Метрология

4

погрешность (СКП) результатов единичных измерений, СКП среднего арифметического.

Среднее арифметическое n независимых показаний Qi, полученных при измерении физической величины постоянного размера, определяется по формуле:

На практике и в ряде нормативных документов в области метрологии широко используется термин žсреднее квадратическое отклонение¤, при этом опускается слово žоценка¤. Величина σ называется также стандартным отклонением. Поскольку в РМГ 29–99 принят термин žсредняя квадратическая погрешность¤, то он и будет использоваться далее.

Среднее арифметическое, как и результат единичного измерения, является случайной величиной. В серии измерений существует зависимость между СКП единичного измерения и СКП среднего арифметического Q :

СКП среднего арифметического в n раз меньше, чем СКП результата единичного измерения. При этом если результаты единичного измерения подчиняются нормальному закону распределения, то и среднее арифметическое подчиняется нормальному закону с тем же математическим ожиданием.

5

Далее определяется половина доверительного интервала:

где t – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности P и формы закона распределения.

При этом принципиальным является допущение, что результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения вероятности. Однако справедливость данного допущения необходимо проверять. Правдоподобно или нет допущение о том, что полученные показания подчиняются нормальному закону распределения, можно предварительно оценить по виду гистограммы распределения, построенной на основании полученных экспериментальных данных (рис. 1).

Рис. 1. Гистограмма распределения

Для отображения п полученных результатов измерений в виде гистограммы область значений между наибольшим и наименьшим показаниями средства измерений w = Qmax – Qmin делят на интервалы одинаковой ширины Q и определяют число пока-

6

заний пk, попавших в каждый из полученных интервалов. Полученные результаты изображают графически, откладывая по оси абсцисс полученные максимальное и минимальное показания с обозначением границ интервалов между ними, а по оси ординат

– величину nk/(n Q). Построив над каждым из интервалов прямоугольники, основанием которых является ширина интервалов, а высотой – nk/n Q, получим гистограмму, дающую представление о плотности распределения вероятности полученных результатов измерений в данном эксперименте. Относительную частоту попаданий nk/п можно условно приравнять к вероятности попадания в конкретный интервал, а высоту прямоугольника считать равной эмпирической плотности вероятности рk = nk/(n Q). Тогда площадь каждого прямоугольника равна вероятности попадания в интервал, а площадь всех прямоугольников будет равна единице, что соответствует условию нормировки:

где т – число интервалов.

Полигон частот представляет собой ломаную кривую, соединяющую середины верхних оснований столбцов гистограммы распределения. Полученная таким образом кусочно-линейная аппроксимация более наглядно, чем гистограмма, отражает форму искомой кривой распределения.

Проверить гипотезу о том, что распределение полученных в результате измерений показаний не противоречит теоретическому распределению, можно по ряду критериев (например, критерий Пирсона, Колмогорова и др.).

При многократном измерении одной и той же величины постоянного размера возможно появление отдельных показаний, которые заметно отличаются от остальных и могут являться грубой погрешностью (промахом), и должны быть исключены из полученных результатов. Вопрос о том, содержит ли результат измерения грубую погрешность, решается путем применения определенных статистических критериев. Одним из таких критериев является žправило трех сигм¤. Согласно этому критерию, счита-

7

ется, что если при многократном измерении одной и той же величины постоянного размера сомнительное показание отличается от среднего арифметического значения более чем на 3σ (т. е. Qi Q 3 ), то с вероятностью 0,997 оно является ошибочным,

и может быть исключено из полученного массива данных.

При нормальном законе распределения полученных показаний и сравнительно небольшом количестве экспериментальных данных (п < 50) среднее арифметическое подчиняется закону распределения Стьюдента со средним значением Q . Особенностью данного распределения является то, что доверительный интервал с уменьшением числа показаний расширяется по сравнению с нормальным законом распределения при той же доверительной вероятности. Для оценки границ доверительного интервала используется коэффициент tq (вместо коэффициента t), который зависит не только от выбранной доверительной вероятности, но и от числа показаний. Коэффициенты Стьюдента выбираются по таблицам, приведенным в справочниках по метрологии.

Полученные результаты многократных измерений могут быть исправлены путем введения поправок на все известные систематические эффекты, после чего определяются границы неисключенной систематической погрешности (НСП). Суммарная НСП образуется из НСП метода измерений, НСП поправок, НСП несовершенства применяемых средств измерений и т. д. Все составляющие суммарной НСП рассматриваются как случайные величины, и при отсутствии данных о виде распределения отдельных составляющих принимается гипотеза об их равномерном распределении. Границы НСП Θ определяются по формуле:

где i2 – граница i-й неисключенной составляющей систематической погрешности; k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р = 0,95 k = 1,1); т – количество учитываемых составляющих.

8

После оценки границ НСП необходимо проанализировать соотношения между НСП и случайной погрешностью. Если Θ < 0,8 Q , то НСП можно пренебречь и принять границы по-

грешности равными границам случайной погрешности. Если Θ > 0,8 Q , то можно пренебречь случайной погрешностью.

Если оба неравенства не выполняются, то СКП результатов измерений определяется как сумма НСП и случайной составляющей погрешности:

Таким образом, обработка результатов многократных измерений производится в следующей последовательности:

1.Вводятся поправки для исключения всех известных систематических эффектов.

2.Определяется среднее арифметическое исправленных показаний, а также оценка СКП.

3.При необходимости применяются критерии для проверки гипотезы о том, что показания подчиняются нормальному закону распределения.

4.Проверяется наличие грубых погрешностей (промахов).

Показания, содержащие грубые погрешности, исключаются из массива данных и затем снова повторяются вычисления, указанные в п. 2.

5.При определении доверительного интервала (доверительных границ случайной погрешности) при недостаточном объеме экспериментальных данных применяется распределение Стьюдента.

6.Оцениваются границы НСП.

7.Вычисляется СКП результата измерений σΣ.

При отсутствии данных о виде функции распределения составляющих погрешности результата измерений или при необходимости дальнейшей обработки экспериментальных данных результат измерения представляется в виде значений Q , σΣ, n, Θ.

10

Перед проведением измерения анализируется априорная информация. В ходе анализа устанавливается физическая сущность изучаемого объекта (явления, процесса), уточняется его модель, определяются влияющие факторы, уточняются меры, направленные на уменьшение их влияния (термостатирование, экранирование, компенсация магнитных полей и т. п.), определяются значения поправок, принимается решение в пользу определенной методики измерения, выбирается средство измерений, изучаются его метрологические характеристики. Кроме того, изучается опыт выполнения подобных измерений. Итогом действий, выполненных на первом этапе, должна являться твердая уверенность в том, что точности однократного измерения будет достаточно для решения поставленной измерительной задачи.

На втором этапе получают единственное показание средства измерений. Далее учитываются особенности выполнения измерения, и в полученный результат измерения вносится суммарная поправка. После исключения из отсчета всех известных систематических погрешностей можно полагать, что погрешность исправленного результата состоит из НСП и случайных составляющих погрешности. НСП переводят в категорию случайных погрешностей и оценивают каждую составляющую собственными границами. При этом рекомендуется распределение вероятностей принимать равномерным, если заданы границы погрешности, и нормальным, если задана СКП.

Если НСП оценена границами, то доверительные границы суммарной НСП определяются по формуле (6).

В качестве априорной информации, учитывающей рассеяние показаний средства измерений, может использоваться информация о классе точности или о СКП. В обоих случаях значение измеряемой величины без учета поправок не должно отличаться от полученного показания средства измерений более чем на половину размаха при равномерном законе распределения или более чем на половину доверительного интервала, если показания средства измерений подчиняются нормальному закону распределения вероятности.

Получив по отдельности оценки НСП и случайной погрешности результата однократного измерения, их сопоставляют. Ес-