) .
;
Нехай , де– множина квадратних матриць другого порядку, елементами яких є цілі числа. Нехай
.
Знайти замикання .
Нехай , де– множина квадратних матриць другого порядку, елементами яких є невід’ємні цілі числа. Довести, що множинає системою твірних алгебри
Нехай задана алгебра , де операціявизначена наступним чиномВказати підалгебри, з’ясувати, чи існують під- алгебриз двохелементним носієм. Чи буде алгебрапівгрупою?
Нехай задана алгебра , де операціявизначена наступним чиномтав інших випадках. Вияснити, чи буде відношеннястабільним відносно операції.
З’ясувати, чи буде відображення гомоморфізмом алгебрта, якщо:
;
.
Довести гомоморфізм алгебр та, де– функція Пеано (функція слідування),– довільна множина,– унарна операція. Вказати систему твірних алгебри.
З’ясувати тип алгебри , де– множина векторів у трьохвимірному просторі, а операція– це векторний добуток.
Нехай – булеан скінченної множини. З’ясувати тип алгебри:
; с) ;
; d) .
Нехай . Задати операцію на множинітаким чином, щоб алгебрабула:
a) групоїдом; b) півгрупою; c) моноїдом; d) групою.
З‘ясувати, чи будуть групами наступні множини функцій з операцією суперпозиції:
, де ;
, де .
Нехай задана множина матриць виду , де, . Визначити тип алгебри .
З’ясувати тип алгебри: , де– класи лишків за модулем,і– додавання та множення за модулемвідповідно, якщо:a) ; b) .