2. Множини
Приклади розв’язання типових задач
Задача 1. Нехай . Визначити, які з наведених тверджень є правильними, а які – ні. Відповідь обґрунтувати.
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) .
Розв’язання.
Твердження правильне, тому що об’єкт міститься у множині .
Твердження також правильне, оскільки множина не містить об’єкта .
Твердження невірне, тому що серед елементів множини немає елемента.
Твердження правильне, оскільки для елементів множини маємо:, отже, .
Твердження невірне, оскільки елемент, але.
Твердження вірне, оскільки множина не має елементів, тому умова не порушується для жодного.
Задача 2. Обчислити наведені вирази при заданих множинах ,,,та.
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
Розв’язання.
Оскільки лише елементи 5 та 6 є спільними для множин та, то.
Очевидно, не існує жодного елемента, який би належав як множині , так й множині. Отже, множина не містить жодного елемента, тобто є порожньою: .
Елементи 2, 8, 0 належать множині і одночасно не належать множині, тому .
Оскільки , то, скориставшись рівністю , маємо . Ми отримали елементи, які належать або тільки множині , або тільки множині, але не обом множинамтаодночасно.
Оскільки , то– множина елементів, які належать універсальній множиніі не належать множині. Остаточно,.
Задача 3. Довести, що для будь-яких множин і.
Розв’язання. Для доведення вказаної рівності достатньо показати, що та . Доведемо спочатку, що . Використовуючи визначення операцій різниці, перетину множин та операції доповнення множини, маємо: тата, отже, доведено, що, а це означає, що . Тепер покажемо, що : , отже, .
Задача 4. Довести, що з випливаєдля будь-яких множин.
Розв’язання. Потрібно показати, що за умови . Іншими словами, при доведенні включення можна користуватися не лише загальними відомостями про множини (такими, наприклад, як означення підмножини та операцій над множинами), але й тим, що . Отже, нехай . Тоді, згідно з означенням операції перетину множин, маємо:та. Оскільки, то з того, що, випливає. Отже, з того, щота, випливає, тобто .
Задача 5. Довести, що для будь-яких множин.
Розв’язання. Для доведення цієї еквівалентності потрібно показати, що та.
Доведемо спочатку, перше з цих тверджень. Для цього доведемо включення за умови, що . Отже, нехай . Звідси випливає, що та(тобто). Оскільки, то , отже,або. Але відомо, що, тобто залишається тільки можливість. Таким чином, показано, що, а це означає, що.
Доведемо друге твердження: . Потрібно показати, що за умови . Нехай . Для довільної множиниабо, або. Розглянемо окремо кожен з цих випадків. Нехай. Тоді з означення операції об’єднання множин випливає, щоє елементом множини, яка є об’єднанням множиниз будь-якою множиною. Отже,. Розглянемо тепер другий випадок, тобто. Тоді, а оскільки, то. Але відомо, що, а це означає, що, тобто.
Доведення можна записати таким чином:
, , ,
або , .
, або 1) ,або 2),.
1) , .
2) , , .
Задача 6. Використовуючи основні теореми та аксіоми алгебри множин, довести, що .
Розв’язання. Для спрощення виразу в лівій частині рівності послідовно застосуємо закон де Моргана, тотожність , закон асоціативності та закон ідемпотентності:
.
Задача 7. Спростити вираз .
Розв’язання. Маємо
.
При спрощенні даного виразу послідовно застосовувалися закон дистрибутивності (до виразу ), тотожності та . При перетвореннях також використовувались закони асоціативності та комутативності.
Задача 8. Нехай . Побудуватита.
Розв’язання. Декартовим добутком множин тає множина
.
Декартовим степенем множини є множина
.
Задача 9. Довести, що .
Розв’язання. Доведемо спочатку, що . Множина є декартовим добутком двох множин та , отже, елементи цієї множини – це впорядковані пари. Таким чином, маємо:аботааботаабо. Це і означає, що.
Тепер покажемо, що . Аналогічно попередньому випадкуабо таабота.
Розглянемо випадок та. Маємо:та . Якщо та, то маємо:та. Отже, у кожному випадку доведено, що . Таким чином, рівність виконується.
A2
1. Задати множину іншим способом:
–корінь рівняння ;
, де .
2. Вказати вірні співвідношення:
1{1, 2, 3}; f) 1{1, 2, 3}; k) 0Ø;
1{{1, 2, 3}}; g) {1}{1, 2, 3}; l) Ø{Ø};
{1}{1, 2, 3}; h) {1}{{1, 2, 3}}; m) Ø{1, 2};
{1}{{1}, { 2, 3}};i) {1}{{1, 2}, 3}; n) Ø{Ø};
1{{1}, { 2}, 3};j) {1, 2}{1, 2, 3}; o) Ø{1, 2}.
3. Вказати вірні співвідношення:
c)
d)
4. Нехай – довільні скінченні множини. Вказати вірні твердження:
d)
e)
f) .
Нехай –множина всіх парних чисел, – множина всіх чисел, які можуть бути представлені у вигляді суми двох непарних чисел. Довести, що
Побудувати булеан множини , тобто множину всіх її підмножин.
Яку кількість підмножин містить
порожня множина;
одноелементна множина;
двоелементна множина.
Зі скількох елементів складається множина , якщо її булеан містить 32 елементи?
Довести, що нескінченна множина має безліч підмножин.
Які з даних тверджень справедливі для будь-яких множин
а) і
b) і ?
Відповідь обґрунтувати.
Нехай ,,. Побудувати .
Чи виконується для довільних множин ірівність?Відповідь обґрунтувати. Сформулювати і довести необхідні та достатні умови виконання цієї рівності.
Довести закон де Моргана
Довести включення .
Довести еквівалентності:
a) ;
b) ;
c) .
Перевірити (довести або спростувати) справедливість таких тверджень:
a) якщо , то;
b) якщо , то;
c) якщо та, то.
За допомогою діаграм Венна перевірити теоретико-множинну рівність . Довести її двома способами.
Довести тотожності, використовуючи основні теореми та аксіоми алгебри множин:
a) ;
b) ;
c) .
Спростити вираз (– універсальна множина):
a) ;
b) .
Побудувати приклади розбиття та покриття множини .
Побудувати , якщо,.
Нехай – скінченні множини, причому. Скільки елементів містить множини?
Що можна сказати про множини і, якщо:
a) ; b) ?
Побудувати , якщо,,.
Зобразити на площині такі множини:
a) ; b) .
Довести, що для довільних множин виконується .
Довести, що для довільних непорожніх множин виконується і .
B2
Чи є множиною рівність:
а) ;
b) ;
с) ?
Множини задані за допомогою характеристичної властивості. Задати їх за допомогою переліку елементів:
a) ;
b) .
Множини задані переліком елементів. Записати їх за допомогою характеристичної властивості.
a)
b)
З яких елементів складається множина якщо?
Нехай . Навести декілька вірних співвідношень із знаками належності та включення.
Визначити всі можливі співвідношення (рівності, нерівності, включення, строге включення) між такими множинами геометричних фігур:
–множина всіх ромбів;
–множина всіх ромбів, усі кути яких прямі;
–множина всіх квадратів;
–множина прямокутників, усі сторони яких рівні;
–множина всіх прямокутників;
–множина чотирикутників, усі кути яких прямі.
Чи існують такі множини та, що і ?
Які з наведених тверджень є правильними (– множини):
a) якщо і то
b) якщо і то
У тих випадках, коли твердження невірне, разом із контрприкладами побудуйте окремі приклади, для яких воно виконується.
Для заданої множини побудувати множину всіх підмножин
Ø; b) {Ø}; c) .
Маючи множини , за допомогою операційта доповнення записати множини елементів, які
належать всім трьом множинам;
належать принаймні двом з даних множин;
належать хоча б одній з цих множин;
не належать будь-яким двом множинам, але належать хоча б одній з них;
не належать жодній із множин.
Нехай – множина всіх прямокутників, – множина всіх ромбів на площині. З яких елементів складається множина
a) ; b) ; c) ?
Нехай Обчислити
a) ; b) ; c)
Що можна сказати про множини і, якщо:
а) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g) ;
h) ;
i) .
Знайти множини та, якщоі
Довести еквівалентності:
a) і; b) .
Довести один із законів поглинання.
За допомогою діаграм Венна перевірити такі рівності:
a) ; b).
Довести тотожності шляхом рівносильних перетворень.
а) ; d) ;
b) ; e) .
c) ;
Спростити вирази:
a) ;
b) ;
с) .
Знайти всі розбиття множини .
Із вказаних нижче множин підібрати такі їх системи, які задавали б розбиття множини всіх цілих чисел :
;
;
–множина всіх цілих додатних чисел;
–множина всіх цілих від’ємних чисел;
–множина всіх парних чисел;
–множина всіх непарних чисел;
–множина всіх простих чисел;
–множина всіх складених натуральних чисел.
Навести два приклади покриття множини .
Побудувати , якщо,,.
Побудувати , якщо.
Коли в множині є хоча б один елемент з однаковими першою та другою координатами?
Довести тотожність , де– непорожні множини.
Довести, що для довільних непорожніх множин виконується твердження.
С2
Чи існують такі множини , для яких виконувалися б умови:
a) ;
b) .
Нехай – довільна множина. Обчислити:
a) ; d); g);
b) ; e); h);
c) ; f); i).
Обчислити:
a) ;c) ;e) ;
b) ;d) ; f) .
Нехай – скінченні множини, , . Обчислити.
На фірмі працюють 67 чоловік. З них 47 співробітників володіють англійською мовою, 35 – німецькою, 23 володіють обома мовами. Скільки співробітників фірми не знають жодної іноземної мови?
Довести узагальнені закони:
a) ;
b) .
Спростити
a) ;
b) .
Довести тотожності:
a) ;
b) ;
с) ;
d) .
Довести , де– булеани множинтавідповідно.
Яким повинно бути розбиття скінченної множини на два класи, щоб декартів добутокмістив найбільшу кількість елементів?
Чи істинними будуть твердження:
a) ; b) ; с) Ø.